Глава IV. §11. п.34 Числовые неравенства — с. 189
847. Докажите, что при a > 0 верно неравенство (a + 2)/a − 2 ≥ 2 − (a + 2)/2.
Составим разность левой и правой частей: (a + 2)/a − 2 − 2 + (a + 2)/2 = 1 + 2/a − 4 + a/2 + 1 = a/2 + 2/a − 2 = (a² + 4 − 4a)/(2a) = (a − 2)²/(2a).
При a > 0 знаменатель 2a положителен, а числитель (a − 2)² ≥ 0, поэтому разность неотрицательна. Неравенство верно (равенство при a = 2).
При a > 0 знаменатель 2a положителен, а числитель (a − 2)² ≥ 0, поэтому разность неотрицательна. Неравенство верно (равенство при a = 2).
848. Докажите, что сумма любого положительного числа и числа, ему обратного, не меньше чем 2.
Пусть a > 0, обратное число равно 1/a. Нужно доказать, что a + 1/a ≥ 2.
a + 1/a − 2 = (a² − 2a + 1)/a = (a − 1)²/a.
Так как a > 0 и (a − 1)² ≥ 0, дробь неотрицательна. Значит, a + 1/a ≥ 2 (равенство при a = 1).
a + 1/a − 2 = (a² − 2a + 1)/a = (a − 1)²/a.
Так как a > 0 и (a − 1)² ≥ 0, дробь неотрицательна. Значит, a + 1/a ≥ 2 (равенство при a = 1).
849. Докажите неравенство: а) (c² + 1)/2 ≥ c; б) c/(c² + 1) ≤ 1/2.
а) (c² + 1)/2 − c = (c² − 2c + 1)/2 = (c − 1)²/2 ≥ 0, значит, (c² + 1)/2 ≥ c.
б) 1/2 − c/(c² + 1) = (c² + 1 − 2c)/(2(c² + 1)) = (c − 1)²/(2(c² + 1)). Числитель неотрицателен, знаменатель положителен, разность неотрицательна. Значит, c/(c² + 1) ≤ 1/2.
б) 1/2 − c/(c² + 1) = (c² + 1 − 2c)/(2(c² + 1)) = (c − 1)²/(2(c² + 1)). Числитель неотрицателен, знаменатель положителен, разность неотрицательна. Значит, c/(c² + 1) ≤ 1/2.
850. Используя выделение квадрата двучлена, докажите неравенство: а) a² − 6a + 14 > 0; б) b² + 70 > 16b.
а) a² − 6a + 14 = (a² − 6a + 9) + 5 = (a − 3)² + 5. Так как (a − 3)² ≥ 0, сумма не меньше 5, то есть положительна. Неравенство верно.
б) b² + 70 − 16b = (b² − 16b + 64) + 6 = (b − 8)² + 6 ≥ 6 > 0. Следовательно, b² + 70 > 16b.
б) b² + 70 − 16b = (b² − 16b + 64) + 6 = (b − 8)² + 6 ≥ 6 > 0. Следовательно, b² + 70 > 16b.
851. Выберите из данных неравенств такое, которое не является верным при любом значении a: а) a² > 2a − 3; б) a² + 6 > 4a; в) 4a − 4 < a²; г) 8a − 70 < a².
Для каждого неравенства найдём разность a² − (правая часть).
а) a² − 2a + 3 = (a − 1)² + 2 > 0 — верно всегда.
б) a² − 4a + 6 = (a − 2)² + 2 > 0 — верно всегда.
в) a² − 4a + 4 = (a − 2)² ≥ 0, но при a = 2 разность равна 0, и неравенство a² > 4a − 4 становится равенством 4 = 4. Значит, неравенство верно не при любом a.
г) a² − 8a + 70 = (a − 4)² + 54 > 0 — верно всегда.
Ответ: в).
а) a² − 2a + 3 = (a − 1)² + 2 > 0 — верно всегда.
б) a² − 4a + 6 = (a − 2)² + 2 > 0 — верно всегда.
в) a² − 4a + 4 = (a − 2)² ≥ 0, но при a = 2 разность равна 0, и неравенство a² > 4a − 4 становится равенством 4 = 4. Значит, неравенство верно не при любом a.
г) a² − 8a + 70 = (a − 4)² + 54 > 0 — верно всегда.
Ответ: в).
852. (Для работы в парах.) Докажите, что если a и b — положительные числа и a² > b², то a > b. Пользуясь этим свойством, сравните числа: а) √6 + √3 и √7 + √2; б) √3 + 2 и √6 + 1; в) √5 − 2 и √6 − √3; г) √10 − √7 и √11 − √6.
1. Проведите доказательство приведённого утверждения.
2. Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.
3. Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено сравнение выражений. Исправьте ошибки, если они допущены.
Доказательство. a² > b² ⇒ a² − b² = (a − b)(a + b) > 0. Так как a + b > 0, то и a − b > 0, то есть a > b.
Сравниваем квадраты положительных чисел.
а) (√6 + √3)² = 9 + 2√18; (√7 + √2)² = 9 + 2√14. Так как √18 > √14, то (√6 + √3)² > (√7 + √2)², и √6 + √3 > √7 + √2.
б) (√3 + 2)² = 7 + 4√3 = 7 + √48; (√6 + 1)² = 7 + 2√6 = 7 + √24. Так как √48 > √24, то √3 + 2 > √6 + 1.
в) Оба числа положительны (√5 > 2, √6 > √3). (√5 − 2)² = 9 − 4√5 = 9 − √80; (√6 − √3)² = 9 − 2√18 = 9 − √72. Так как √80 > √72, то 9 − √80 < 9 − √72, и √5 − 2 < √6 − √3.
г) Оба числа положительны. (√10 − √7)² = 17 − 2√70; (√11 − √6)² = 17 − 2√66. Так как √70 > √66, то 17 − 2√70 < 17 − 2√66, и √10 − √7 < √11 − √6.
Сравниваем квадраты положительных чисел.
а) (√6 + √3)² = 9 + 2√18; (√7 + √2)² = 9 + 2√14. Так как √18 > √14, то (√6 + √3)² > (√7 + √2)², и √6 + √3 > √7 + √2.
б) (√3 + 2)² = 7 + 4√3 = 7 + √48; (√6 + 1)² = 7 + 2√6 = 7 + √24. Так как √48 > √24, то √3 + 2 > √6 + 1.
в) Оба числа положительны (√5 > 2, √6 > √3). (√5 − 2)² = 9 − 4√5 = 9 − √80; (√6 − √3)² = 9 − 2√18 = 9 − √72. Так как √80 > √72, то 9 − √80 < 9 − √72, и √5 − 2 < √6 − √3.
г) Оба числа положительны. (√10 − √7)² = 17 − 2√70; (√11 − √6)² = 17 − 2√66. Так как √70 > √66, то 17 − 2√70 < 17 − 2√66, и √10 − √7 < √11 − √6.
853. Докажите, что при a ≥ 0 и b ≥ 0 верно неравенство (a + b)/2 ≤ √((a² + b²)/2).
Обе части неравенства неотрицательны, поэтому достаточно сравнить их квадраты (если квадрат одного неотрицательного числа не больше квадрата другого, то и само число не больше).
((a + b)/2)² = (a² + 2ab + b²)/4; (√((a² + b²)/2))² = (a² + b²)/2 = (2a² + 2b²)/4.
Разность: (2a² + 2b²)/4 − (a² + 2ab + b²)/4 = (a² − 2ab + b²)/4 = (a − b)²/4 ≥ 0.
Значит, ((a + b)/2)² ≤ (a² + b²)/2, а потому (a + b)/2 ≤ √((a² + b²)/2).
((a + b)/2)² = (a² + 2ab + b²)/4; (√((a² + b²)/2))² = (a² + b²)/2 = (2a² + 2b²)/4.
Разность: (2a² + 2b²)/4 − (a² + 2ab + b²)/4 = (a² − 2ab + b²)/4 = (a − b)²/4 ≥ 0.
Значит, ((a + b)/2)² ≤ (a² + b²)/2, а потому (a + b)/2 ≤ √((a² + b²)/2).