Глава IV. §11. п.34 Числовые неравенства — с. 188
838. Сравните числа a и b, если: а) a − b = −0,001; б) a − b = 0; в) a − b = 4,3.
По определению: a > b, если разность a − b положительна; a < b, если a − b отрицательна; a = b, если a − b = 0.
а) a − b = −0,001 < 0, поэтому a < b.
б) a − b = 0, поэтому a = b.
в) a − b = 4,3 > 0, поэтому a > b.
а) a − b = −0,001 < 0, поэтому a < b.
б) a − b = 0, поэтому a = b.
в) a − b = 4,3 > 0, поэтому a > b.
839. Известно, что a < b. Может ли разность a − b выражаться числом 3,72? −5? 0?
Если a < b, то разность a − b отрицательна.
3,72 > 0 — не может; −5 < 0 — может (например, a = 0, b = 5); 0 — не может, так как при a − b = 0 числа равны.
Ответ: 3,72 — нет; −5 — да; 0 — нет.
3,72 > 0 — не может; −5 < 0 — может (например, a = 0, b = 5); 0 — не может, так как при a − b = 0 числа равны.
Ответ: 3,72 — нет; −5 — да; 0 — нет.
840. Даны выражения 3a(a + 6) и (3a + 6)(a + 4). Сравните их значения при a = −5; 0;
40. Докажите, что при любом a значение первого выражения меньше значения второго.
Значения выражений:
при a = −5: 3·(−5)·1 = −15 и (−9)·(−1) = 9, −15 < 9;
при a = 0: 0 и 6·4 = 24, 0 < 24;
при a = 40: 3·40·46 = 5520 и 126·44 = 5544, 5520 < 5544.
Доказательство. Составим разность: 3a(a + 6) − (3a + 6)(a + 4) = 3a² + 18a − (3a² + 12a + 6a + 24) = 3a² + 18a − 3a² − 18a − 24 = −24.
Разность отрицательна при любом a, значит, 3a(a + 6) < (3a + 6)(a + 4).
при a = −5: 3·(−5)·1 = −15 и (−9)·(−1) = 9, −15 < 9;
при a = 0: 0 и 6·4 = 24, 0 < 24;
при a = 40: 3·40·46 = 5520 и 126·44 = 5544, 5520 < 5544.
Доказательство. Составим разность: 3a(a + 6) − (3a + 6)(a + 4) = 3a² + 18a − (3a² + 12a + 6a + 24) = 3a² + 18a − 3a² − 18a − 24 = −24.
Разность отрицательна при любом a, значит, 3a(a + 6) < (3a + 6)(a + 4).
841. Даны выражения 4b(b + 1) и (2b + 7)(2b − 8). Сравните их значения при b = −3; −2;
10. Можно ли утверждать, что при любом значении b значение первого выражения больше, чем значение второго?
При b = −3: 4·(−3)·(−2) = 24 и 1·(−14) = −14, 24 > −14.
При b = −2: 4·(−2)·(−1) = 8 и 3·(−12) = −36, 8 > −36.
При b = 10: 4·10·11 = 440 и 27·12 = 324, 440 > 324.
Составим разность: 4b(b + 1) − (2b + 7)(2b − 8) = 4b² + 4b − (4b² − 16b + 14b − 56) = 4b² + 4b − 4b² + 2b + 56 = 6b + 56.
Знак разности зависит от b: при b = −10 она равна −4 < 0. Проверка: 4·(−10)·(−9) = 360, (−13)·(−28) = 364, 360 < 364.
Ответ: утверждать так нельзя.
При b = −2: 4·(−2)·(−1) = 8 и 3·(−12) = −36, 8 > −36.
При b = 10: 4·10·11 = 440 и 27·12 = 324, 440 > 324.
Составим разность: 4b(b + 1) − (2b + 7)(2b − 8) = 4b² + 4b − (4b² − 16b + 14b − 56) = 4b² + 4b − 4b² + 2b + 56 = 6b + 56.
Знак разности зависит от b: при b = −10 она равна −4 < 0. Проверка: 4·(−10)·(−9) = 360, (−13)·(−28) = 364, 360 < 364.
Ответ: утверждать так нельзя.
842. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство: а) 3(a + 1) + a < 4(2 + a); б) (7p − 1)(7p + 1) < 49p²; в) (a − 2)² > a(a − 4); г) (2a + 3)(2a + 1) > 4a(a + 2).
В каждом случае рассмотрим разность левой и правой частей.
а) 3(a + 1) + a − 4(2 + a) = 3a + 3 + a − 8 − 4a = −5 < 0, значит, неравенство верно.
б) (7p − 1)(7p + 1) − 49p² = 49p² − 1 − 49p² = −1 < 0, неравенство верно.
в) (a − 2)² − a(a − 4) = a² − 4a + 4 − a² + 4a = 4 > 0, неравенство верно.
г) (2a + 3)(2a + 1) − 4a(a + 2) = 4a² + 2a + 6a + 3 − 4a² − 8a = 3 > 0, неравенство верно.
а) 3(a + 1) + a − 4(2 + a) = 3a + 3 + a − 8 − 4a = −5 < 0, значит, неравенство верно.
б) (7p − 1)(7p + 1) − 49p² = 49p² − 1 − 49p² = −1 < 0, неравенство верно.
в) (a − 2)² − a(a − 4) = a² − 4a + 4 − a² + 4a = 4 > 0, неравенство верно.
г) (2a + 3)(2a + 1) − 4a(a + 2) = 4a² + 2a + 6a + 3 − 4a² − 8a = 3 > 0, неравенство верно.
843. Докажите неравенство: а) 2b² − 6b + 1 > 2b(b − 3); б) (c + 2)(c + 6) < (c + 3)(c + 5); в) p(p + 7) > 7p − 1; г) 8y(3y − 10) < (5y − 8)².
а) 2b² − 6b + 1 − 2b(b − 3) = 2b² − 6b + 1 − 2b² + 6b = 1 > 0, значит, неравенство верно.
б) (c + 2)(c + 6) − (c + 3)(c + 5) = c² + 8c + 12 − c² − 8c − 15 = −3 < 0, неравенство верно.
в) p(p + 7) − (7p − 1) = p² + 7p − 7p + 1 = p² + 1 > 0 при любом p, неравенство верно.
г) 8y(3y − 10) − (5y − 8)² = 24y² − 80y − 25y² + 80y − 64 = −y² − 64 < 0 при любом y, так как y² ≥ 0. Неравенство верно.
б) (c + 2)(c + 6) − (c + 3)(c + 5) = c² + 8c + 12 − c² − 8c − 15 = −3 < 0, неравенство верно.
в) p(p + 7) − (7p − 1) = p² + 7p − 7p + 1 = p² + 1 > 0 при любом p, неравенство верно.
г) 8y(3y − 10) − (5y − 8)² = 24y² − 80y − 25y² + 80y − 64 = −y² − 64 < 0 при любом y, так как y² ≥ 0. Неравенство верно.
844. Верно ли при любом x неравенство: а) 4x(x + 0,25) > (2x + 3)(2x − 3); б) (5x − 1)(5x + 1) < 25x² + 2; в) (3x + 8)² > 3x(x + 16); г) (7 + 2x)(7 − 2x) < 49 − x(4x + 1)?
Составляем разность левой и правой частей.
а) 4x(x + 0,25) − (2x + 3)(2x − 3) = 4x² + x − 4x² + 9 = x + 9. Разность положительна не при всех x (например, при x = −10 она равна −1). Неверно.
б) (5x − 1)(5x + 1) − (25x² + 2) = 25x² − 1 − 25x² − 2 = −3 < 0. Верно при любом x.
в) (3x + 8)² − 3x(x + 16) = 9x² + 48x + 64 − 3x² − 48x = 6x² + 64 > 0. Верно при любом x.
г) (7 + 2x)(7 − 2x) − (49 − x(4x + 1)) = 49 − 4x² − 49 + 4x² + x = x. Разность отрицательна лишь при x < 0 (при x = 1 она равна 1 > 0). Неверно.
Ответ: а) нет; б) да; в) да; г) нет.
а) 4x(x + 0,25) − (2x + 3)(2x − 3) = 4x² + x − 4x² + 9 = x + 9. Разность положительна не при всех x (например, при x = −10 она равна −1). Неверно.
б) (5x − 1)(5x + 1) − (25x² + 2) = 25x² − 1 − 25x² − 2 = −3 < 0. Верно при любом x.
в) (3x + 8)² − 3x(x + 16) = 9x² + 48x + 64 − 3x² − 48x = 6x² + 64 > 0. Верно при любом x.
г) (7 + 2x)(7 − 2x) − (49 − x(4x + 1)) = 49 − 4x² − 49 + 4x² + x = x. Разность отрицательна лишь при x < 0 (при x = 1 она равна 1 > 0). Неверно.
Ответ: а) нет; б) да; в) да; г) нет.
845. Докажите неравенство: а) a(a + b) ≥ ab; б) m² − mn + n² ≥ mn; в) 10a² − 5a + 1 ≥ a² + a; г) 2bc ≤ b² + c²; д) a(a − b) ≥ b(a − b); е) a² − a ≤ 50a² − 15a + 1.
а) a(a + b) − ab = a² + ab − ab = a² ≥ 0.
б) m² − mn + n² − mn = m² − 2mn + n² = (m − n)² ≥ 0.
в) 10a² − 5a + 1 − a² − a = 9a² − 6a + 1 = (3a − 1)² ≥ 0.
г) b² + c² − 2bc = (b − c)² ≥ 0, поэтому 2bc ≤ b² + c².
д) a(a − b) − b(a − b) = (a − b)(a − b) = (a − b)² ≥ 0.
е) (50a² − 15a + 1) − (a² − a) = 49a² − 14a + 1 = (7a − 1)² ≥ 0, поэтому a² − a ≤ 50a² − 15a + 1.
Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому все неравенства верны при любых значениях переменных.
б) m² − mn + n² − mn = m² − 2mn + n² = (m − n)² ≥ 0.
в) 10a² − 5a + 1 − a² − a = 9a² − 6a + 1 = (3a − 1)² ≥ 0.
г) b² + c² − 2bc = (b − c)² ≥ 0, поэтому 2bc ≤ b² + c².
д) a(a − b) − b(a − b) = (a − b)(a − b) = (a − b)² ≥ 0.
е) (50a² − 15a + 1) − (a² − a) = 49a² − 14a + 1 = (7a − 1)² ≥ 0, поэтому a² − a ≤ 50a² − 15a + 1.
Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому все неравенства верны при любых значениях переменных.
846. (Для работы в парах.) Увеличится или уменьшится дробь a/b, где a и b — натуральные числа, если к её числителю и знаменателю прибавить по 1?
1. Рассмотрите на примерах, как изменяется дробь a/b. (Одному учащемуся рекомендуем взять дроби, у которых числитель меньше знаменателя, а другому — дроби, у которых числитель больше знаменателя.) 2) Обсудите друг с другом ваши наблюдения и выскажите гипотезу для каждого случая.
3. Проведите доказательство: один — для случая a < b, а другой — для случая a > b.
4. Проверьте друг у друга правильность рассуждений.
1) Примеры: 2/3 → 3/4 (0,667 → 0,75, дробь увеличилась); 1/5 → 2/6 = 1/3 (увеличилась); 5/2 → 6/3 = 2 (2,5 → 2, уменьшилась); 7/4 → 8/5 (1,75 → 1,6, уменьшилась).
2) Гипотеза: если a < b (правильная дробь), дробь увеличивается; если a > b, уменьшается; если a = b, не меняется (равна 1).
3) Доказательство. Составим разность: (a + 1)/(b + 1) − a/b = (b(a + 1) − a(b + 1))/(b(b + 1)) = (ab + b − ab − a)/(b(b + 1)) = (b − a)/(b(b + 1)).
Знаменатель b(b + 1) положителен. Если a < b, то b − a > 0, разность положительна, дробь увеличивается. Если a > b, то b − a < 0, разность отрицательна, дробь уменьшается. Если a = b, разность равна нулю.
4) Вывод: дробь увеличится, если числитель меньше знаменателя; уменьшится, если числитель больше знаменателя; не изменится при a = b.
2) Гипотеза: если a < b (правильная дробь), дробь увеличивается; если a > b, уменьшается; если a = b, не меняется (равна 1).
3) Доказательство. Составим разность: (a + 1)/(b + 1) − a/b = (b(a + 1) − a(b + 1))/(b(b + 1)) = (ab + b − ab − a)/(b(b + 1)) = (b − a)/(b(b + 1)).
Знаменатель b(b + 1) положителен. Если a < b, то b − a > 0, разность положительна, дробь увеличивается. Если a > b, то b − a < 0, разность отрицательна, дробь уменьшается. Если a = b, разность равна нулю.
4) Вывод: дробь увеличится, если числитель меньше знаменателя; уменьшится, если числитель больше знаменателя; не изменится при a = b.