Глава III. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфу 9 — с. 184
830. Два слесаря получили заказ. Сначала 1 ч работал первый слесарь, затем 4 ч они работали вместе. В результате было выполнено 40% заказа. За сколько часов мог выполнить заказ каждый слесарь, если первому для этого понадобилось бы на 5 ч больше, чем второму?
Пусть второй слесарь выполнит заказ за y ч, первый — за y + 5 ч. Производительности: 1/(y + 5) и 1/y заказа в час. Первый работал 1 + 4 = 5 ч, второй 4 ч; выполнено 0,4 заказа.
5/(y + 5) + 4/y = 2/5; 25y + 20(y + 5) = 2y(y + 5); 2y² − 35y − 100 = 0; D = 1225 + 800 = 2025 = 45²; y = (35 + 45)/4 = 20 (второй корень отрицателен).
Второй слесарь 20 ч, первый 25 ч. Проверка: 5/25 + 4/20 = 0,2 + 0,2 = 0,4.
Ответ: первый — за 25 ч, второй — за 20 ч.
5/(y + 5) + 4/y = 2/5; 25y + 20(y + 5) = 2y(y + 5); 2y² − 35y − 100 = 0; D = 1225 + 800 = 2025 = 45²; y = (35 + 45)/4 = 20 (второй корень отрицателен).
Второй слесарь 20 ч, первый 25 ч. Проверка: 5/25 + 4/20 = 0,2 + 0,2 = 0,4.
Ответ: первый — за 25 ч, второй — за 20 ч.
831. При совместной работе двух копировальных машин можно снять ксерокопию с рукописи за 6 мин. Если сначала снять ксерокопию с половины рукописи одной машиной, а затем с оставшейся части — другой машиной, то вся работа будет закончена через 12,5 мин. За какое время можно снять ксерокопию с рукописи каждой машиной в отдельности?
Пусть первая машина снимает копию всей рукописи за x мин, вторая — за y мин. Совместная работа: 1/x + 1/y = 1/6, т. е. (x + y)/(xy) = 1/6. Половину рукописи первая снимает за x/2 мин, вторая другую половину за y/2 мин: x/2 + y/2 = 12,5, откуда x + y = 25.
Тогда xy = 6(x + y) = 150. Числа x и y — корни уравнения t² − 25t + 150 = 0: t = 10 или t = 15.
Проверка: 1/10 + 1/15 = 1/6; 5 + 7,5 = 12,5.
Ответ: за 10 мин и за 15 мин (одна машина за 10 мин, другая за 15 мин).
Тогда xy = 6(x + y) = 150. Числа x и y — корни уравнения t² − 25t + 150 = 0: t = 10 или t = 15.
Проверка: 1/10 + 1/15 = 1/6; 5 + 7,5 = 12,5.
Ответ: за 10 мин и за 15 мин (одна машина за 10 мин, другая за 15 мин).
832. При каких значениях m и b пара (m; 3) является решением системы уравнений {−3x + y = 9; 2x − by = −10}?
Подставим x = m, y = 3 в оба уравнения.
Первое: −3m + 3 = 9; −3m = 6; m = −2.
Второе: 2m − 3b = −10; при m = −2: −4 − 3b = −10; −3b = −6; b = 2.
Проверка: пара (−2; 3): −3·(−2) + 3 = 9; 2·(−2) − 2·3 = −10.
Ответ: m = −2, b = 2.
Первое: −3m + 3 = 9; −3m = 6; m = −2.
Второе: 2m − 3b = −10; при m = −2: −4 − 3b = −10; −3b = −6; b = 2.
Проверка: пара (−2; 3): −3·(−2) + 3 = 9; 2·(−2) − 2·3 = −10.
Ответ: m = −2, b = 2.
833. Сколько решений имеет система уравнений: а) {3x − 6y = 5; 2x + 3y = 7}; б) {4x − 3y = 12; (1/3)x − (1/4)y = 1}; в) {0,5x + 2y = 0,8; 2,5x + 10y = 6}; г) {2x − 0,3y = 1; 4x + 0,6y = 1}?
Для системы a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂: если a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ — одно решение; если a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ — бесконечно много решений; если a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ — решений нет.
а) 3/2 ≠ −6/3 = −2: одно решение.
б) 4 : (1/3) = 12, −3 : (−1/4) = 12, 12 : 1 = 12: все отношения равны (второе уравнение, умноженное на 12, даёт первое), бесконечно много решений.
в) 0,5/2,5 = 1/5, 2/10 = 1/5, 0,8/6 = 2/15 ≠ 1/5: решений нет.
г) 2/4 = 1/2, −0,3/0,6 = −1/2; отношения различны: одно решение.
Ответ: а) одно; б) бесконечно много; в) ни одного; г) одно.
а) 3/2 ≠ −6/3 = −2: одно решение.
б) 4 : (1/3) = 12, −3 : (−1/4) = 12, 12 : 1 = 12: все отношения равны (второе уравнение, умноженное на 12, даёт первое), бесконечно много решений.
в) 0,5/2,5 = 1/5, 2/10 = 1/5, 0,8/6 = 2/15 ≠ 1/5: решений нет.
г) 2/4 = 1/2, −0,3/0,6 = −1/2; отношения различны: одно решение.
Ответ: а) одно; б) бесконечно много; в) ни одного; г) одно.
834. Укажите какие-либо значения a, b и c, при которых система уравнений {−8x + 9y = 10; ax + by = c} имеет единственное решение.
Система имеет единственное решение, если a/(−8) ≠ b/9, т. е. 9a ≠ −8b, при любом c.
Возьмём a = 1, b = 1, c = 1: 9·1 ≠ −8·1. Система −8x + 9y = 10, x + y = 1: из второго y = 1 − x; −8x + 9 − 9x = 10; x = −1/17; y = 18/17 — одно решение.
Ответ: например, a = 1, b = 1, c = 1 (подходят любые a, b, для которых 9a ≠ −8b, и любое c).
Возьмём a = 1, b = 1, c = 1: 9·1 ≠ −8·1. Система −8x + 9y = 10, x + y = 1: из второго y = 1 − x; −8x + 9 − 9x = 10; x = −1/17; y = 18/17 — одно решение.
Ответ: например, a = 1, b = 1, c = 1 (подходят любые a, b, для которых 9a ≠ −8b, и любое c).
835. При каком значении c система уравнений {5x − 2y = 3; 10x − 4y = c} а) имеет бесконечное множество решений; б) не имеет решений?
Коэффициенты: 5/10 = 1/2 и −2/(−4) = 1/2, т. е. прямые параллельны или совпадают. Умножим первое уравнение на 2: 10x − 4y = 6.
а) Бесконечно много решений при c = 6: уравнения совпадают.
б) Решений нет при c ≠ 6: левые части равны, а правые различны.
Ответ: а) c = 6; б) c ≠ 6.
а) Бесконечно много решений при c = 6: уравнения совпадают.
б) Решений нет при c ≠ 6: левые части равны, а правые различны.
Ответ: а) c = 6; б) c ≠ 6.
836. Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через точки: а) (−1; 3) и (2; −2); б) (4; 1) и (−3; −1); в) (0; 5) и (4; 0); г) (−3; 0) и (0; −6).
Ищем y = kx + b; k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).
а) k = (−2 − 3)/(2 + 1) = −5/3; 3 = −5/3·(−1) + b = 5/3 + b; b = 4/3. y = −(5/3)x + 4/3. Проверка: x = 2: −10/3 + 4/3 = −2.
б) k = (−1 − 1)/(−3 − 4) = 2/7; 1 = 8/7 + b; b = −1/7. y = (2/7)x − 1/7. Проверка: x = −3: −6/7 − 1/7 = −1.
в) b = 5 (при x = 0); k = (0 − 5)/4 = −5/4. y = −1,25x + 5.
г) b = −6; k = (−6 − 0)/(0 + 3) = −2. y = −2x − 6. Проверка: x = −3: 6 − 6 = 0.
Ответ: а) y = −(5/3)x + 4/3; б) y = (2/7)x − 1/7; в) y = −1,25x + 5; г) y = −2x − 6.
а) k = (−2 − 3)/(2 + 1) = −5/3; 3 = −5/3·(−1) + b = 5/3 + b; b = 4/3. y = −(5/3)x + 4/3. Проверка: x = 2: −10/3 + 4/3 = −2.
б) k = (−1 − 1)/(−3 − 4) = 2/7; 1 = 8/7 + b; b = −1/7. y = (2/7)x − 1/7. Проверка: x = −3: −6/7 − 1/7 = −1.
в) b = 5 (при x = 0); k = (0 − 5)/4 = −5/4. y = −1,25x + 5.
г) b = −6; k = (−6 − 0)/(0 + 3) = −2. y = −2x − 6. Проверка: x = −3: 6 − 6 = 0.
Ответ: а) y = −(5/3)x + 4/3; б) y = (2/7)x − 1/7; в) y = −1,25x + 5; г) y = −2x − 6.
837. График какой линейной функции проходит через точку (−2; 5) и точку пересечения прямых 3x − 2y = 16 и 4x + 3y = −7?
Найдём точку пересечения прямых. Умножим первое уравнение на 3, второе на 2: 9x − 6y = 48; 8x + 6y = −14. Сложим: 17x = 34; x = 2. Из первого: 6 − 2y = 16; y = −5. Точка (2; −5); проверка во втором: 8 − 15 = −7.
Искомая функция y = kx + b проходит через (−2; 5) и (2; −5): k = (−5 − 5)/(2 + 2) = −2,5; 5 = −2,5·(−2) + b = 5 + b; b = 0.
Ответ: y = −2,5x.
Искомая функция y = kx + b проходит через (−2; 5) и (2; −5): k = (−5 − 5)/(2 + 2) = −2,5; 5 = −2,5·(−2) + b = 5 + b; b = 0.
Ответ: y = −2,5x.