Глава III. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфу 9 — с. 182
813. Рыболов отправился на лодке от пункта N вверх по реке. Проплыв 6 км, он бросил вёсла, и через 4 ч 30 мин после отправления из N течение снова отнесло его к пункту N. Зная, что скорость лодки в стоячей воде 90 м/мин, найдите скорость течения реки.
Скорость лодки в стоячей воде 90 м/мин = 5,4 км/ч. Пусть скорость течения c км/ч (c < 5,4). Вверх 6 км за 6/(5,4 − c) ч, затем течение несёт назад 6 км за 6/c ч; всего 4,5 ч.
6/(5,4 − c) + 6/c = 4,5; 6c + 6(5,4 − c) = 4,5c(5,4 − c); 32,4 = 24,3c − 4,5c²; 4,5c² − 24,3c + 32,4 = 0; 5c² − 27c + 36 = 0; D = 729 − 720 = 9; c = (27 ± 3)/10; c = 3 или c = 2,4. Оба значения меньше 5,4.
Проверка: при c = 3: 6/2,4 + 6/3 = 2,5 + 2 = 4,5; при c = 2,4: 6/3 + 6/2,4 = 2 + 2,5 = 4,5.
Ответ: 2,4 км/ч или 3 км/ч.
6/(5,4 − c) + 6/c = 4,5; 6c + 6(5,4 − c) = 4,5c(5,4 − c); 32,4 = 24,3c − 4,5c²; 4,5c² − 24,3c + 32,4 = 0; 5c² − 27c + 36 = 0; D = 729 − 720 = 9; c = (27 ± 3)/10; c = 3 или c = 2,4. Оба значения меньше 5,4.
Проверка: при c = 3: 6/2,4 + 6/3 = 2,5 + 2 = 4,5; при c = 2,4: 6/3 + 6/2,4 = 2 + 2,5 = 4,5.
Ответ: 2,4 км/ч или 3 км/ч.
814. Через 2 ч 40 мин после отправления плота от пристани A вниз по течению ему навстречу от пристани B отошёл катер. Встреча произошла в 27 км от B. Найдите скорость плота, если скорость катера в стоячей воде 12 км/ч и расстояние от A до B равно 44 км.
Пусть скорость плота (течения) x км/ч. Встреча в 27 км от B, т. е. в 44 − 27 = 17 км от A. Плот до встречи шёл 17/x ч. Катер шёл против течения 27 км со скоростью 12 − x: 27/(12 − x) ч. Катер вышел на 2 ч 40 мин = 8/3 ч позже.
17/x = 8/3 + 27/(12 − x); 51(12 − x) = 8x(12 − x) + 81x; 612 − 51x = 96x − 8x² + 81x; 8x² − 228x + 612 = 0; 2x² − 57x + 153 = 0; D = 3249 − 1224 = 2025 = 45²; x = (57 ± 45)/4; x = 3 или x = 25,5 (больше 12, не подходит).
Проверка: 17/3 = 5 2/3 ч; 8/3 + 27/9 = 8/3 + 3 = 5 2/3 ч.
Ответ: 3 км/ч.
17/x = 8/3 + 27/(12 − x); 51(12 − x) = 8x(12 − x) + 81x; 612 − 51x = 96x − 8x² + 81x; 8x² − 228x + 612 = 0; 2x² − 57x + 153 = 0; D = 3249 − 1224 = 2025 = 45²; x = (57 ± 45)/4; x = 3 или x = 25,5 (больше 12, не подходит).
Проверка: 17/3 = 5 2/3 ч; 8/3 + 27/9 = 8/3 + 3 = 5 2/3 ч.
Ответ: 3 км/ч.
815. Теплоход отправился от пристани A до пристани B, расстояние между которыми 225 км. Через 1,5 ч после отправления он был задержан на 1/2 ч и, чтобы прийти в пункт назначения вовремя, увеличил скорость на 10 км/ч. Найдите первоначальную скорость теплохода.
Пусть первоначальная скорость v км/ч. За 1,5 ч пройдено 1,5v км, осталось 225 − 1,5v км. По плану весь путь занимает 225/v ч. Фактически: 1,5 + 0,5 + (225 − 1,5v)/(v + 10).
2 + (225 − 1,5v)/(v + 10) = 225/v; 2v(v + 10) + v(225 − 1,5v) = 225(v + 10); 0,5v² + 245v = 225v + 2250; 0,5v² + 20v − 2250 = 0; v² + 40v − 4500 = 0; D₁ = 400 + 4500 = 4900; v = −20 + 70 = 50.
Проверка: по плану 225/50 = 4,5 ч; фактически 2 + 150/60 = 4,5 ч.
Ответ: 50 км/ч.
2 + (225 − 1,5v)/(v + 10) = 225/v; 2v(v + 10) + v(225 − 1,5v) = 225(v + 10); 0,5v² + 245v = 225v + 2250; 0,5v² + 20v − 2250 = 0; v² + 40v − 4500 = 0; D₁ = 400 + 4500 = 4900; v = −20 + 70 = 50.
Проверка: по плану 225/50 = 4,5 ч; фактически 2 + 150/60 = 4,5 ч.
Ответ: 50 км/ч.
816. Из города A в город B, расстояние между которыми 120 км, вышли одновременно два автомобиля. Первый из них ехал всё время с постоянной скоростью. Второй автомобиль первые 3/4 ч ехал с той же скоростью, затем сделал остановку на 15 мин, после этого увеличил скорость на 5 км/ч и прибыл в город B вместе с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.
Пусть скорость первого v км/ч; он в пути 120/v ч. Второй: 3/4 ч со скоростью v (путь 0,75v км), 0,25 ч стоянка, остальные 120 − 0,75v км со скоростью v + 5.
0,75 + 0,25 + (120 − 0,75v)/(v + 5) = 120/v; v(v + 5) + v(120 − 0,75v) = 120(v + 5); 0,25v² + 125v = 120v + 600; 0,25v² + 5v − 600 = 0; v² + 20v − 2400 = 0; D₁ = 100 + 2400 = 2500; v = −10 + 50 = 40.
Проверка: первый 120/40 = 3 ч; второй 1 + (120 − 30)/45 = 1 + 2 = 3 ч.
Ответ: 40 км/ч.
0,75 + 0,25 + (120 − 0,75v)/(v + 5) = 120/v; v(v + 5) + v(120 − 0,75v) = 120(v + 5); 0,25v² + 125v = 120v + 600; 0,25v² + 5v − 600 = 0; v² + 20v − 2400 = 0; D₁ = 100 + 2400 = 2500; v = −10 + 50 = 40.
Проверка: первый 120/40 = 3 ч; второй 1 + (120 − 30)/45 = 1 + 2 = 3 ч.
Ответ: 40 км/ч.
817. Автобус проехал расстояние между пунктами A и B, равное 400 км, с некоторой постоянной скоростью. Возвращаясь обратно, он 2 ч ехал с той же скоростью, а затем увеличил скорость на 10 км/ч и возвратился в пункт A, затратив на обратный путь на 20 мин меньше, чем на путь из A в B. Сколько времени затратил автобус на обратный путь?
Пусть скорость v км/ч. Время из A в B: 400/v ч. Обратно: 2 ч со скоростью v (путь 2v км), остальные 400 − 2v км со скоростью v + 10; 20 мин = 1/3 ч.
2 + (400 − 2v)/(v + 10) = 400/v − 1/3. Умножим на 3v(v + 10): 6v(v + 10) + 3v(400 − 2v) = 1200(v + 10) − v(v + 10); 1260v = 1190v + 12000 − v²; v² + 70v − 12000 = 0; D₁ = 1225 + 12000 = 13225 = 115²; v = −35 + 115 = 80.
Время на обратный путь: 400/80 − 1/3 = 5 − 1/3 = 4 2/3 ч = 4 ч 40 мин.
Проверка: 2 ч (160 км) + 240/90 = 2 2/3 ч, всего 4 2/3 ч.
Ответ: 4 ч 40 мин.
2 + (400 − 2v)/(v + 10) = 400/v − 1/3. Умножим на 3v(v + 10): 6v(v + 10) + 3v(400 − 2v) = 1200(v + 10) − v(v + 10); 1260v = 1190v + 12000 − v²; v² + 70v − 12000 = 0; D₁ = 1225 + 12000 = 13225 = 115²; v = −35 + 115 = 80.
Время на обратный путь: 400/80 − 1/3 = 5 − 1/3 = 4 2/3 ч = 4 ч 40 мин.
Проверка: 2 ч (160 км) + 240/90 = 2 2/3 ч, всего 4 2/3 ч.
Ответ: 4 ч 40 мин.
818. Мотоциклист ехал из одного города в другой 4 ч. На обратном пути первые 100 км он ехал с той же скоростью, а затем уменьшил её на 10 км/ч и поэтому на обратный путь затратил на 30 мин больше. Найдите расстояние между городами.
Пусть скорость v км/ч; расстояние 4v км. На обратном пути 100 км со скоростью v и 4v − 100 км со скоростью v − 10; время 4,5 ч.
100/v + (4v − 100)/(v − 10) = 4,5; 100(v − 10) + v(4v − 100) = 4,5v(v − 10); 4v² − 1000 = 4,5v² − 45v; 0,5v² − 45v + 1000 = 0; v² − 90v + 2000 = 0; D₁ = 2025 − 2000 = 25; v = 45 ± 5; v = 50 или v = 40. Оба значения подходят (4v > 100, v > 10).
Расстояние 4·50 = 200 км или 4·40 = 160 км.
Ответ: 200 км или 160 км.
100/v + (4v − 100)/(v − 10) = 4,5; 100(v − 10) + v(4v − 100) = 4,5v(v − 10); 4v² − 1000 = 4,5v² − 45v; 0,5v² − 45v + 1000 = 0; v² − 90v + 2000 = 0; D₁ = 2025 − 2000 = 25; v = 45 ± 5; v = 50 или v = 40. Оба значения подходят (4v > 100, v > 10).
Расстояние 4·50 = 200 км или 4·40 = 160 км.
Ответ: 200 км или 160 км.
819. Из двух городов A и B выходят одновременно два автомобиля и встречаются через 5 ч. Скорость автомобиля, выходящего из A, на 10 км/ч меньше скорости другого автомобиля. Если бы первый автомобиль вышел из A на 4 1/2 ч раньше второго, то встреча произошла бы в 150 км от B. Найдите расстояние между городами A и B.
Пусть скорость автомобиля из A равна x км/ч, из B — x + 10 км/ч. Расстояние AB = 5(x + x + 10) = 10x + 50.
В новой ситуации второй автомобиль до встречи проехал 150 км за 150/(x + 10) ч, первый ехал на 4,5 ч дольше и проехал AB − 150 = 10x − 100 км:
(10x − 100)/x = 150/(x + 10) + 4,5; 5,5 − 100/x = 150/(x + 10); 5,5x(x + 10) − 100(x + 10) = 150x; 5,5x² − 195x − 1000 = 0; 11x² − 390x − 2000 = 0; D = 152100 + 88000 = 240100 = 490²; x = (390 + 490)/22 = 40 (отрицательный корень не подходит).
Скорости 40 и 50 км/ч; AB = 5·90 = 450 км.
Проверка: второй 150 : 50 = 3 ч, первый ехал 7,5 ч и проехал 40·7,5 = 300 км; 300 + 150 = 450.
Ответ: 450 км.
В новой ситуации второй автомобиль до встречи проехал 150 км за 150/(x + 10) ч, первый ехал на 4,5 ч дольше и проехал AB − 150 = 10x − 100 км:
(10x − 100)/x = 150/(x + 10) + 4,5; 5,5 − 100/x = 150/(x + 10); 5,5x(x + 10) − 100(x + 10) = 150x; 5,5x² − 195x − 1000 = 0; 11x² − 390x − 2000 = 0; D = 152100 + 88000 = 240100 = 490²; x = (390 + 490)/22 = 40 (отрицательный корень не подходит).
Скорости 40 и 50 км/ч; AB = 5·90 = 450 км.
Проверка: второй 150 : 50 = 3 ч, первый ехал 7,5 ч и проехал 40·7,5 = 300 км; 300 + 150 = 450.
Ответ: 450 км.
820. Расстояние от пристани M до пристани N по течению реки катер проходит за 6 ч. Однажды, не дойдя 40 км до пристани N, катер повернул назад и возвратился к пристани M, затратив на весь путь 9 ч. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.
Пусть скорость катера в стоячей воде v км/ч. Расстояние MN = 6(v + 2) км. Катер прошёл по течению 6(v + 2) − 40 = 6v − 28 км и столько же обратно против течения.
(6v − 28)/(v + 2) + (6v − 28)/(v − 2) = 9; (6v − 28)·2v = 9(v² − 4); 12v² − 56v = 9v² − 36; 3v² − 56v + 36 = 0; D₁ = 784 − 108 = 676 = 26²; v = (28 ± 26)/3; v = 18 или v = 2/3. Значение 2/3 меньше скорости течения и не подходит.
Проверка: путь 6v − 28 = 80 км; 80/20 + 80/16 = 4 + 5 = 9 ч.
Ответ: 18 км/ч.
(6v − 28)/(v + 2) + (6v − 28)/(v − 2) = 9; (6v − 28)·2v = 9(v² − 4); 12v² − 56v = 9v² − 36; 3v² − 56v + 36 = 0; D₁ = 784 − 108 = 676 = 26²; v = (28 ± 26)/3; v = 18 или v = 2/3. Значение 2/3 меньше скорости течения и не подходит.
Проверка: путь 6v − 28 = 80 км; 80/20 + 80/16 = 4 + 5 = 9 ч.
Ответ: 18 км/ч.