Глава III. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфу 9 — с. 181
805. Найдите значения переменной y, при которых: а) сумма дробей 6/(y + 1) и y/(y − 2) равна их произведению; б) сумма дробей 2/(y − 3) и 6/(y + 3) равна их частному; в) разность дробей (y + 12)/(y − 4) и y/(y + 4) равна их произведению.
а) y ≠ −1, y ≠ 2. 6/(y + 1) + y/(y − 2) = 6y/((y + 1)(y − 2)). Умножим на (y + 1)(y − 2): 6(y − 2) + y(y + 1) = 6y; y² + y − 12 = 0; y = 3 или y = −4. Оба допустимы.
б) y ≠ ±3. Сумма: 2/(y − 3) + 6/(y + 3) = (2(y + 3) + 6(y − 3))/((y − 3)(y + 3)) = (8y − 12)/((y − 3)(y + 3)). Частное: (2/(y − 3)) : (6/(y + 3)) = (y + 3)/(3(y − 3)). Уравнение: (8y − 12)/((y − 3)(y + 3)) = (y + 3)/(3(y − 3)); 3(8y − 12) = (y + 3)²; y² − 18y + 45 = 0; y = 15 или y = 3. Значение 3 не подходит. y = 15.
Проверка: 2/12 + 6/18 = 1/2 и (1/6) : (1/3) = 1/2.
в) y ≠ ±4. Разность: (y + 12)/(y − 4) − y/(y + 4) = ((y + 12)(y + 4) − y(y − 4))/((y − 4)(y + 4)) = (20y + 48)/((y − 4)(y + 4)). Произведение: y(y + 12)/((y − 4)(y + 4)). Тогда 20y + 48 = y² + 12y; y² − 8y − 48 = 0; y = 12 или y = −4. Значение −4 не подходит. y = 12.
Проверка: 24/8 − 12/16 = 3 − 3/4 = 9/4 и 3·(3/4) = 9/4.
Ответ: а) 3; −4; б) 15; в) 12.
б) y ≠ ±3. Сумма: 2/(y − 3) + 6/(y + 3) = (2(y + 3) + 6(y − 3))/((y − 3)(y + 3)) = (8y − 12)/((y − 3)(y + 3)). Частное: (2/(y − 3)) : (6/(y + 3)) = (y + 3)/(3(y − 3)). Уравнение: (8y − 12)/((y − 3)(y + 3)) = (y + 3)/(3(y − 3)); 3(8y − 12) = (y + 3)²; y² − 18y + 45 = 0; y = 15 или y = 3. Значение 3 не подходит. y = 15.
Проверка: 2/12 + 6/18 = 1/2 и (1/6) : (1/3) = 1/2.
в) y ≠ ±4. Разность: (y + 12)/(y − 4) − y/(y + 4) = ((y + 12)(y + 4) − y(y − 4))/((y − 4)(y + 4)) = (20y + 48)/((y − 4)(y + 4)). Произведение: y(y + 12)/((y − 4)(y + 4)). Тогда 20y + 48 = y² + 12y; y² − 8y − 48 = 0; y = 12 или y = −4. Значение −4 не подходит. y = 12.
Проверка: 24/8 − 12/16 = 3 − 3/4 = 9/4 и 3·(3/4) = 9/4.
Ответ: а) 3; −4; б) 15; в) 12.
806. На перегоне в 600 км после прохождения 1/4 пути поезд был задержан на 1 ч 30 мин. Чтобы прийти на конечную станцию вовремя, машинист увеличил скорость поезда на 15 км/ч. Сколько времени поезд был в пути?
Пусть первоначальная скорость v км/ч. До задержки пройдено 600/4 = 150 км, осталось 450 км. По плану эти 450 км занимали 450/v ч, после увеличения скорости — 450/(v + 15) ч; разница равна времени задержки 1,5 ч.
450/v − 450/(v + 15) = 1,5; 450·15 = 1,5v(v + 15); v² + 15v − 4500 = 0; D = 225 + 18000 = 18225 = 135²; v = (−15 + 135)/2 = 60 (отрицательный корень не подходит).
Время в пути равно плановому: 600/60 = 10 ч.
Ответ: 10 ч.
450/v − 450/(v + 15) = 1,5; 450·15 = 1,5v(v + 15); v² + 15v − 4500 = 0; D = 225 + 18000 = 18225 = 135²; v = (−15 + 135)/2 = 60 (отрицательный корень не подходит).
Время в пути равно плановому: 600/60 = 10 ч.
Ответ: 10 ч.
807. Туристы совершили три перехода в 12,5 км, 18 км и 14 км, причём скорость на первом переходе была на 1 км/ч меньше скорости на втором переходе и на столько же больше скорости на третьем. На третий переход они затратили на 30 мин больше, чем на второй. Сколько времени заняли все переходы?
Пусть скорость на первом переходе x км/ч; тогда на втором x + 1, на третьем x − 1. Время на третий переход 14/(x − 1) ч, на второй 18/(x + 1) ч, разница 0,5 ч.
14/(x − 1) − 18/(x + 1) = 0,5; 28(x + 1) − 36(x − 1) = (x − 1)(x + 1); 64 − 8x = x² − 1; x² + 8x − 65 = 0; D₁ = 16 + 65 = 81; x = −4 + 9 = 5.
Скорости 5, 6 и 4 км/ч. Времена: 12,5/5 = 2,5 ч; 18/6 = 3 ч; 14/4 = 3,5 ч (3,5 − 3 = 0,5 — условие выполнено). Всего 2,5 + 3 + 3,5 = 9 ч.
Ответ: 9 ч.
14/(x − 1) − 18/(x + 1) = 0,5; 28(x + 1) − 36(x − 1) = (x − 1)(x + 1); 64 − 8x = x² − 1; x² + 8x − 65 = 0; D₁ = 16 + 65 = 81; x = −4 + 9 = 5.
Скорости 5, 6 и 4 км/ч. Времена: 12,5/5 = 2,5 ч; 18/6 = 3 ч; 14/4 = 3,5 ч (3,5 − 3 = 0,5 — условие выполнено). Всего 2,5 + 3 + 3,5 = 9 ч.
Ответ: 9 ч.
808. Автомобиль прошёл с некоторой постоянной скоростью путь от A до B длиной 240 км. Возвращаясь обратно, он прошёл половину пути с той же скоростью, а затем увеличил её на 10 км/ч. В результате на обратный путь было затрачено на 2/5 ч меньше, чем на путь от A до B. С какой скоростью шёл автомобиль из A в B?
Пусть скорость v км/ч. Время от A до B: 240/v ч. Обратно: 120 км со скоростью v и 120 км со скоростью v + 10, время 120/v + 120/(v + 10).
240/v − (120/v + 120/(v + 10)) = 2/5; 120/v − 120/(v + 10) = 2/5; 120·10/(v(v + 10)) = 2/5; v(v + 10) = 3000; v² + 10v − 3000 = 0; D₁ = 25 + 3000 = 3025 = 55²; v = −5 + 55 = 50.
Ответ: 50 км/ч.
240/v − (120/v + 120/(v + 10)) = 2/5; 120/v − 120/(v + 10) = 2/5; 120·10/(v(v + 10)) = 2/5; v(v + 10) = 3000; v² + 10v − 3000 = 0; D₁ = 25 + 3000 = 3025 = 55²; v = −5 + 55 = 50.
Ответ: 50 км/ч.
809. Расстояние от A до B, равное 400 км, поезд прошёл с некоторой постоянной скоростью; 2/5 обратного пути из B в A он шёл с той же скоростью, а потом уменьшил скорость на 20 км/ч. Найдите скорость поезда на последнем участке, если на всю дорогу было затрачено 11 ч.
Пусть скорость v км/ч (v > 20). От A до B: 400/v ч. Обратно: (2/5)·400 = 160 км со скоростью v и 240 км со скоростью v − 20.
400/v + 160/v + 240/(v − 20) = 11; 560/v + 240/(v − 20) = 11; 560(v − 20) + 240v = 11v(v − 20); 11v² − 1020v + 11200 = 0; D = 1020² − 4·11·11200 = 1040400 − 492800 = 547600 = 740²; v = (1020 ± 740)/22; v = 80 или v = 140/11. Второе значение меньше 20 и не подходит.
Скорость на последнем участке 80 − 20 = 60 км/ч.
Ответ: 60 км/ч.
400/v + 160/v + 240/(v − 20) = 11; 560/v + 240/(v − 20) = 11; 560(v − 20) + 240v = 11v(v − 20); 11v² − 1020v + 11200 = 0; D = 1020² − 4·11·11200 = 1040400 − 492800 = 547600 = 740²; v = (1020 ± 740)/22; v = 80 или v = 140/11. Второе значение меньше 20 и не подходит.
Скорость на последнем участке 80 − 20 = 60 км/ч.
Ответ: 60 км/ч.
810. Турист проехал на моторной лодке вверх по реке 25 км, а обратно спустился на плоту. В лодке он плыл на 10 ч меньше, чем на плоту. Найдите скорость течения, если скорость лодки в стоячей воде 12 км/ч.
Пусть скорость течения c км/ч (0 < c < 12). Плот плывёт со скоростью течения: время 25/c. Лодка против течения: 25/(12 − c).
25/c − 25/(12 − c) = 10; 5(12 − c) − 5c = 2c(12 − c); 60 − 10c = 24c − 2c²; c² − 17c + 30 = 0; c = 2 или c = 15. Значение 15 больше 12 и не подходит.
Проверка: 25/2 = 12,5 ч; 25/10 = 2,5 ч; разница 10 ч.
Ответ: 2 км/ч.
25/c − 25/(12 − c) = 10; 5(12 − c) − 5c = 2c(12 − c); 60 − 10c = 24c − 2c²; c² − 17c + 30 = 0; c = 2 или c = 15. Значение 15 больше 12 и не подходит.
Проверка: 25/2 = 12,5 ч; 25/10 = 2,5 ч; разница 10 ч.
Ответ: 2 км/ч.
811. Моторная лодка прошла 35 км вверх по реке и на 18 км поднялась по её притоку, затратив на весь путь 8 ч. Скорость течения в реке на 1 км/ч меньше скорости течения в её притоке. Найдите скорость течения в реке, если скорость лодки в стоячей воде 10 км/ч.
Пусть скорость течения в реке c км/ч, в притоке c + 1 км/ч. Скорость лодки против течения в реке 10 − c, в притоке 10 − (c + 1) = 9 − c (c < 9).
35/(10 − c) + 18/(9 − c) = 8; 35(9 − c) + 18(10 − c) = 8(10 − c)(9 − c); 495 − 53c = 8c² − 152c + 720; 8c² − 99c + 225 = 0; D = 9801 − 7200 = 2601 = 51²; c = (99 ± 51)/16; c = 3 или c = 9,375. Значение 9,375 не подходит (должно быть c < 9).
Проверка: 35/7 + 18/6 = 5 + 3 = 8 ч.
Ответ: 3 км/ч.
35/(10 − c) + 18/(9 − c) = 8; 35(9 − c) + 18(10 − c) = 8(10 − c)(9 − c); 495 − 53c = 8c² − 152c + 720; 8c² − 99c + 225 = 0; D = 9801 − 7200 = 2601 = 51²; c = (99 ± 51)/16; c = 3 или c = 9,375. Значение 9,375 не подходит (должно быть c < 9).
Проверка: 35/7 + 18/6 = 5 + 3 = 8 ч.
Ответ: 3 км/ч.
812. Из пункта A отправили по течению плот. Вслед за ним через 5 ч 20 мин из того же пункта вышел катер и догнал плот, пройдя 20 км. Сколько километров в час проходил плот, если катер шёл быстрее его на 12 км/ч?
Пусть скорость плота x км/ч, скорость катера x + 12 км/ч. Плот до встречи шёл 20/x ч, катер 20/(x + 12) ч. Катер вышел на 5 ч 20 мин = 16/3 ч позже.
20/x − 20/(x + 12) = 16/3; 20·12·3 = 16x(x + 12); x² + 12x − 45 = 0; x = 3 или x = −15 (не подходит).
Проверка: 20/3 − 20/15 = 20/3 − 4/3 = 16/3 ч.
Ответ: 3 км/ч.
20/x − 20/(x + 12) = 16/3; 20·12·3 = 16x(x + 12); x² + 12x − 45 = 0; x = 3 или x = −15 (не подходит).
Проверка: 20/3 − 20/15 = 20/3 − 4/3 = 16/3 ч.
Ответ: 3 км/ч.