Глава III. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфу 8 — с. 179
792. Сумма положительных чисел a и b равна 40. При каких значениях a и b их произведение будет наибольшим?
b = 40 − a, 0 < a < 40. Произведение ab = a(40 − a) = −a² + 40a = −(a − 20)² + 400.
Наибольшее значение 400 достигается при a = 20, тогда b = 20.
Ответ: a = 20, b = 20.
Наибольшее значение 400 достигается при a = 20, тогда b = 20.
Ответ: a = 20, b = 20.
793. Разложите на множители квадратный трёхчлен: а) 0,8x² − 19,8x − 5; б) 3,5 − 3 1/3 x + (2/3)x²; в) x² + x√2 − 2; г) x² − x√6 + 1.
Используем ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).
а) 0,8x² − 19,8x − 5 = 0, умножим на 5: 4x² − 99x − 25 = 0; D = 9801 + 400 = 10201 = 101²; x = (99 ± 101)/8; x₁ = 25, x₂ = −1/4. Разложение: 0,8(x − 25)(x + 1/4).
б) (2/3)x² − (10/3)x + 3,5 = 0, умножим на 6: 4x² − 20x + 21 = 0; D₁ = 100 − 84 = 16; x = (10 ± 4)/4; x₁ = 3,5, x₂ = 1,5. Разложение: (2/3)(x − 3,5)(x − 1,5).
в) D = 2 + 8 = 10; x = (−√2 ± √10)/2. Разложение: (x − (−√2 + √10)/2)(x − (−√2 − √10)/2) = (x + (√2 − √10)/2)(x + (√2 + √10)/2).
г) D = 6 − 4 = 2; x = (√6 ± √2)/2. Разложение: (x − (√6 + √2)/2)(x − (√6 − √2)/2).
Ответ: см. разложения по пунктам.
а) 0,8x² − 19,8x − 5 = 0, умножим на 5: 4x² − 99x − 25 = 0; D = 9801 + 400 = 10201 = 101²; x = (99 ± 101)/8; x₁ = 25, x₂ = −1/4. Разложение: 0,8(x − 25)(x + 1/4).
б) (2/3)x² − (10/3)x + 3,5 = 0, умножим на 6: 4x² − 20x + 21 = 0; D₁ = 100 − 84 = 16; x = (10 ± 4)/4; x₁ = 3,5, x₂ = 1,5. Разложение: (2/3)(x − 3,5)(x − 1,5).
в) D = 2 + 8 = 10; x = (−√2 ± √10)/2. Разложение: (x − (−√2 + √10)/2)(x − (−√2 − √10)/2) = (x + (√2 − √10)/2)(x + (√2 + √10)/2).
г) D = 6 − 4 = 2; x = (√6 ± √2)/2. Разложение: (x − (√6 + √2)/2)(x − (√6 − √2)/2).
Ответ: см. разложения по пунктам.
794. Зная, что коэффициенты квадратного трёхчлена (n − 3)x² + (n + 1)x + 9 − 2n — натуральные числа, найдите этот трёхчлен.
Все три коэффициента — натуральные числа. Из n − 3 и n + 1 натуральных следует, что n — целое и n − 3 ≥ 1, т. е. n ≥ 4. Из 9 − 2n ≥ 1 получаем n ≤ 4. Значит, n = 4.
Коэффициенты: n − 3 = 1, n + 1 = 5, 9 − 2n = 1. Трёхчлен x² + 5x + 1.
Ответ: x² + 5x + 1.
Коэффициенты: n − 3 = 1, n + 1 = 5, 9 − 2n = 1. Трёхчлен x² + 5x + 1.
Ответ: x² + 5x + 1.
795. Зная, что m — целое число, найдите целые корни трёхчлена mx² + (m − 3)x − 3.
Разложим на множители: mx² + mx − 3x − 3 = mx(x + 1) − 3(x + 1) = (x + 1)(mx − 3).
Корни: x = −1 (при любом m) и x = 3/m (при m ≠ 0).
Число 3/m целое, если m — делитель числа 3: m = 1, −1, 3, −3. Тогда 3/m = 3, −3, 1, −1 соответственно.
Ответ: корень −1 целый при любом m; кроме него, целый корень 3/m есть при m = ±1 и m = ±3 (корни 3, −3, 1, −1 соответственно); при остальных целых m второй корень не целый.
Корни: x = −1 (при любом m) и x = 3/m (при m ≠ 0).
Число 3/m целое, если m — делитель числа 3: m = 1, −1, 3, −3. Тогда 3/m = 3, −3, 1, −1 соответственно.
Ответ: корень −1 целый при любом m; кроме него, целый корень 3/m есть при m = ±1 и m = ±3 (корни 3, −3, 1, −1 соответственно); при остальных целых m второй корень не целый.
796. Сократите дробь: а) (2m² − 8)/(m² + 6m + 8); б) (2m² − 5m + 2)/(mn − 2n − 3m + 6).
а) Числитель 2(m² − 4) = 2(m − 2)(m + 2). Знаменатель: m² + 6m + 8 = (m + 2)(m + 4) (корни −2 и −4). Дробь = 2(m − 2)(m + 2)/((m + 2)(m + 4)) = 2(m − 2)/(m + 4).
б) Числитель: корни 2m² − 5m + 2 = 0: D = 9, m = (5 ± 3)/4 = 2 и 1/2; 2m² − 5m + 2 = 2(m − 2)(m − 1/2) = (m − 2)(2m − 1). Знаменатель: n(m − 2) − 3(m − 2) = (m − 2)(n − 3). Дробь = (2m − 1)/(n − 3).
Ответ: а) 2(m − 2)/(m + 4); б) (2m − 1)/(n − 3).
б) Числитель: корни 2m² − 5m + 2 = 0: D = 9, m = (5 ± 3)/4 = 2 и 1/2; 2m² − 5m + 2 = 2(m − 2)(m − 1/2) = (m − 2)(2m − 1). Знаменатель: n(m − 2) − 3(m − 2) = (m − 2)(n − 3). Дробь = (2m − 1)/(n − 3).
Ответ: а) 2(m − 2)/(m + 4); б) (2m − 1)/(n − 3).
797. Выполните действие: а) (x + 4)/(x − 1) − (37x − 12)/(4x² − 3x − 1); б) (x − 1)/(x + 2) − (1 − x)/(x² + 3x + 2); в) (7x − x²)/(x + 4) · (x² − x − 20)/(7 − x); г) (x² + 11x + 30)/(3x − 15) : (x + 5)/(x − 5); д) (2x² − 7)/(x² − 3x − 4) − (x + 1)/(x − 4); е) (2 + x − x²)/(2 − 5x + 3x²) + 10x/(3x − 2).
а) 4x² − 3x − 1 = (4x + 1)(x − 1). Общий знаменатель (x − 1)(4x + 1): числитель (x + 4)(4x + 1) − (37x − 12) = 4x² + 17x + 4 − 37x + 12 = 4x² − 20x + 16 = 4(x − 1)(x − 4). Результат 4(x − 4)/(4x + 1).
б) x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2); Вычитание дроби с числителем 1 − x равно прибавлению дроби с числителем x − 1: (x − 1)/(x + 2) + (x − 1)/((x + 1)(x + 2)) = (x − 1)(x + 1 + 1)/((x + 1)(x + 2)) = (x − 1)(x + 2)/((x + 1)(x + 2)) = (x − 1)/(x + 1).
в) 7x − x² = x(7 − x); x² − x − 20 = (x − 5)(x + 4). Произведение: x(7 − x)(x − 5)(x + 4)/((x + 4)(7 − x)) = x(x − 5) = x² − 5x.
г) x² + 11x + 30 = (x + 5)(x + 6); 3x − 15 = 3(x − 5). (x + 5)(x + 6)/(3(x − 5)) · (x − 5)/(x + 5) = (x + 6)/3.
д) x² − 3x − 4 = (x − 4)(x + 1). Числитель: 2x² − 7 − (x + 1)² = x² − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2). Результат (x + 2)/(x + 1).
е) 2 + x − x² = −(x − 2)(x + 1) = (2 − x)(x + 1); 2 − 5x + 3x² = (3x − 2)(x − 1). Сумма: ((2 − x)(x + 1) + 10x(x − 1))/((3x − 2)(x − 1)) = (9x² − 9x + 2)/((3x − 2)(x − 1)) = (3x − 1)(3x − 2)/((3x − 2)(x − 1)) = (3x − 1)/(x − 1).
Ответ: а) 4(x − 4)/(4x + 1); б) (x − 1)/(x + 1); в) x² − 5x; г) (x + 6)/3; д) (x + 2)/(x + 1); е) (3x − 1)/(x − 1).
б) x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2); Вычитание дроби с числителем 1 − x равно прибавлению дроби с числителем x − 1: (x − 1)/(x + 2) + (x − 1)/((x + 1)(x + 2)) = (x − 1)(x + 1 + 1)/((x + 1)(x + 2)) = (x − 1)(x + 2)/((x + 1)(x + 2)) = (x − 1)/(x + 1).
в) 7x − x² = x(7 − x); x² − x − 20 = (x − 5)(x + 4). Произведение: x(7 − x)(x − 5)(x + 4)/((x + 4)(7 − x)) = x(x − 5) = x² − 5x.
г) x² + 11x + 30 = (x + 5)(x + 6); 3x − 15 = 3(x − 5). (x + 5)(x + 6)/(3(x − 5)) · (x − 5)/(x + 5) = (x + 6)/3.
д) x² − 3x − 4 = (x − 4)(x + 1). Числитель: 2x² − 7 − (x + 1)² = x² − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2). Результат (x + 2)/(x + 1).
е) 2 + x − x² = −(x − 2)(x + 1) = (2 − x)(x + 1); 2 − 5x + 3x² = (3x − 2)(x − 1). Сумма: ((2 − x)(x + 1) + 10x(x − 1))/((3x − 2)(x − 1)) = (9x² − 9x + 2)/((3x − 2)(x − 1)) = (3x − 1)(3x − 2)/((3x − 2)(x − 1)) = (3x − 1)/(x − 1).
Ответ: а) 4(x − 4)/(4x + 1); б) (x − 1)/(x + 1); в) x² − 5x; г) (x + 6)/3; д) (x + 2)/(x + 1); е) (3x − 1)/(x − 1).
798. Решите уравнение: а) (x + 1)/6 + 20/(x − 1) = 4; б) (x + 15)/4 − 21/(x + 2) = 2; в) 12/(x − 1) − 8/(x + 1) = 1; г) 16/(x − 3) + 30/(1 − x) = 3; д) 3/(1 − x) + 1/(1 + x) = 28/(1 − x²); е) 5/(x − 2) − 3/(x + 2) = 20/(x² − 4); ж) (x + 2)/(x + 1) + (x + 3)/(x − 2) = 29/((x + 1)(x − 2)); з) (x + 2)/(x + 3) − (x + 1)/(x − 1) = 4/((x + 3)(x − 1)).
а) x ≠ 1. Умножим на 6(x − 1): (x + 1)(x − 1) + 120 = 24(x − 1); x² − 24x + 143 = 0; D₁ = 144 − 143 = 1; x = 12 ± 1; x = 13 или x = 11.
б) x ≠ −2. Умножим на 4(x + 2): (x + 15)(x + 2) − 84 = 8(x + 2); x² + 9x − 70 = 0; x = 5 или x = −14.
в) x ≠ ±1. 12(x + 1) − 8(x − 1) = x² − 1; x² − 4x − 21 = 0; x = 7 или x = −3.
г) x ≠ 3, x ≠ 1. 30/(1 − x) = −30/(x − 1). 16(x − 1) − 30(x − 3) = 3(x − 3)(x − 1); −14x + 74 = 3x² − 12x + 9; 3x² + 2x − 65 = 0; D₁ = 1 + 195 = 196; x = (−1 ± 14)/3; x = 13/3 или x = −5.
д) x ≠ ±1. Общий знаменатель 1 − x²: 3(1 + x) + (1 − x) = 28; 2x + 4 = 28; x = 12.
е) x ≠ ±2. 5(x + 2) − 3(x − 2) = 20; 2x + 16 = 20; x = 2 — не входит в область допустимых значений. Корней нет.
ж) x ≠ −1, x ≠ 2. (x + 2)(x − 2) + (x + 3)(x + 1) = 29; x² − 4 + x² + 4x + 3 = 29; 2x² + 4x − 30 = 0; x² + 2x − 15 = 0; x = 3 или x = −5. Оба значения допустимы.
з) x ≠ −3, x ≠ 1. (x + 2)(x − 1) − (x + 1)(x + 3) = 4; x² + x − 2 − x² − 4x − 3 = 4; −3x = 9; x = −3 — не входит в область допустимых значений. Корней нет.
Ответ: а) 11; 13; б) −14; 5; в) −3; 7; г) −5; 13/3; д) 12; е) корней нет; ж) −5; 3; з) корней нет.
б) x ≠ −2. Умножим на 4(x + 2): (x + 15)(x + 2) − 84 = 8(x + 2); x² + 9x − 70 = 0; x = 5 или x = −14.
в) x ≠ ±1. 12(x + 1) − 8(x − 1) = x² − 1; x² − 4x − 21 = 0; x = 7 или x = −3.
г) x ≠ 3, x ≠ 1. 30/(1 − x) = −30/(x − 1). 16(x − 1) − 30(x − 3) = 3(x − 3)(x − 1); −14x + 74 = 3x² − 12x + 9; 3x² + 2x − 65 = 0; D₁ = 1 + 195 = 196; x = (−1 ± 14)/3; x = 13/3 или x = −5.
д) x ≠ ±1. Общий знаменатель 1 − x²: 3(1 + x) + (1 − x) = 28; 2x + 4 = 28; x = 12.
е) x ≠ ±2. 5(x + 2) − 3(x − 2) = 20; 2x + 16 = 20; x = 2 — не входит в область допустимых значений. Корней нет.
ж) x ≠ −1, x ≠ 2. (x + 2)(x − 2) + (x + 3)(x + 1) = 29; x² − 4 + x² + 4x + 3 = 29; 2x² + 4x − 30 = 0; x² + 2x − 15 = 0; x = 3 или x = −5. Оба значения допустимы.
з) x ≠ −3, x ≠ 1. (x + 2)(x − 1) − (x + 1)(x + 3) = 4; x² + x − 2 − x² − 4x − 3 = 4; −3x = 9; x = −3 — не входит в область допустимых значений. Корней нет.
Ответ: а) 11; 13; б) −14; 5; в) −3; 7; г) −5; 13/3; д) 12; е) корней нет; ж) −5; 3; з) корней нет.
799. Найдите координаты точек пересечения с осью x графика функции, заданной формулой: а) y = (2x − 5)/(x + 3); б) y = (x − 4)(3x − 15)/(x − 9); в) y = (x² − 5x + 6)/(x − 2); г) y = (x³ − 7x² + 12x)/(x − 3).
С осью x график пересекается там, где y = 0: числитель равен нулю, знаменатель не равен нулю.
а) 2x − 5 = 0, x = 2,5; знаменатель 5,5 ≠ 0. Точка (2,5; 0).
б) (x − 4)(3x − 15) = 0, x = 4 или x = 5; при x ≠ 9 оба подходят. Точки (4; 0) и (5; 0).
в) x² − 5x + 6 = 0, x = 2 или x = 3; x = 2 обращает знаменатель в нуль и не подходит. Точка (3; 0).
г) x³ − 7x² + 12x = x(x − 3)(x − 4) = 0, x = 0, 3, 4; x = 3 не подходит. Точки (0; 0) и (4; 0).
Ответ: а) (2,5; 0); б) (4; 0), (5; 0); в) (3; 0); г) (0; 0), (4; 0).
а) 2x − 5 = 0, x = 2,5; знаменатель 5,5 ≠ 0. Точка (2,5; 0).
б) (x − 4)(3x − 15) = 0, x = 4 или x = 5; при x ≠ 9 оба подходят. Точки (4; 0) и (5; 0).
в) x² − 5x + 6 = 0, x = 2 или x = 3; x = 2 обращает знаменатель в нуль и не подходит. Точка (3; 0).
г) x³ − 7x² + 12x = x(x − 3)(x − 4) = 0, x = 0, 3, 4; x = 3 не подходит. Точки (0; 0) и (4; 0).
Ответ: а) (2,5; 0); б) (4; 0), (5; 0); в) (3; 0); г) (0; 0), (4; 0).