Глава III. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфу 7 — с. 177
765. Найдите b и решите уравнение: а) 2x² + bx − 10 = 0, если оно имеет корень 5; б) 3x² + bx + 24 = 0, если оно имеет корень 3; в) (b − 1)x² − (b + 1)x = 72, если оно имеет корень 3; г) (b − 5)x² − (b − 2)x + b = 0, если оно имеет корень 1/2.
а) Подставим x = 5: 50 + 5b − 10 = 0, b = −8. Уравнение 2x² − 8x − 10 = 0, т. е. x² − 4x − 5 = 0; корни 5 и −1.
б) x = 3: 27 + 3b + 24 = 0, b = −17. Уравнение 3x² − 17x + 24 = 0; D = 289 − 288 = 1; x = (17 ± 1)/6; корни 3 и 8/3.
в) x = 3: 9(b − 1) − 3(b + 1) = 72; 6b − 12 = 72; b = 14. Уравнение 13x² − 15x − 72 = 0; D = 225 + 3744 = 3969 = 63²; x = (15 ± 63)/26; корни 3 и −24/13.
г) x = 1/2: (b − 5)/4 − (b − 2)/2 + b = 0; умножим на 4: b − 5 − 2b + 4 + 4b = 0; 3b − 1 = 0; b = 1/3. Уравнение −(14/3)x² + (5/3)x + 1/3 = 0, т. е. 14x² − 5x − 1 = 0; D = 25 + 56 = 81; x = (5 ± 9)/28; корни 1/2 и −1/7.
Ответ: а) b = −8; 5 и −1; б) b = −17; 3 и 8/3; в) b = 14; 3 и −24/13; г) b = 1/3; 1/2 и −1/7.
б) x = 3: 27 + 3b + 24 = 0, b = −17. Уравнение 3x² − 17x + 24 = 0; D = 289 − 288 = 1; x = (17 ± 1)/6; корни 3 и 8/3.
в) x = 3: 9(b − 1) − 3(b + 1) = 72; 6b − 12 = 72; b = 14. Уравнение 13x² − 15x − 72 = 0; D = 225 + 3744 = 3969 = 63²; x = (15 ± 63)/26; корни 3 и −24/13.
г) x = 1/2: (b − 5)/4 − (b − 2)/2 + b = 0; умножим на 4: b − 5 − 2b + 4 + 4b = 0; 3b − 1 = 0; b = 1/3. Уравнение −(14/3)x² + (5/3)x + 1/3 = 0, т. е. 14x² − 5x − 1 = 0; D = 25 + 56 = 81; x = (5 ± 9)/28; корни 1/2 и −1/7.
Ответ: а) b = −8; 5 и −1; б) b = −17; 3 и 8/3; в) b = 14; 3 и −24/13; г) b = 1/3; 1/2 и −1/7.
766. Докажите, что уравнение 7x² + bx − 23 = 0 при любых значениях b имеет один положительный и один отрицательный корень.
Дискриминант D = b² + 4·7·23 = b² + 644 > 0 при любом b, значит, уравнение имеет два корня x₁ и x₂.
По теореме Виета x₁x₂ = −23/7 < 0, поэтому корни имеют разные знаки: один положительный, другой отрицательный. Что и требовалось доказать.
По теореме Виета x₁x₂ = −23/7 < 0, поэтому корни имеют разные знаки: один положительный, другой отрицательный. Что и требовалось доказать.
767. Докажите, что уравнение 12x² + 70x + a² + 1 = 0 при любых значениях a не имеет положительных корней.
При x > 0 все слагаемые 12x², 70x и a² + 1 положительны, поэтому 12x² + 70x + a² + 1 > 0, и значение выражения не равно нулю. При x = 0 значение равно a² + 1 > 0. Следовательно, положительных корней (и корня 0) уравнение не имеет ни при каком a. Что и требовалось доказать.
(Если корни существуют, то по теореме Виета их произведение (a² + 1)/12 > 0, а сумма −70/12 < 0, т. е. оба корня отрицательны.)
(Если корни существуют, то по теореме Виета их произведение (a² + 1)/12 > 0, а сумма −70/12 < 0, т. е. оба корня отрицательны.)
768. Докажите, что если сумма коэффициентов квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 равна нулю, то один из корней уравнения равен 1. Используя это свойство, решите уравнение: а) 2x² − 41x + 39 = 0; б) 17x² + 243x − 260 = 0.
Доказательство. Пусть a + b + c = 0. Подставим x = 1: a·1² + b·1 + c = a + b + c = 0. Значит, число 1 — корень уравнения.
По теореме Виета x₁x₂ = c/a, при x₁ = 1 второй корень x₂ = c/a.
а) 2 − 41 + 39 = 0, поэтому x₁ = 1, x₂ = 39/2 = 19,5.
б) 17 + 243 − 260 = 0, поэтому x₁ = 1, x₂ = −260/17 = −15 5/17.
Ответ: а) 1; 19,5; б) 1; −260/17.
По теореме Виета x₁x₂ = c/a, при x₁ = 1 второй корень x₂ = c/a.
а) 2 − 41 + 39 = 0, поэтому x₁ = 1, x₂ = 39/2 = 19,5.
б) 17 + 243 − 260 = 0, поэтому x₁ = 1, x₂ = −260/17 = −15 5/17.
Ответ: а) 1; 19,5; б) 1; −260/17.
769. Разность корней уравнения 3x² + bx + 10 = 0 равна 4 1/3. Найдите b.
Пусть x₁ − x₂ = 13/3. По теореме Виета x₁ + x₂ = −b/3, x₁x₂ = 10/3.
(x₁ − x₂)² = (x₁ + x₂)² − 4x₁x₂; 169/9 = b²/9 − 40/3; 169 = b² − 120; b² = 289; b = 17 или b = −17.
Проверка: D = b² − 120 = 169 > 0; при b = 17 корни (−17 ± 13)/6 = −2/3 и −5, разность 13/3. При b = −17 корни противоположны по знаку, разность также 13/3.
Ответ: b = 17 или b = −17.
(x₁ − x₂)² = (x₁ + x₂)² − 4x₁x₂; 169/9 = b²/9 − 40/3; 169 = b² − 120; b² = 289; b = 17 или b = −17.
Проверка: D = b² − 120 = 169 > 0; при b = 17 корни (−17 ± 13)/6 = −2/3 и −5, разность 13/3. При b = −17 корни противоположны по знаку, разность также 13/3.
Ответ: b = 17 или b = −17.
770. Один из корней уравнения 5x² − 12x + c = 0 в 3 раза больше другого. Найдите c.
Пусть корни x₁ и x₂ = 3x₁. По теореме Виета x₁ + x₂ = 12/5, т. е. 4x₁ = 12/5, x₁ = 3/5, x₂ = 9/5.
Тогда c/5 = x₁x₂ = 27/25, c = 27/5 = 5,4.
Проверка: D = 144 − 20·5,4 = 36 > 0.
Ответ: c = 5,4.
Тогда c/5 = x₁x₂ = 27/25, c = 27/5 = 5,4.
Проверка: D = 144 − 20·5,4 = 36 > 0.
Ответ: c = 5,4.
771. Частное корней уравнения 4x² + bx − 27 = 0 равно −3. Найдите b.
Пусть x₁/x₂ = −3, т. е. x₁ = −3x₂. По теореме Виета x₁x₂ = −27/4: −3x₂² = −27/4; x₂² = 9/4; x₂ = ±3/2.
Если x₂ = 3/2, то x₁ = −9/2, сумма −3 = −b/4, b = 12.
Если x₂ = −3/2, то x₁ = 9/2, сумма 3 = −b/4, b = −12.
D = b² + 432 > 0, корни существуют.
Ответ: b = 12 или b = −12.
Если x₂ = 3/2, то x₁ = −9/2, сумма −3 = −b/4, b = 12.
Если x₂ = −3/2, то x₁ = 9/2, сумма 3 = −b/4, b = −12.
D = b² + 432 > 0, корни существуют.
Ответ: b = 12 или b = −12.
772. Квадрат разности корней уравнения x² + px + 90 = 0 равен 81. Найдите p.
По теореме Виета x₁ + x₂ = −p, x₁x₂ = 90. (x₁ − x₂)² = (x₁ + x₂)² − 4x₁x₂ = p² − 360 = 81; p² = 441; p = 21 или p = −21.
При таких p дискриминант D = p² − 360 = 81 > 0, корни существуют.
Ответ: p = 21 или p = −21.
При таких p дискриминант D = p² − 360 = 81 > 0, корни существуют.
Ответ: p = 21 или p = −21.
773. Разность квадратов корней уравнения 2x² − 5x + c = 0 равна 0,25. Найдите c.
По теореме Виета x₁ + x₂ = 5/2, x₁x₂ = c/2. Разность квадратов x₁² − x₂² = (x₁ − x₂)(x₁ + x₂) = 0,25, откуда x₁ − x₂ = 0,25 : 2,5 = 0,1.
Решаем систему x₁ + x₂ = 2,5, x₁ − x₂ = 0,1: x₁ = 1,3, x₂ = 1,2.
c = 2x₁x₂ = 2·1,56 = 3,12.
Проверка: D = 25 − 8·3,12 = 0,04 > 0 (корни (5 ± 0,2)/4 = 1,3 и 1,2). Если поменять корни местами, c не изменится.
Ответ: c = 3,12.
Решаем систему x₁ + x₂ = 2,5, x₁ − x₂ = 0,1: x₁ = 1,3, x₂ = 1,2.
c = 2x₁x₂ = 2·1,56 = 3,12.
Проверка: D = 25 − 8·3,12 = 0,04 > 0 (корни (5 ± 0,2)/4 = 1,3 и 1,2). Если поменять корни местами, c не изменится.
Ответ: c = 3,12.
774. Один из корней уравнения 4x² + bx + c = 0 равен 0,5, а другой — свободному члену. Найдите b и c.
Корни: x₁ = 0,5 и x₂ = c. По теореме Виета x₁x₂ = c/4: 0,5c = c/4; 0,25c = 0; c = 0. Тогда x₂ = 0 и x₁ + x₂ = 0,5 = −b/4, b = −2.
Проверка: 4x² − 2x = 0, 2x(2x − 1) = 0, корни 0 и 0,5; второй корень равен свободному члену 0.
Ответ: b = −2, c = 0.
Проверка: 4x² − 2x = 0, 2x(2x − 1) = 0, корни 0 и 0,5; второй корень равен свободному члену 0.
Ответ: b = −2, c = 0.
775. Известно, что коэффициенты b и c уравнения x² + bx + c = 0, где c ≠ 0, являются его корнями. Найдите b и c.
Корни x₁ = b, x₂ = c. По теореме Виета: b + c = −b и bc = c.
Из второго равенства c(b − 1) = 0; так как c ≠ 0, то b = 1. Из первого: 1 + c = −1, c = −2.
Проверка: x² + x − 2 = 0 имеет корни 1 и −2, т. е. b и c.
Ответ: b = 1, c = −2.
Из второго равенства c(b − 1) = 0; так как c ≠ 0, то b = 1. Из первого: 1 + c = −1, c = −2.
Проверка: x² + x − 2 = 0 имеет корни 1 и −2, т. е. b и c.
Ответ: b = 1, c = −2.
776. Выразите через p и q сумму квадратов корней уравнения x² + px + q = 0.
По теореме Виета x₁ + x₂ = −p, x₁x₂ = q.
x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = p² − 2q.
Ответ: p² − 2q.
x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = p² − 2q.
Ответ: p² − 2q.
777. Известно, что сумма квадратов корней уравнения x² − 15x + q = 0 равна 153. Найдите q.
x₁ + x₂ = 15, x₁x₂ = q. x₁² + x₂² = 15² − 2q = 225 − 2q = 153; 2q = 72; q = 36.
Проверка: D = 225 − 144 = 81 > 0; корни (15 ± 9)/2 = 12 и 3, 144 + 9 = 153.
Ответ: q = 36.
Проверка: D = 225 − 144 = 81 > 0; корни (15 ± 9)/2 = 12 и 3, 144 + 9 = 153.
Ответ: q = 36.
778. Квадрат разности корней уравнения x² + px + 405 = 0 равен 144. Найдите p.
x₁ + x₂ = −p, x₁x₂ = 405. (x₁ − x₂)² = p² − 4·405 = p² − 1620 = 144; p² = 1764; p = 42 или p = −42.
Проверка: D = 144 > 0.
Ответ: p = 42 или p = −42.
Проверка: D = 144 > 0.
Ответ: p = 42 или p = −42.
779. Известно, что x₁ и x₂ — корни уравнения 3x² + 2x + k = 0, причём 2x₁ = −3x₂. Найдите k.
По теореме Виета x₁ + x₂ = −2/3, x₁x₂ = k/3. Из 2x₁ = −3x₂ получаем x₁ = −1,5x₂.
−1,5x₂ + x₂ = −0,5x₂ = −2/3, x₂ = 4/3, x₁ = −2.
k = 3x₁x₂ = 3·(−2)·(4/3) = −8.
Проверка: 3x² + 2x − 8 = 0, корни (−2 ± 10)/6 = 4/3 и −2; 2·(−2) = −4 = −3·(4/3).
Ответ: k = −8.
−1,5x₂ + x₂ = −0,5x₂ = −2/3, x₂ = 4/3, x₁ = −2.
k = 3x₁x₂ = 3·(−2)·(4/3) = −8.
Проверка: 3x² + 2x − 8 = 0, корни (−2 ± 10)/6 = 4/3 и −2; 2·(−2) = −4 = −3·(4/3).
Ответ: k = −8.
780. Известно, что x₁ и x₂ — корни уравнения x² − 8x + k = 0, причём 3x₁ + 4x₂ = 29. Найдите k.
По теореме Виета x₁ + x₂ = 8, x₁x₂ = k. Из 3x₁ + 4x₂ = 3(x₁ + x₂) + x₂ = 24 + x₂ = 29 получаем x₂ = 5, x₁ = 3.
k = 3·5 = 15.
Проверка: x² − 8x + 15 = 0 имеет корни 3 и 5.
Ответ: k = 15.
k = 3·5 = 15.
Проверка: x² − 8x + 15 = 0 имеет корни 3 и 5.
Ответ: k = 15.