Глава III. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфу 7 — с. 175
745. Докажите, что при любом значении переменной значение выражения положительно: а) a² + 4a + 11; б) (x² − 2x + 7)/19; в) m² − 4m + 51; г) (p² − 6p + 18)/(p² + 1); д) 2b² − 8b + 20; е) (2c² + 3)/(c² + 12c + 40).
Выделим квадрат двучлена.
а) a² + 4a + 11 = (a + 2)² + 7 ≥ 7 > 0.
б) x² − 2x + 7 = (x − 1)² + 6 > 0, знаменатель 19 > 0, дробь положительна.
в) m² − 4m + 51 = (m − 2)² + 47 > 0.
г) p² − 6p + 18 = (p − 3)² + 9 > 0, знаменатель p² + 1 > 0, дробь положительна.
д) 2b² − 8b + 20 = 2(b² − 4b + 10) = 2((b − 2)² + 6) > 0.
е) Числитель 2c² + 3 > 0; знаменатель c² + 12c + 40 = (c + 6)² + 4 > 0; значит, дробь положительна.
а) a² + 4a + 11 = (a + 2)² + 7 ≥ 7 > 0.
б) x² − 2x + 7 = (x − 1)² + 6 > 0, знаменатель 19 > 0, дробь положительна.
в) m² − 4m + 51 = (m − 2)² + 47 > 0.
г) p² − 6p + 18 = (p − 3)² + 9 > 0, знаменатель p² + 1 > 0, дробь положительна.
д) 2b² − 8b + 20 = 2(b² − 4b + 10) = 2((b − 2)² + 6) > 0.
е) Числитель 2c² + 3 > 0; знаменатель c² + 12c + 40 = (c + 6)² + 4 > 0; значит, дробь положительна.
746. Используя выделение квадрата двучлена: а) докажите, что наименьшим значением выражения x² − 8x + 27 является число 11; б) найдите наименьшее значение выражения a² − 4a + 20.
а) x² − 8x + 27 = (x² − 8x + 16) + 11 = (x − 4)² + 11. Так как (x − 4)² ≥ 0, то выражение ≥ 11, и значение 11 достигается при x = 4. Значит, наименьшее значение равно 11.
б) a² − 4a + 20 = (a − 2)² + 16 ≥ 16; равенство при a = 2.
Ответ: б) 16.
б) a² − 4a + 20 = (a − 2)² + 16 ≥ 16; равенство при a = 2.
Ответ: б) 16.
747. Решите уравнение: а) 4x² + 7x + 3 = 0; б) x² + x − 56 = 0; в) x² − x − 56 = 0; г) 5x² − 18x + 16 = 0; д) 8x² + x − 75 = 0; е) 3x² − 11x − 14 = 0; ж) 3x² + 11x − 34 = 0; з) x² − x − 1 = 0.
а) D = 49 − 48 = 1; x = (−7 ± 1)/8; x = −3/4 или x = −1.
б) D = 1 + 224 = 225; x = (−1 ± 15)/2; x = 7 или x = −8.
в) D = 1 + 224 = 225; x = (1 ± 15)/2; x = 8 или x = −7.
г) D₁ = 81 − 80 = 1; x = (9 ± 1)/5; x = 2 или x = 1,6.
д) D = 1 + 2400 = 2401 = 49²; x = (−1 ± 49)/16; x = 3 или x = −50/16 = −3 1/8.
е) D = 121 + 168 = 289 = 17²; x = (11 ± 17)/6; x = 28/6 = 4 2/3 или x = −1.
ж) D = 121 + 408 = 529 = 23²; x = (−11 ± 23)/6; x = 2 или x = −34/6 = −5 2/3.
з) D = 1 + 4 = 5; x = (1 ± √5)/2.
Ответ: а) −1; −3/4; б) −8; 7; в) −7; 8; г) 1,6; 2; д) −3 1/8; 3; е) −1; 4 2/3; ж) −5 2/3; 2; з) (1 − √5)/2; (1 + √5)/2.
б) D = 1 + 224 = 225; x = (−1 ± 15)/2; x = 7 или x = −8.
в) D = 1 + 224 = 225; x = (1 ± 15)/2; x = 8 или x = −7.
г) D₁ = 81 − 80 = 1; x = (9 ± 1)/5; x = 2 или x = 1,6.
д) D = 1 + 2400 = 2401 = 49²; x = (−1 ± 49)/16; x = 3 или x = −50/16 = −3 1/8.
е) D = 121 + 168 = 289 = 17²; x = (11 ± 17)/6; x = 28/6 = 4 2/3 или x = −1.
ж) D = 121 + 408 = 529 = 23²; x = (−11 ± 23)/6; x = 2 или x = −34/6 = −5 2/3.
з) D = 1 + 4 = 5; x = (1 ± √5)/2.
Ответ: а) −1; −3/4; б) −8; 7; в) −7; 8; г) 1,6; 2; д) −3 1/8; 3; е) −1; 4 2/3; ж) −5 2/3; 2; з) (1 − √5)/2; (1 + √5)/2.
748. При каких значениях x верно равенство: а) (5x + 3)² = 5(x + 3); б) (3x + 10)² = 3(x + 10); в) (3x − 8)² = 3x² − 8x; г) (4x + 5)² = 5x² + 4x; д) (5x + 3)² = 5x + 3; е) (5x + 3)² = (3x + 5)²; ж) (4x + 5)² = 4(x + 5)²; з) (2x + 10)² = 4(x + 5)²?
а) 25x² + 30x + 9 = 5x + 15; 25x² + 25x − 6 = 0; D = 625 + 600 = 1225 = 35²; x = (−25 ± 35)/50; x = 0,2 или x = −1,2.
б) 9x² + 60x + 100 = 3x + 30; 9x² + 57x + 70 = 0; D = 3249 − 2520 = 729 = 27²; x = (−57 ± 27)/18; x = −30/18 = −1 2/3 или x = −84/18 = −4 2/3.
в) 9x² − 48x + 64 = 3x² − 8x; 6x² − 40x + 64 = 0; 3x² − 20x + 32 = 0; D₁ = 100 − 96 = 4; x = (10 ± 2)/3; x = 4 или x = 8/3 = 2 2/3.
г) 16x² + 40x + 25 = 5x² + 4x; 11x² + 36x + 25 = 0; D₁ = 324 − 275 = 49; x = (−18 ± 7)/11; x = −1 или x = −25/11 = −2 3/11.
д) (5x + 3)² − (5x + 3) = 0; (5x + 3)(5x + 2) = 0; x = −3/5 или x = −2/5.
е) (5x + 3)² − (3x + 5)² = 0; (5x + 3 − 3x − 5)(5x + 3 + 3x + 5) = 0; (2x − 2)(8x + 8) = 0; x = 1 или x = −1.
ж) (4x + 5)² − (2(x + 5))² = 0; (4x + 5 − 2x − 10)(4x + 5 + 2x + 10) = 0; (2x − 5)(6x + 15) = 0; x = 2,5 или x = −2,5.
з) (2x + 10)² = (2(x + 5))² = 4(x + 5)² — это тождество, равенство верно при любом x.
Ответ: а) −1,2; 0,2; б) −4 2/3; −1 2/3; в) 2 2/3; 4; г) −2 3/11; −1; д) −3/5; −2/5; е) −1; 1; ж) −2,5; 2,5; з) при любом x.
б) 9x² + 60x + 100 = 3x + 30; 9x² + 57x + 70 = 0; D = 3249 − 2520 = 729 = 27²; x = (−57 ± 27)/18; x = −30/18 = −1 2/3 или x = −84/18 = −4 2/3.
в) 9x² − 48x + 64 = 3x² − 8x; 6x² − 40x + 64 = 0; 3x² − 20x + 32 = 0; D₁ = 100 − 96 = 4; x = (10 ± 2)/3; x = 4 или x = 8/3 = 2 2/3.
г) 16x² + 40x + 25 = 5x² + 4x; 11x² + 36x + 25 = 0; D₁ = 324 − 275 = 49; x = (−18 ± 7)/11; x = −1 или x = −25/11 = −2 3/11.
д) (5x + 3)² − (5x + 3) = 0; (5x + 3)(5x + 2) = 0; x = −3/5 или x = −2/5.
е) (5x + 3)² − (3x + 5)² = 0; (5x + 3 − 3x − 5)(5x + 3 + 3x + 5) = 0; (2x − 2)(8x + 8) = 0; x = 1 или x = −1.
ж) (4x + 5)² − (2(x + 5))² = 0; (4x + 5 − 2x − 10)(4x + 5 + 2x + 10) = 0; (2x − 5)(6x + 15) = 0; x = 2,5 или x = −2,5.
з) (2x + 10)² = (2(x + 5))² = 4(x + 5)² — это тождество, равенство верно при любом x.
Ответ: а) −1,2; 0,2; б) −4 2/3; −1 2/3; в) 2 2/3; 4; г) −2 3/11; −1; д) −3/5; −2/5; е) −1; 1; ж) −2,5; 2,5; з) при любом x.
749. Решите уравнение и выполните проверку: а) x² − 2x − 5 = 0; б) x² + 4x + 1 = 0; в) 3y² − 4y − 2 = 0; г) 5y² − 7y + 1 = 0; д) 2y² + 11y + 10 = 0; е) 4x² − 9x − 2 = 0.
Проверку выполним по теореме Виета: найденные корни должны иметь сумму −b/a и произведение c/a.
а) D₁ = 1 + 5 = 6; x = 1 ± √6. Сумма 2, произведение 1 − 6 = −5: верно.
б) D₁ = 4 − 1 = 3; x = −2 ± √3. Сумма −4, произведение 4 − 3 = 1: верно.
в) D₁ = 4 + 6 = 10; y = (2 ± √10)/3. Сумма 4/3, произведение (4 − 10)/9 = −2/3: верно.
г) D = 49 − 20 = 29; y = (7 ± √29)/10. Сумма 14/10 = 7/5, произведение (49 − 29)/100 = 1/5: верно.
д) D = 121 − 80 = 41; y = (−11 ± √41)/4. Сумма −11/2, произведение (121 − 41)/16 = 5: верно.
е) D = 81 + 32 = 113; x = (9 ± √113)/8. Сумма 9/4, произведение (81 − 113)/64 = −1/2: верно.
Ответ: а) 1 ± √6; б) −2 ± √3; в) (2 ± √10)/3; г) (7 ± √29)/10; д) (−11 ± √41)/4; е) (9 ± √113)/8.
а) D₁ = 1 + 5 = 6; x = 1 ± √6. Сумма 2, произведение 1 − 6 = −5: верно.
б) D₁ = 4 − 1 = 3; x = −2 ± √3. Сумма −4, произведение 4 − 3 = 1: верно.
в) D₁ = 4 + 6 = 10; y = (2 ± √10)/3. Сумма 4/3, произведение (4 − 10)/9 = −2/3: верно.
г) D = 49 − 20 = 29; y = (7 ± √29)/10. Сумма 14/10 = 7/5, произведение (49 − 29)/100 = 1/5: верно.
д) D = 121 − 80 = 41; y = (−11 ± √41)/4. Сумма −11/2, произведение (121 − 41)/16 = 5: верно.
е) D = 81 + 32 = 113; x = (9 ± √113)/8. Сумма 9/4, произведение (81 − 113)/64 = −1/2: верно.
Ответ: а) 1 ± √6; б) −2 ± √3; в) (2 ± √10)/3; г) (7 ± √29)/10; д) (−11 ± √41)/4; е) (9 ± √113)/8.
750. Найдите приближённые значения корней уравнения в виде десятичных дробей с точностью до 0,01: а) x² − 2x − 2 = 0; б) x² + 5x + 3 = 0; в) 3x² − 7x + 3 = 0; г) 5x² + 31x + 20 = 0.
а) D₁ = 1 + 2 = 3; x = 1 ± √3; √3 ≈ 1,732; x₁ ≈ 2,73; x₂ ≈ −0,73.
б) D = 25 − 12 = 13; √13 ≈ 3,6056; x = (−5 ± 3,6056)/2; x₁ ≈ −0,70; x₂ ≈ −4,30.
в) D = 49 − 36 = 13; x = (7 ± 3,6056)/6; x₁ ≈ 1,77; x₂ ≈ 0,57.
г) D = 961 − 400 = 561; √561 ≈ 23,685; x = (−31 ± 23,685)/10; x₁ ≈ −0,73; x₂ ≈ −5,47.
Ответ: а) 2,73; −0,73; б) −0,70; −4,30; в) 1,77; 0,57; г) −0,73; −5,47.
б) D = 25 − 12 = 13; √13 ≈ 3,6056; x = (−5 ± 3,6056)/2; x₁ ≈ −0,70; x₂ ≈ −4,30.
в) D = 49 − 36 = 13; x = (7 ± 3,6056)/6; x₁ ≈ 1,77; x₂ ≈ 0,57.
г) D = 961 − 400 = 561; √561 ≈ 23,685; x = (−31 ± 23,685)/10; x₁ ≈ −0,73; x₂ ≈ −5,47.
Ответ: а) 2,73; −0,73; б) −0,70; −4,30; в) 1,77; 0,57; г) −0,73; −5,47.
751. Выясните, при каких значениях переменной: а) трёхчлен a² + 7a + 6 и двучлен a + 1 принимают равные значения; б) трёхчлены 3x² − x + 1 и 2x² + 5x − 4 принимают равные значения. Найдите эти значения.
а) a² + 7a + 6 = a + 1; a² + 6a + 5 = 0; по теореме Виета a = −1 или a = −5.
При a = −1: a + 1 = 0 (и 1 − 7 + 6 = 0). При a = −5: a + 1 = −4 (и 25 − 35 + 6 = −4).
б) 3x² − x + 1 = 2x² + 5x − 4; x² − 6x + 5 = 0; x = 1 или x = 5.
При x = 1: 3 − 1 + 1 = 3 и 2 + 5 − 4 = 3. При x = 5: 75 − 5 + 1 = 71 и 50 + 25 − 4 = 71.
Ответ: а) при a = −1 значения равны 0, при a = −5 равны −4; б) при x = 1 значения равны 3, при x = 5 равны 71.
При a = −1: a + 1 = 0 (и 1 − 7 + 6 = 0). При a = −5: a + 1 = −4 (и 25 − 35 + 6 = −4).
б) 3x² − x + 1 = 2x² + 5x − 4; x² − 6x + 5 = 0; x = 1 или x = 5.
При x = 1: 3 − 1 + 1 = 3 и 2 + 5 − 4 = 3. При x = 5: 75 − 5 + 1 = 71 и 50 + 25 − 4 = 71.
Ответ: а) при a = −1 значения равны 0, при a = −5 равны −4; б) при x = 1 значения равны 3, при x = 5 равны 71.
752. При каком значении a один из корней уравнения ax² − 3x − 5 = 0 равен 1?
Найдите, чему равен при этом значении a второй корень.
Подставим x = 1: a − 3 − 5 = 0, a = 8. Уравнение: 8x² − 3x − 5 = 0.
По теореме Виета x₁x₂ = −5/8; при x₁ = 1 получаем x₂ = −5/8. Проверка: сумма 1 − 5/8 = 3/8 = 3/a.
Ответ: a = 8, второй корень −5/8.
По теореме Виета x₁x₂ = −5/8; при x₁ = 1 получаем x₂ = −5/8. Проверка: сумма 1 − 5/8 = 3/8 = 3/a.
Ответ: a = 8, второй корень −5/8.
753. Найдите пять последовательных целых чисел, если известно, что сумма квадратов трёх первых чисел равна сумме квадратов двух последних.
Пусть числа x, x + 1, x + 2, x + 3, x + 4. Тогда x² + (x + 1)² + (x + 2)² = (x + 3)² + (x + 4)².
3x² + 6x + 5 = 2x² + 14x + 25; x² − 8x − 20 = 0; x = 10 или x = −2.
При x = 10: 10, 11, 12, 13, 14 (100 + 121 + 144 = 365 = 169 + 196).
При x = −2: −2, −1, 0, 1, 2 (4 + 1 + 0 = 5 = 1 + 4).
Ответ: 10, 11, 12, 13, 14 или −2, −1, 0, 1, 2.
3x² + 6x + 5 = 2x² + 14x + 25; x² − 8x − 20 = 0; x = 10 или x = −2.
При x = 10: 10, 11, 12, 13, 14 (100 + 121 + 144 = 365 = 169 + 196).
При x = −2: −2, −1, 0, 1, 2 (4 + 1 + 0 = 5 = 1 + 4).
Ответ: 10, 11, 12, 13, 14 или −2, −1, 0, 1, 2.