Глава III. § 10. п.33 Уравнения с параметром — с. 174
734. Решите относительно y уравнение: а) py − p − 1 = 0; б) py − 3y − 4p + 12 = 0.
а) py − p − 1 = 0, откуда py = p + 1.
Если p = 0, уравнение принимает вид 0·y = 1 и корней не имеет.
Если p ≠ 0, то y = (p + 1)/p.
б) py − 3y − 4p + 12 = 0; сгруппируем: y(p − 3) − 4(p − 3) = 0, т. е. (p − 3)(y − 4) = 0.
Если p = 3, уравнение принимает вид 0 = 0, и y — любое число.
Если p ≠ 3, то y − 4 = 0, y = 4.
Ответ: а) при p = 0 корней нет; при p ≠ 0 y = (p + 1)/p; б) при p = 3 y — любое число; при p ≠ 3 y = 4.
Если p = 0, уравнение принимает вид 0·y = 1 и корней не имеет.
Если p ≠ 0, то y = (p + 1)/p.
б) py − 3y − 4p + 12 = 0; сгруппируем: y(p − 3) − 4(p − 3) = 0, т. е. (p − 3)(y − 4) = 0.
Если p = 3, уравнение принимает вид 0 = 0, и y — любое число.
Если p ≠ 3, то y − 4 = 0, y = 4.
Ответ: а) при p = 0 корней нет; при p ≠ 0 y = (p + 1)/p; б) при p = 3 y — любое число; при p ≠ 3 y = 4.
735. Решите уравнение с параметром a: ax − 2x = a³ − 2a² − 9a + 18.
Левая часть: (a − 2)x. Правую часть разложим группировкой: a³ − 2a² − 9a + 18 = a²(a − 2) − 9(a − 2) = (a − 2)(a² − 9).
Получаем (a − 2)x = (a − 2)(a² − 9).
Если a = 2, уравнение принимает вид 0·x = 0, и x — любое число.
Если a ≠ 2, делим на a − 2: x = a² − 9.
Ответ: при a = 2 x — любое число; при a ≠ 2 x = a² − 9.
Получаем (a − 2)x = (a − 2)(a² − 9).
Если a = 2, уравнение принимает вид 0·x = 0, и x — любое число.
Если a ≠ 2, делим на a − 2: x = a² − 9.
Ответ: при a = 2 x — любое число; при a ≠ 2 x = a² − 9.
736. Решите уравнение с параметром b: 2x² − 4x + b = 0.
Квадратное уравнение; D₁ = (−2)² − 2b = 4 − 2b.
Если 4 − 2b < 0, т. е. b > 2, корней нет.
Если 4 − 2b = 0, т. е. b = 2, один корень x = 2/2 = 1.
Если 4 − 2b > 0, т. е. b < 2, то x = (2 ± √(4 − 2b))/2.
Ответ: при b < 2 x = (2 ± √(4 − 2b))/2; при b = 2 x = 1; при b > 2 корней нет.
Если 4 − 2b < 0, т. е. b > 2, корней нет.
Если 4 − 2b = 0, т. е. b = 2, один корень x = 2/2 = 1.
Если 4 − 2b > 0, т. е. b < 2, то x = (2 ± √(4 − 2b))/2.
Ответ: при b < 2 x = (2 ± √(4 − 2b))/2; при b = 2 x = 1; при b > 2 корней нет.
737. Решите относительно x уравнение: а) x² − 5ax + 4a² = 0; б) 3x² − 10ax + 3a² = 0.
а) D = 25a² − 16a² = 9a², √D = 3|a|. x = (5a ± 3a)/2, т. е. x = 4a или x = a.
При a = 0 оба значения совпадают: x = 0.
б) D = 100a² − 36a² = 64a², √D = 8|a|. x = (10a ± 8a)/6, т. е. x = 3a или x = a/3.
При a = 0 корень один: x = 0.
Ответ: а) при a ≠ 0 x = a и x = 4a; при a = 0 x = 0; б) при a ≠ 0 x = 3a и x = a/3; при a = 0 x = 0.
При a = 0 оба значения совпадают: x = 0.
б) D = 100a² − 36a² = 64a², √D = 8|a|. x = (10a ± 8a)/6, т. е. x = 3a или x = a/3.
При a = 0 корень один: x = 0.
Ответ: а) при a ≠ 0 x = a и x = 4a; при a = 0 x = 0; б) при a ≠ 0 x = 3a и x = a/3; при a = 0 x = 0.
738. При каких значениях параметра t имеет единственный корень уравнение: а) 3x² + tx + 3 = 0; б) 2x² − tx + 50 = 0; в) tx² − 6x + 1 = 0; г) tx² + x − 2 = 0?
Единственный корень имеет квадратное уравнение при D = 0; линейное уравнение (если t обращает коэффициент при x² в нуль) имеет один корень, если коэффициент при x не равен нулю.
а) D = t² − 36 = 0, t = 6 или t = −6.
б) D = t² − 400 = 0, t = 20 или t = −20.
в) При t = 0 уравнение −6x + 1 = 0 линейное, один корень x = 1/6. При t ≠ 0: D = 36 − 4t = 0, t = 9.
г) При t = 0 уравнение x − 2 = 0, один корень x = 2. При t ≠ 0: D = 1 + 8t = 0, t = −1/8.
Ответ: а) ±6; б) ±20; в) 0 и 9; г) 0 и −1/8.
а) D = t² − 36 = 0, t = 6 или t = −6.
б) D = t² − 400 = 0, t = 20 или t = −20.
в) При t = 0 уравнение −6x + 1 = 0 линейное, один корень x = 1/6. При t ≠ 0: D = 36 − 4t = 0, t = 9.
г) При t = 0 уравнение x − 2 = 0, один корень x = 2. При t ≠ 0: D = 1 + 8t = 0, t = −1/8.
Ответ: а) ±6; б) ±20; в) 0 и 9; г) 0 и −1/8.
739. Выясните, при каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения x² − ax + a − 3 = 0 принимает наименьшее значение, и найдите это значение.
Дискриминант D = a² − 4(a − 3) = a² − 4a + 12 = (a − 2)² + 8 > 0 при любом a, поэтому корни x₁, x₂ существуют всегда.
По теореме Виета x₁ + x₂ = a, x₁x₂ = a − 3.
x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = a² − 2(a − 3) = a² − 2a + 6 = (a − 1)² + 5.
Наименьшее значение 5 достигается при a = 1.
Ответ: при a = 1; наименьшее значение равно 5.
По теореме Виета x₁ + x₂ = a, x₁x₂ = a − 3.
x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = a² − 2(a − 3) = a² − 2a + 6 = (a − 1)² + 5.
Наименьшее значение 5 достигается при a = 1.
Ответ: при a = 1; наименьшее значение равно 5.
740. Решите относительно x уравнение (a − 1)x² + 2ax + a + 1 = 0.
Если a = 1, уравнение линейное: 2x + 2 = 0, x = −1.
Если a ≠ 1, уравнение квадратное; D₁ = a² − (a − 1)(a + 1) = a² − a² + 1 = 1 > 0.
x = (−a ± 1)/(a − 1): x₁ = (−a + 1)/(a − 1) = −1; x₂ = (−a − 1)/(a − 1) = −(a + 1)/(a − 1) = (a + 1)/(1 − a).
Ответ: при a = 1 x = −1; при a ≠ 1 x = −1 и x = (a + 1)/(1 − a).
Если a ≠ 1, уравнение квадратное; D₁ = a² − (a − 1)(a + 1) = a² − a² + 1 = 1 > 0.
x = (−a ± 1)/(a − 1): x₁ = (−a + 1)/(a − 1) = −1; x₂ = (−a − 1)/(a − 1) = −(a + 1)/(a − 1) = (a + 1)/(1 − a).
Ответ: при a = 1 x = −1; при a ≠ 1 x = −1 и x = (a + 1)/(1 − a).
741. Решите уравнение с параметром k: x² − (4k + 1)x + 2(2k² + k − 3) = 0.
D = (4k + 1)² − 8(2k² + k − 3) = 16k² + 8k + 1 − 16k² − 8k + 24 = 25 при любом k.
x = (4k + 1 ± 5)/2: x₁ = (4k + 6)/2 = 2k + 3; x₂ = (4k − 4)/2 = 2k − 2.
Проверка по теореме Виета: (2k + 3)(2k − 2) = 4k² + 2k − 6 = 2(2k² + k − 3).
Ответ: x = 2k + 3 и x = 2k − 2.
x = (4k + 1 ± 5)/2: x₁ = (4k + 6)/2 = 2k + 3; x₂ = (4k − 4)/2 = 2k − 2.
Проверка по теореме Виета: (2k + 3)(2k − 2) = 4k² + 2k − 6 = 2(2k² + k − 3).
Ответ: x = 2k + 3 и x = 2k − 2.
742. Выясните, при каких значениях параметра b равна 7 сумма корней уравнения y² − (2b − 1)y + b² − b − 2 = 0.
Дискриминант D = (2b − 1)² − 4(b² − b − 2) = 4b² − 4b + 1 − 4b² + 4b + 8 = 9 > 0, значит, корни есть при любом b.
По теореме Виета сумма корней равна 2b − 1. Из 2b − 1 = 7 получаем b = 4.
Проверка: при b = 4 уравнение y² − 7y + 10 = 0 имеет корни 2 и 5, их сумма 7.
Ответ: b = 4.
По теореме Виета сумма корней равна 2b − 1. Из 2b − 1 = 7 получаем b = 4.
Проверка: при b = 4 уравнение y² − 7y + 10 = 0 имеет корни 2 и 5, их сумма 7.
Ответ: b = 4.
743. Решите уравнение: а) (x + 2)² + (x − 3)² = 13; б) (3x − 5)² − (2x + 1)² = 24; в) (x − 4)(x² + 4x + 16) + 28 = x²(x − 25); г) (2x + 1)(4x² − 2x + 1) − 1 = 1,6x²(5x − 2).
а) x² + 4x + 4 + x² − 6x + 9 = 13; 2x² − 2x = 0; 2x(x − 1) = 0; x = 0 или x = 1.
б) 9x² − 30x + 25 − 4x² − 4x − 1 = 24; 5x² − 34x = 0; x(5x − 34) = 0; x = 0 или x = 6,8.
в) По формуле разности кубов (x − 4)(x² + 4x + 16) = x³ − 64. Получаем x³ − 64 + 28 = x³ − 25x²; 25x² = 36; x² = 36/25; x = ±6/5 = ±1,2.
г) По формуле суммы кубов (2x + 1)(4x² − 2x + 1) = 8x³ + 1. Получаем 8x³ + 1 − 1 = 8x³ − 3,2x²; 3,2x² = 0; x = 0.
Ответ: а) 0; 1; б) 0; 6,8; в) −1,2; 1,2; г) 0.
б) 9x² − 30x + 25 − 4x² − 4x − 1 = 24; 5x² − 34x = 0; x(5x − 34) = 0; x = 0 или x = 6,8.
в) По формуле разности кубов (x − 4)(x² + 4x + 16) = x³ − 64. Получаем x³ − 64 + 28 = x³ − 25x²; 25x² = 36; x² = 36/25; x = ±6/5 = ±1,2.
г) По формуле суммы кубов (2x + 1)(4x² − 2x + 1) = 8x³ + 1. Получаем 8x³ + 1 − 1 = 8x³ − 3,2x²; 3,2x² = 0; x = 0.
Ответ: а) 0; 1; б) 0; 6,8; в) −1,2; 1,2; г) 0.
744. Решите относительно x уравнение: а) x² = a; б) x² = a²; в) x² + 4b = 0; г) x² + 9b² = 0.
а) Если a < 0, корней нет; если a = 0, x = 0; если a > 0, x = ±√a.
б) x² = a² ⇒ x = a или x = −a (при a = 0 единственный корень x = 0).
в) x² = −4b. Если b > 0, корней нет; если b = 0, x = 0; если b < 0, x = ±√(−4b) = ±2√(−b).
г) x² = −9b². Если b ≠ 0, правая часть отрицательна, корней нет; если b = 0, x = 0.
Ответ: см. решение по каждому пункту.
б) x² = a² ⇒ x = a или x = −a (при a = 0 единственный корень x = 0).
в) x² = −4b. Если b > 0, корней нет; если b = 0, x = 0; если b < 0, x = ±√(−4b) = ±2√(−b).
г) x² = −9b². Если b ≠ 0, правая часть отрицательна, корней нет; если b = 0, x = 0.
Ответ: см. решение по каждому пункту.