Глава III. §10. п.32 Решение задач — с. 171
724. В кошельке лежало 92 рубля мелочи — пятирублёвые и двухрублёвые монеты. Сколько пятирублёвых и сколько двухрублёвых монет было в кошельке, если всего было 28 монет?
Пусть пятирублёвых монет x, двухрублёвых y. Тогда x + y = 28 и 5x + 2y = 92.
Из первого y = 28 − x. Подставим: 5x + 56 − 2x = 92, 3x = 36, x = 12, y = 16.
Проверка: 12 · 5 + 16 · 2 = 60 + 32 = 92.
Ответ: 12 пятирублёвых и 16 двухрублёвых монет.
Из первого y = 28 − x. Подставим: 5x + 56 − 2x = 92, 3x = 36, x = 12, y = 16.
Проверка: 12 · 5 + 16 · 2 = 60 + 32 = 92.
Ответ: 12 пятирублёвых и 16 двухрублёвых монет.
725. В десяти лодках может разместиться 44 человека. Часть этих лодок пятиместные, а остальные — трёхместные. Сколько пятиместных лодок?
Пусть пятиместных лодок x, трёхместных y. Тогда x + y = 10 и 5x + 3y = 44.
y = 10 − x, 5x + 30 − 3x = 44, 2x = 14, x = 7, y = 3.
Проверка: 7 · 5 + 3 · 3 = 35 + 9 = 44.
Ответ: 7 пятиместных лодок.
y = 10 − x, 5x + 30 − 3x = 44, 2x = 14, x = 7, y = 3.
Проверка: 7 · 5 + 3 · 3 = 35 + 9 = 44.
Ответ: 7 пятиместных лодок.
726. Дачник проделал путь длиной 46 км. Он шёл 2 ч пешком и 3 ч ехал на велосипеде. На велосипеде он двигался в 2,4 раза быстрее, чем пешком. С какой скоростью дачник шёл и с какой скоростью он ехал на велосипеде?
Пусть пешком дачник шёл со скоростью x км/ч, а на велосипеде ехал со скоростью y км/ч. Тогда y = 2,4x и 2x + 3y = 46.
2x + 7,2x = 46, 9,2x = 46, x = 5, y = 12.
Проверка: 2 · 5 + 3 · 12 = 10 + 36 = 46; 12 : 5 = 2,4.
Ответ: шёл со скоростью 5 км/ч, ехал со скоростью 12 км/ч.
2x + 7,2x = 46, 9,2x = 46, x = 5, y = 12.
Проверка: 2 · 5 + 3 · 12 = 10 + 36 = 46; 12 : 5 = 2,4.
Ответ: шёл со скоростью 5 км/ч, ехал со скоростью 12 км/ч.
727. Найти все двузначные числа, которые в два раза больше суммы своих цифр.
Пусть число 10a + b, где a — цифра десятков (1 ≤ a ≤ 9), b — цифра единиц (0 ≤ b ≤ 9). По условию 10a + b = 2(a + b), откуда 8a = b. Так как b ≤ 9, подходит только a = 1, b = 8 (при a ≥ 2 получаем b ≥ 16 — не цифра).
Проверка: 18 = 2 · (1 + 8).
Ответ: 18.
Проверка: 18 = 2 · (1 + 8).
Ответ: 18.
728. Периметр прямоугольника равен 66 см. Его длина в 10 раз больше ширины. Найдите стороны прямоугольника.
Пусть ширина x см, длина y см. Полупериметр 66 : 2 = 33 см, поэтому x + y = 33, а по условию y = 10x.
x + 10x = 33, 11x = 33, x = 3, y = 30.
Ответ: 3 см и 30 см.
x + 10x = 33, 11x = 33, x = 3, y = 30.
Ответ: 3 см и 30 см.
729. Три гантели и две гири весят 47 кг. Найдите, сколько весит гиря и сколько — гантель, если известно, что три гири тяжелее шести гантелей на 18 кг.
Пусть гиря весит x кг, гантель y кг. Тогда 3y + 2x = 47 и 3x = 6y + 18, то есть x = 2y + 6.
Подставим: 3y + 2(2y + 6) = 47, 7y + 12 = 47, 7y = 35, y = 5, x = 16.
Проверка: 3 · 5 + 2 · 16 = 47; 3 · 16 = 48 = 6 · 5 + 18.
Ответ: гиря весит 16 кг, гантель — 5 кг.
Подставим: 3y + 2(2y + 6) = 47, 7y + 12 = 47, 7y = 35, y = 5, x = 16.
Проверка: 3 · 5 + 2 · 16 = 47; 3 · 16 = 48 = 6 · 5 + 18.
Ответ: гиря весит 16 кг, гантель — 5 кг.
730. В спортзале в двух ящиках было 120 мячей. В первый ящик положили ещё 40% от числа мячей, которые там были, а из второго вынули 10% того, что было. После этого в первом ящике стало на 30 мячей больше, чем во втором. Сколько мячей было в каждом ящике первоначально?
Пусть сначала в первом ящике было x мячей, во втором y. Тогда x + y = 120. После изменений в первом стало x + 0,4x = 1,4x мячей, во втором y − 0,1y = 0,9y мячей, и 1,4x − 0,9y = 30.
Из первого y = 120 − x: 1,4x − 0,9(120 − x) = 30, 1,4x − 108 + 0,9x = 30, 2,3x = 138, x = 60, y = 60.
Проверка: 1,4 · 60 = 84, 0,9 · 60 = 54, 84 − 54 = 30.
Ответ: в каждом ящике было по 60 мячей.
Из первого y = 120 − x: 1,4x − 0,9(120 − x) = 30, 1,4x − 108 + 0,9x = 30, 2,3x = 138, x = 60, y = 60.
Проверка: 1,4 · 60 = 84, 0,9 · 60 = 54, 84 − 54 = 30.
Ответ: в каждом ящике было по 60 мячей.
731. Представьте в виде квадрата двучлена: а) 4x² − 12x + 9; б) 1 − 14a + 49a²; в) 25 + 4c² + 20c.
Применяем формулу (a ± b)² = a² ± 2ab + b².
а) 4x² − 12x + 9 = (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3² = (2x − 3)².
б) 1 − 14a + 49a² = 1² − 2 · 1 · 7a + (7a)² = (1 − 7a)².
в) 25 + 4c² + 20c = 5² + 2 · 5 · 2c + (2c)² = (5 + 2c)².
а) 4x² − 12x + 9 = (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3² = (2x − 3)².
б) 1 − 14a + 49a² = 1² − 2 · 1 · 7a + (7a)² = (1 − 7a)².
в) 25 + 4c² + 20c = 5² + 2 · 5 · 2c + (2c)² = (5 + 2c)².
732. Найдите значение выражения: а) (20 − 3)(20 + 3); б) (10 + 1/2)(10 − 1/2); в) 102 · 98; г) 8,6 · 7,4; д) (4 3/4) · (5 1/4); е) 2,7 · 3,3.
Используем формулу (a − b)(a + b) = a² − b².
а) (20 − 3)(20 + 3) = 400 − 9 = 391.
б) (10 + 1/2)(10 − 1/2) = 100 − 1/4 = 99 3/4.
в) 102 · 98 = (100 + 2)(100 − 2) = 10 000 − 4 = 9996.
г) 8,6 · 7,4 = (8 + 0,6)(8 − 0,6) = 64 − 0,36 = 63,64.
д) 4 3/4 · 5 1/4 = (5 − 1/4)(5 + 1/4) = 25 − 1/16 = 24 15/16.
е) 2,7 · 3,3 = (3 − 0,3)(3 + 0,3) = 9 − 0,09 = 8,91.
а) (20 − 3)(20 + 3) = 400 − 9 = 391.
б) (10 + 1/2)(10 − 1/2) = 100 − 1/4 = 99 3/4.
в) 102 · 98 = (100 + 2)(100 − 2) = 10 000 − 4 = 9996.
г) 8,6 · 7,4 = (8 + 0,6)(8 − 0,6) = 64 − 0,36 = 63,64.
д) 4 3/4 · 5 1/4 = (5 − 1/4)(5 + 1/4) = 25 − 1/16 = 24 15/16.
е) 2,7 · 3,3 = (3 − 0,3)(3 + 0,3) = 9 − 0,09 = 8,91.
Вопрос 1. Что является решением уравнения с двумя переменными?
Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, при подстановке которой уравнение обращается в верное равенство. Например, пара (2; 1) — решение уравнения x + y = 3, так как 2 + 1 = 3. Уравнение с двумя переменными обычно имеет бесконечно много решений; на координатной плоскости они образуют график уравнения.
Вопрос 2. Можно ли, не решая систему линейных уравнений, сказать, сколько она имеет решений?
Да, можно. Выразим в каждом уравнении y через x и получим систему y = k₁x + b₁, y = k₂x + b₂. Графики — прямые. Если k₁ ≠ k₂, прямые пересекаются, и система имеет единственное решение. Если k₁ = k₂, но b₁ ≠ b₂, прямые параллельны, и решений нет. Если k₁ = k₂ и b₁ = b₂, прямые совпадают, и система имеет бесконечно много решений. Например, система {3x − 2y = 4; 0,5x + y = 2} имеет одно решение, так как k₁ = 1,5, k₂ = −0,5.
Вопрос 3. Какие существуют способы решения систем уравнений?
Графический способ: строят графики уравнений системы и находят координаты их общих точек; он даёт, как правило, приближённые значения решений. Алгебраические способы: способ подстановки (выражают из одного уравнения одну переменную через другую, подставляют в другое уравнение, решают уравнение с одной переменной и находят значение второй переменной) и способ сложения (уравнивают коэффициенты при одной из переменных, складывают или вычитают уравнения почленно и получают уравнение с одной переменной).