Глава III. §10. п.31 Алгебраический способ решения систем уравнений — с. 169
712. Не выполняя построения: а) определите, пересекает ли парабола y = x² − 8x + 16 прямую 2x − 3y = 0 и если да, то в каких точках; б) найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции y = 2x² + 9x − 5.
а) Из уравнения прямой y = 2x/3. Приравняем: x² − 8x + 16 = 2x/3, 3x² − 24x + 48 = 2x, 3x² − 26x + 48 = 0. D = 676 − 576 = 100, x = (26 ± 10)/6, x = 6 или x = 8/3. Тогда y = 4 или y = 16/9. Парабола и прямая пересекаются в точках (6; 4) и (2 2/3; 1 7/9).
б) С осью y: x = 0, y = −5, точка (0; −5). С осью x: y = 0, 2x² + 9x − 5 = 0, D = 81 + 40 = 121, x = (−9 ± 11)/4, x = 0,5 или x = −5. Точки (0,5; 0) и (−5; 0).
Ответ: а) пересекает в точках (6; 4) и (2 2/3; 1 7/9); б) (0; −5), (0,5; 0), (−5; 0).
б) С осью y: x = 0, y = −5, точка (0; −5). С осью x: y = 0, 2x² + 9x − 5 = 0, D = 81 + 40 = 121, x = (−9 ± 11)/4, x = 0,5 или x = −5. Точки (0,5; 0) и (−5; 0).
Ответ: а) пересекает в точках (6; 4) и (2 2/3; 1 7/9); б) (0; −5), (0,5; 0), (−5; 0).
713. Докажите, что прямая x − y = 4 имеет одну общую точку с параболой y = x² − 5x + 5, и найдите координаты этой общей точки.
Общие точки — решения системы {y = x − 4; y = x² − 5x + 5}. Приравняем: x − 4 = x² − 5x + 5, x² − 6x + 9 = 0, (x − 3)² = 0, x = 3. Уравнение имеет единственный корень, значит, общая точка одна. Тогда y = 3 − 4 = −1.
Ответ: общая точка (3; −1).
Ответ: общая точка (3; −1).
714. Докажите, что парабола y = 2x² − 5x + 1 и прямая 2x + y + 3 = 0 не пересекаются.
Из уравнения прямой y = −2x − 3. Общие точки находятся из уравнения 2x² − 5x + 1 = −2x − 3, то есть 2x² − 3x + 4 = 0. Дискриминант D = 9 − 32 = −23 < 0, корней нет. Значит, общих точек у параболы и прямой нет, они не пересекаются.
715. При каких значениях k парабола y = x² + 1 и прямая y = kx имеют только одну общую точку?
Приравняем: x² + 1 = kx, x² − kx + 1 = 0. Общая точка одна, когда уравнение имеет один корень, то есть D = k² − 4 = 0, k = 2 или k = −2.
При k = 2: x = 1, точка (1; 2); при k = −2: x = −1, точка (−1; 2).
Ответ: k = 2 или k = −2.
При k = 2: x = 1, точка (1; 2); при k = −2: x = −1, точка (−1; 2).
Ответ: k = 2 или k = −2.
716. Построив схематически графики уравнений, выясните, сколько решений имеет система уравнений: а) {y = x³; y = 15x}; б) {xy = 10; y = x}.
а) Кубическая парабола y = x³ проходит через начало координат и лежит в I и III четвертях; прямая y = 15x тоже проходит через начало координат. Вблизи нуля прямая идёт круче параболы, а при больших |x| кубическая парабола поднимается круче, поэтому они пересекаются ещё в двух точках, симметричных относительно начала координат. Проверка: x³ = 15x, x(x² − 15) = 0, x = 0 или x = ±√15. Три решения.
б) Гипербола xy = 10 (y = 10/x) имеет ветви в I и III четвертях, прямая y = x проходит через те же четверти и пересекает каждую ветвь по одному разу. Проверка: x² = 10, x = ±√10, y = x. Два решения.
Ответ: а) три решения; б) два решения.
Оговорка: в ответах учебника указано иначе (а) два, б) три); проверка вычислением, выполненная дважды, даёт три решения для а) и два для б).
б) Гипербола xy = 10 (y = 10/x) имеет ветви в I и III четвертях, прямая y = x проходит через те же четверти и пересекает каждую ветвь по одному разу. Проверка: x² = 10, x = ±√10, y = x. Два решения.
Ответ: а) три решения; б) два решения.
Оговорка: в ответах учебника указано иначе (а) два, б) три); проверка вычислением, выполненная дважды, даёт три решения для а) и два для б).
717. Найдите корни уравнения: а) 9x² − 100 = 0; б) 2 = 7c²; в) 9m² − 4 = 0; г) −0,8y² + 3y = 0.
а) 9x² = 100, x² = 100/9, x = ±10/3 = ±3 1/3.
б) 7c² = 2, c² = 2/7, c = ±√(2/7) = ±√14/7.
в) 9m² = 4, m² = 4/9, m = ±2/3.
г) Вынесем y: y(−0,8y + 3) = 0, y = 0 или −0,8y + 3 = 0, y = 3/0,8 = 3,75.
Ответ: а) ±3 1/3; б) ±√14/7; в) ±2/3; г) 0; 3,75.
б) 7c² = 2, c² = 2/7, c = ±√(2/7) = ±√14/7.
в) 9m² = 4, m² = 4/9, m = ±2/3.
г) Вынесем y: y(−0,8y + 3) = 0, y = 0 или −0,8y + 3 = 0, y = 3/0,8 = 3,75.
Ответ: а) ±3 1/3; б) ±√14/7; в) ±2/3; г) 0; 3,75.
718. При каких значениях x: а) трёхчлен −x² − 2x + 168 принимает положительные значения; б) трёхчлен 15x² + x − 2 принимает отрицательные значения; в) дробь (x + 14)/(3 − 2x) принимает отрицательные значения; г) дробь (6 − 5x)/(x + 25) принимает положительные значения?
а) −x² − 2x + 168 > 0, x² + 2x − 168 < 0. Корни x² + 2x − 168 = 0: D = 4 + 672 = 676, x = (−2 ± 26)/2, x = 12 и x = −14. Парабола y = x² + 2x − 168 направлена ветвями вверх, значения отрицательны между корнями: −14 < x < 12.
б) Корни 15x² + x − 2 = 0: D = 1 + 120 = 121, x = (−1 ± 11)/30, x = 1/3 и x = −0,4. Ветви вверх, отрицательные значения между корнями: −0,4 < x < 1/3.
в) Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. x + 14 > 0 при x > −14, 3 − 2x > 0 при x < 1,5. Случай 1: x + 14 > 0 и 3 − 2x < 0: x > 1,5. Случай 2: x + 14 < 0 и 3 − 2x > 0: x < −14. Итак, x < −14 или x > 1,5.
г) Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака. 6 − 5x > 0 при x < 1,2; x + 25 > 0 при x > −25. Оба положительны: −25 < x < 1,2. Оба отрицательны: x > 1,2 и x < −25 — невозможно. Итак, −25 < x < 1,2.
Ответ: а) −14 < x < 12; б) −0,4 < x < 1/3; в) x < −14 или x > 1,5; г) −25 < x < 1,2.
б) Корни 15x² + x − 2 = 0: D = 1 + 120 = 121, x = (−1 ± 11)/30, x = 1/3 и x = −0,4. Ветви вверх, отрицательные значения между корнями: −0,4 < x < 1/3.
в) Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. x + 14 > 0 при x > −14, 3 − 2x > 0 при x < 1,5. Случай 1: x + 14 > 0 и 3 − 2x < 0: x > 1,5. Случай 2: x + 14 < 0 и 3 − 2x > 0: x < −14. Итак, x < −14 или x > 1,5.
г) Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака. 6 − 5x > 0 при x < 1,2; x + 25 > 0 при x > −25. Оба положительны: −25 < x < 1,2. Оба отрицательны: x > 1,2 и x < −25 — невозможно. Итак, −25 < x < 1,2.
Ответ: а) −14 < x < 12; б) −0,4 < x < 1/3; в) x < −14 или x > 1,5; г) −25 < x < 1,2.