Глава III. §10. п.31 Алгебраический способ решения систем уравнений — с. 167
702. Решите способом подстановки систему уравнений: а) {y² − x = −1; x = y + 3}; б) {y = x − 1; x² − 2y = 26}; в) {xy + x = −4; x − y = 6}; г) {x + y = 9; y² + x = 29}.
а) Подставим x = y + 3 в первое уравнение: y² − (y + 3) = −1, y² − y − 2 = 0, y = 2 или y = −1. Тогда x = 5 или x = 2.
б) Подставим y = x − 1: x² − 2(x − 1) = 26, x² − 2x − 24 = 0, x = 6 или x = −4. Тогда y = 5 или y = −5.
в) Из второго уравнения x = y + 6. Тогда (y + 6)y + y + 6 = −4, y² + 7y + 10 = 0, y = −2 или y = −5. Тогда x = 4 или x = 1.
г) Из первого уравнения x = 9 − y. Тогда y² + 9 − y = 29, y² − y − 20 = 0, y = 5 или y = −4. Тогда x = 4 или x = 13.
Ответ: а) (5; 2), (2; −1); б) (6; 5), (−4; −5); в) (4; −2), (1; −5); г) (4; 5), (13; −4).
б) Подставим y = x − 1: x² − 2(x − 1) = 26, x² − 2x − 24 = 0, x = 6 или x = −4. Тогда y = 5 или y = −5.
в) Из второго уравнения x = y + 6. Тогда (y + 6)y + y + 6 = −4, y² + 7y + 10 = 0, y = −2 или y = −5. Тогда x = 4 или x = 1.
г) Из первого уравнения x = 9 − y. Тогда y² + 9 − y = 29, y² − y − 20 = 0, y = 5 или y = −4. Тогда x = 4 или x = 13.
Ответ: а) (5; 2), (2; −1); б) (6; 5), (−4; −5); в) (4; −2), (1; −5); г) (4; 5), (13; −4).
703. Решите систему уравнений, используя способ подстановки: а) {x = 3 − y; y² − x = 39}; б) {y = 1 + x; x + y² = −1}; в) {x² + y = 14; y − x = 8}; г) {x + y = 4; y + xy = 6}.
а) Подставим x = 3 − y: y² − 3 + y = 39, y² + y − 42 = 0, y = 6 или y = −7. Тогда x = −3 или x = 10.
б) Подставим y = 1 + x: x + (1 + x)² = −1, x² + 3x + 2 = 0, x = −1 или x = −2. Тогда y = 0 или y = −1.
в) Из второго уравнения y = x + 8. Тогда x² + x + 8 = 14, x² + x − 6 = 0, x = 2 или x = −3. Тогда y = 10 или y = 5.
г) Из первого уравнения y = 4 − x. Тогда 4 − x + x(4 − x) = 6, −x² + 3x − 2 = 0, x² − 3x + 2 = 0, x = 1 или x = 2. Тогда y = 3 или y = 2.
Ответ: а) (−3; 6), (10; −7); б) (−1; 0), (−2; −1); в) (2; 10), (−3; 5); г) (1; 3), (2; 2).
б) Подставим y = 1 + x: x + (1 + x)² = −1, x² + 3x + 2 = 0, x = −1 или x = −2. Тогда y = 0 или y = −1.
в) Из второго уравнения y = x + 8. Тогда x² + x + 8 = 14, x² + x − 6 = 0, x = 2 или x = −3. Тогда y = 10 или y = 5.
г) Из первого уравнения y = 4 − x. Тогда 4 − x + x(4 − x) = 6, −x² + 3x − 2 = 0, x² − 3x + 2 = 0, x = 1 или x = 2. Тогда y = 3 или y = 2.
Ответ: а) (−3; 6), (10; −7); б) (−1; 0), (−2; −1); в) (2; 10), (−3; 5); г) (1; 3), (2; 2).
704. Решите систему уравнений: а) {x − y = 3; xy = −2}; б) {x + y = 2,5; xy = 1,5}; в) {x + y = −1; x² + y² = 1}; г) {x − y = 2; x² − y² = 17}.
а) x = y + 3, (y + 3)y = −2, y² + 3y + 2 = 0, y = −1 или y = −2; x = 2 или x = 1.
б) y = 2,5 − x, x(2,5 − x) = 1,5, x² − 2,5x + 1,5 = 0, D = 6,25 − 6 = 0,25, x = (2,5 ± 0,5)/2, то есть x = 1,5 или x = 1; y = 1 или y = 1,5.
в) y = −1 − x, x² + (1 + x)² = 1, 2x² + 2x = 0, x = 0 или x = −1; y = −1 или y = 0.
г) x² − y² = (x − y)(x + y) = 17, а x − y = 2, поэтому x + y = 8,5. Складывая с x − y = 2, получаем 2x = 10,5, x = 5,25, тогда y = 3,25. Проверка: 5,25² − 3,25² = 27,5625 − 10,5625 = 17.
Ответ: а) (2; −1), (1; −2); б) (1,5; 1), (1; 1,5); в) (0; −1), (−1; 0); г) (5,25; 3,25).
б) y = 2,5 − x, x(2,5 − x) = 1,5, x² − 2,5x + 1,5 = 0, D = 6,25 − 6 = 0,25, x = (2,5 ± 0,5)/2, то есть x = 1,5 или x = 1; y = 1 или y = 1,5.
в) y = −1 − x, x² + (1 + x)² = 1, 2x² + 2x = 0, x = 0 или x = −1; y = −1 или y = 0.
г) x² − y² = (x − y)(x + y) = 17, а x − y = 2, поэтому x + y = 8,5. Складывая с x − y = 2, получаем 2x = 10,5, x = 5,25, тогда y = 3,25. Проверка: 5,25² − 3,25² = 27,5625 − 10,5625 = 17.
Ответ: а) (2; −1), (1; −2); б) (1,5; 1), (1; 1,5); в) (0; −1), (−1; 0); г) (5,25; 3,25).