Глава III. §10. п.30 Графический способ решения систем уравнений — с. 165
700. Среди данных уравнений найдите уравнения параболы, гиперболы, прямой: а) xy = −3; б) 6y − 2 = 0; в) (1/4)y − x² = −1; г) 10 + 5xy = 0; д) 1 + 2x = 0; е) 2x − 2y = 5. Постройте график каждого уравнения.
Приведём каждое уравнение к привычному виду.
а) xy = −3, y = −3/x — гипербола (ветви во II и IV четвертях; точки (1; −3), (3; −1), (−1; 3), (−3; 1)).
б) 6y − 2 = 0, y = 1/3 — прямая, параллельная оси x и проходящая через точку (0; 1/3).
в) (1/4)y − x² = −1, y = 4x² − 4 — парабола с вершиной (0; −4), пересекающая ось x в точках (−1; 0) и (1; 0).
г) 10 + 5xy = 0, xy = −2, y = −2/x — гипербола (точки (1; −2), (2; −1), (−1; 2), (−2; 1)).
д) 1 + 2x = 0, x = −0,5 — прямая, параллельная оси y.
е) 2x − 2y = 5, y = x − 2,5 — прямая (точки (0; −2,5) и (2,5; 0)).
Ответ: параболы — в); гиперболы — а), г); прямые — б), д), е). Графики построены на рисунке.
а) xy = −3, y = −3/x — гипербола (ветви во II и IV четвертях; точки (1; −3), (3; −1), (−1; 3), (−3; 1)).
б) 6y − 2 = 0, y = 1/3 — прямая, параллельная оси x и проходящая через точку (0; 1/3).
в) (1/4)y − x² = −1, y = 4x² − 4 — парабола с вершиной (0; −4), пересекающая ось x в точках (−1; 0) и (1; 0).
г) 10 + 5xy = 0, xy = −2, y = −2/x — гипербола (точки (1; −2), (2; −1), (−1; 2), (−2; 1)).
д) 1 + 2x = 0, x = −0,5 — прямая, параллельная оси y.
е) 2x − 2y = 5, y = x − 2,5 — прямая (точки (0; −2,5) и (2,5; 0)).
Ответ: параболы — в); гиперболы — а), г); прямые — б), д), е). Графики построены на рисунке.
701. Упростите выражение: а) (c − 1)/(12c) + (2c + 7)/(12c) − (6 − 3c)/(12c); б) (a − 4b)/(2ab) − (2a − 6b)/(2ab) − (3a − b)/(2ab); в) (17x − 4y)/(21xy) + (8x + 9y)/(21xy) − (11x − 16y)/(21xy).
У дробей одинаковые знаменатели, поэтому объединяем числители, не забывая менять знаки при вычитании.
а) (c − 1 + 2c + 7 − 6 + 3c)/(12c) = 6c/(12c) = 1/2.
б) (a − 4b − 2a + 6b − 3a + b)/(2ab) = (−4a + 3b)/(2ab) = (3b − 4a)/(2ab).
в) (17x − 4y + 8x + 9y − 11x + 16y)/(21xy) = (14x + 21y)/(21xy) = 7(2x + 3y)/(21xy) = (2x + 3y)/(3xy).
а) (c − 1 + 2c + 7 − 6 + 3c)/(12c) = 6c/(12c) = 1/2.
б) (a − 4b − 2a + 6b − 3a + b)/(2ab) = (−4a + 3b)/(2ab) = (3b − 4a)/(2ab).
в) (17x − 4y + 8x + 9y − 11x + 16y)/(21xy) = (14x + 21y)/(21xy) = 7(2x + 3y)/(21xy) = (2x + 3y)/(3xy).