Глава III. §10. п.29 Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными — с. 164
696. Является ли решением системы уравнений {x² + y² = 5; 6x + 5y = −4} пара чисел: а) (−2; 1); б) (1; −2)?
Подставим пару в оба уравнения.
а) x = −2, y = 1: x² + y² = 4 + 1 = 5 — верно; 6x + 5y = −12 + 5 = −7 ≠ −4 — неверно. Пара не является решением.
б) x = 1, y = −2: x² + y² = 1 + 4 = 5 — верно; 6x + 5y = 6 − 10 = −4 — верно. Пара является решением.
Ответ: а) нет; б) да.
а) x = −2, y = 1: x² + y² = 4 + 1 = 5 — верно; 6x + 5y = −12 + 5 = −7 ≠ −4 — неверно. Пара не является решением.
б) x = 1, y = −2: x² + y² = 1 + 4 = 5 — верно; 6x + 5y = 6 − 10 = −4 — верно. Пара является решением.
Ответ: а) нет; б) да.
697. Решите графически систему уравнений {y − x² = 0; 2x − y + 3 = 0}.
Выразим y: y = x² и y = 2x + 3. Строим в одной системе координат параболу y = x² (вершина (0; 0), точки (±1; 1), (±2; 4), (3; 9)) и прямую y = 2x + 3 (точки (0; 3) и (−1,5; 0), (3; 9)). Графики пересекаются в двух точках: (−1; 1) и (3; 9).
Проверка: 1 = (−1)² и 2·(−1) + 3 = 1; 9 = 3² и 2·3 + 3 = 9. Обе пары удовлетворяют обоим уравнениям.
Ответ: (−1; 1), (3; 9).
Проверка: 1 = (−1)² и 2·(−1) + 3 = 1; 9 = 3² и 2·3 + 3 = 9. Обе пары удовлетворяют обоим уравнениям.
Ответ: (−1; 1), (3; 9).
698. Изобразив схематически графики уравнений, выясните, имеет ли решения система уравнений и если имеет, то сколько: а) {y = x³; xy = −12}; б) {y = x² + 8; y = −x² + 12}; в) {y = x² + 1; xy = 3}.
а) График y = x³ (кубическая парабола) расположен в I и III координатных четвертях, где x и y одного знака. График xy = −12, то есть y = −12/x, — гипербола во II и IV четвертях, где x и y разных знаков. Общих точек нет. Алгебраически: x³ = −12/x даёт x⁴ = −12, что невозможно. Решений нет.
б) y = x² + 8 — парабола ветвями вверх с вершиной (0; 8); y = −x² + 12 — парабола ветвями вниз с вершиной (0; 12). Вершина второй выше вершины первой, поэтому параболы пересекаются в двух точках, симметричных относительно оси y. Проверка: x² + 8 = −x² + 12, x² = 2, x = ±√2. Два решения.
в) y = x² + 1 — парабола, лежащая выше прямой y = 1, поэтому общие точки с гиперболой y = 3/x возможны только в I четверти, где у гиперболы одна ветвь, убывающая от +∞ к 0, а парабола возрастает. Ветвь и парабола пересекаются ровно в одной точке (x ≈ 1,2). Одно решение.
Ответ: а) решений нет; б) два решения; в) одно решение.
б) y = x² + 8 — парабола ветвями вверх с вершиной (0; 8); y = −x² + 12 — парабола ветвями вниз с вершиной (0; 12). Вершина второй выше вершины первой, поэтому параболы пересекаются в двух точках, симметричных относительно оси y. Проверка: x² + 8 = −x² + 12, x² = 2, x = ±√2. Два решения.
в) y = x² + 1 — парабола, лежащая выше прямой y = 1, поэтому общие точки с гиперболой y = 3/x возможны только в I четверти, где у гиперболы одна ветвь, убывающая от +∞ к 0, а парабола возрастает. Ветвь и парабола пересекаются ровно в одной точке (x ≈ 1,2). Одно решение.
Ответ: а) решений нет; б) два решения; в) одно решение.
699. Решите графически систему уравнений {x² − 4 = 0; y² − 9 = 0}.
Уравнение x² − 4 = 0 равносильно совокупности x = 2 или x = −2; его график — две вертикальные прямые. Уравнение y² − 9 = 0 равносильно y = 3 или y = −3; его график — две горизонтальные прямые. Строим четыре прямые; они пересекаются в четырёх точках: (2; 3), (2; −3), (−2; 3), (−2; −3).
Каждая из этих пар удовлетворяет обоим уравнениям, например, 2² − 4 = 0 и (−3)² − 9 = 0.
Ответ: (2; 3), (2; −3), (−2; 3), (−2; −3).
Каждая из этих пар удовлетворяет обоим уравнениям, например, 2² − 4 = 0 и (−3)² − 9 = 0.
Ответ: (2; 3), (2; −3), (−2; 3), (−2; −3).