Глава III. §10. п.29 Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными — с. 162
689. Выясните, каково взаимное расположение в координатной плоскости графиков уравнений данной системы и сделайте вывод о том, имеет ли система решение, и, если имеет, то сколько: а) {3x − y = 5; 3x + 2y = 8}; б) {2y − x = 4; y − 2x = 0}; в) {y = 0,5x + 2; y = 0,5x − 4}.
Приводим уравнения к виду y = kx + b и сравниваем угловые коэффициенты.
а) y = 3x − 5 и y = −1,5x + 4. Коэффициенты 3 и −1,5 различны — прямые пересекаются, система имеет одно решение. Вычитая из второго уравнения первое, получаем 3y = 3, y = 1, x = 2.
б) y = 0,5x + 2 и y = 2x. Коэффициенты 0,5 и 2 различны — прямые пересекаются, одно решение: 2x = 0,5x + 2, x = 4/3, y = 8/3.
в) Угловые коэффициенты равны (0,5), а свободные члены различны (2 и −4) — прямые параллельны, решений нет.
Ответ: а) и б) — прямые пересекаются, одно решение; в) прямые параллельны, решений нет.
а) y = 3x − 5 и y = −1,5x + 4. Коэффициенты 3 и −1,5 различны — прямые пересекаются, система имеет одно решение. Вычитая из второго уравнения первое, получаем 3y = 3, y = 1, x = 2.
б) y = 0,5x + 2 и y = 2x. Коэффициенты 0,5 и 2 различны — прямые пересекаются, одно решение: 2x = 0,5x + 2, x = 4/3, y = 8/3.
в) Угловые коэффициенты равны (0,5), а свободные члены различны (2 и −4) — прямые параллельны, решений нет.
Ответ: а) и б) — прямые пересекаются, одно решение; в) прямые параллельны, решений нет.
690. Прямая a задана уравнением x + 2y = 5. Среди уравнений прямых: x + y = 5; (1/4)y − 4x = 0; 6y + 3x = 10; 0,6x − 3 = −1,2; 2x + 4y = 10; 2x + 4y = 9; 15 − 3x = 6y; 0,5y + 0,25x = 4,8 найдите те, которые вместе с уравнением прямой a образуют систему: 1) имеющую единственное решение; 2) не имеющую решений; 3) имеющую бесконечно много решений.
Прямая a: y = −0,5x + 2,5. Приведём остальные уравнения к виду y = kx + b и сравним с k = −0,5, b = 2,5.
x + y = 5: y = −x + 5, k = −1 ≠ −0,5 — пересекаются.
(1/4)y − 4x = 0: y = 16x, k = 16 — пересекаются.
6y + 3x = 10: y = −0,5x + 5/3, k совпадает, b ≠ 2,5 — параллельны.
0,6x − 3 = −1,2: 0,6x = 1,8, x = 3 — вертикальная прямая, она пересекает прямую a в точке (3; 1). (В ответах учебника это уравнение записано как 0,6x − 3y = −1,2: тогда y = 0,2x + 0,4, k = 0,2 ≠ −0,5 — тоже пересекаются.)
2x + 4y = 10: y = −0,5x + 2,5 — совпадает с прямой a.
2x + 4y = 9: y = −0,5x + 2,25 — параллельна.
15 − 3x = 6y: y = −0,5x + 2,5 — совпадает.
0,5y + 0,25x = 4,8: y = −0,5x + 9,6 — параллельна.
Ответ: 1) x + y = 5; (1/4)y − 4x = 0; 0,6x − 3 = −1,2. 2) 6y + 3x = 10; 2x + 4y = 9; 0,5y + 0,25x = 4,8. 3) 2x + 4y = 10; 15 − 3x = 6y.
Оговорка: в напечатанном условии стоит 0,6x − 3 = −1,2 (в ответах учебника — 0,6x − 3y = −1,2); при любом прочтении уравнение относится к группе 1).
x + y = 5: y = −x + 5, k = −1 ≠ −0,5 — пересекаются.
(1/4)y − 4x = 0: y = 16x, k = 16 — пересекаются.
6y + 3x = 10: y = −0,5x + 5/3, k совпадает, b ≠ 2,5 — параллельны.
0,6x − 3 = −1,2: 0,6x = 1,8, x = 3 — вертикальная прямая, она пересекает прямую a в точке (3; 1). (В ответах учебника это уравнение записано как 0,6x − 3y = −1,2: тогда y = 0,2x + 0,4, k = 0,2 ≠ −0,5 — тоже пересекаются.)
2x + 4y = 10: y = −0,5x + 2,5 — совпадает с прямой a.
2x + 4y = 9: y = −0,5x + 2,25 — параллельна.
15 − 3x = 6y: y = −0,5x + 2,5 — совпадает.
0,5y + 0,25x = 4,8: y = −0,5x + 9,6 — параллельна.
Ответ: 1) x + y = 5; (1/4)y − 4x = 0; 0,6x − 3 = −1,2. 2) 6y + 3x = 10; 2x + 4y = 9; 0,5y + 0,25x = 4,8. 3) 2x + 4y = 10; 15 − 3x = 6y.
Оговорка: в напечатанном условии стоит 0,6x − 3 = −1,2 (в ответах учебника — 0,6x − 3y = −1,2); при любом прочтении уравнение относится к группе 1).
691. Используя графики уравнений, изображённые на рисунке 30, объясните графический смысл равносильности систем уравнений {2x − y = 5; x + y = 1} и {(2x − y) + (x + y) = 5 + 1; x + y = 1}. [рисунок 30: координатная плоскость с тремя прямыми 2x − y = 5, x + y = 1 и (2x − y) + (x + y) = 5 + 1 (вертикальная прямая x = 2), все три пересекаются в точке (2; −1)]
Первая система задаёт две прямые: 2x − y = 5 (y = 2x − 5) и x + y = 1 (y = 1 − x). Они пересекаются в одной точке: 2x − 5 = 1 − x, x = 2, y = −1, то есть в точке (2; −1) — это единственное решение системы.
Во второй системе первое уравнение получено сложением уравнений первой системы: (2x − y) + (x + y) = 5 + 1, то есть 3x = 6, x = 2. Его график — вертикальная прямая x = 2. Она проходит через ту же точку (2; −1), потому что координаты решения первой системы удовлетворяют и сумме уравнений. Второе уравнение x + y = 1 осталось прежним.
Таким образом, в первой системе вторую прямую x + y = 1 пересекает прямая 2x − y = 5, а во второй системе её пересекает прямая x = 2; обе прямые проходят через точку (2; −1), поэтому общая точка двух графиков в обеих системах одна и та же. Графики трёх прямых пересекаются в одной точке, значит, системы имеют одно и то же решение (2; −1), то есть равносильны.
Во второй системе первое уравнение получено сложением уравнений первой системы: (2x − y) + (x + y) = 5 + 1, то есть 3x = 6, x = 2. Его график — вертикальная прямая x = 2. Она проходит через ту же точку (2; −1), потому что координаты решения первой системы удовлетворяют и сумме уравнений. Второе уравнение x + y = 1 осталось прежним.
Таким образом, в первой системе вторую прямую x + y = 1 пересекает прямая 2x − y = 5, а во второй системе её пересекает прямая x = 2; обе прямые проходят через точку (2; −1), поэтому общая точка двух графиков в обеих системах одна и та же. Графики трёх прямых пересекаются в одной точке, значит, системы имеют одно и то же решение (2; −1), то есть равносильны.
692. В системе двух уравнений с двумя переменными первым является уравнение y − |x| = 0, а вторым — уравнение вида y = kx + b, где k и b — некоторые числа. Известно, что прямая — график второго уравнения пересекает ось x в точке (−3; 0). Подберите в уравнении y = kx + b коэффициенты k и b так, чтобы система: 1) имела два решения; 2) имела одно решение; 3) не имела решений.
Первое уравнение: y = |x| — график «галочка» с вершиной в начале координат (ветви y = x при x ≥ 0 и y = −x при x ≤ 0). Прямая y = kx + b проходит через (−3; 0): 0 = −3k + b, значит, b = 3k и прямая имеет вид y = k(x + 3).
1) Два решения. Возьмём k = 0,5, b = 1,5: y = 0,5x + 1,5. При x ≥ 0: x = 0,5x + 1,5, x = 3, y = 3. При x < 0: −x = 0,5x + 1,5, x = −1, y = 1. Получили две точки (3; 3) и (−1; 1).
2) Одно решение. Возьмём k = 0, b = 0: y = 0, тогда |x| = 0, x = 0 — единственная точка (0; 0). (Подходит и, например, k = 2, b = 6: при x ≥ 0 корня нет, при x < 0 получаем −x = 2x + 6, x = −2, y = 2.)
3) Нет решений. Возьмём k = −0,5, b = −1,5: y = −0,5x − 1,5. При x ≥ 0: x = −0,5x − 1,5, x = −1 — не подходит. При x < 0: −x = −0,5x − 1,5, x = 3 — не подходит. Решений нет.
Ответ: 1) k = 0,5, b = 1,5; 2) k = 0, b = 0; 3) k = −1, b = −3 (подойдёт и k = −0,5, b = −1,5).
Оговорка: ответ неоднозначен — годится любая пара, для которой b = 3k и выполнены описанные условия (два решения при 0 < k < 1; одно при k = 0, k = 1, k > 1 или k < −1; ни одного при −1 ≤ k < 0). Для k = −1, b = −3: прямая y = −x − 3 параллельна левой ветви и правую ветвь не пересекает, решений нет.
1) Два решения. Возьмём k = 0,5, b = 1,5: y = 0,5x + 1,5. При x ≥ 0: x = 0,5x + 1,5, x = 3, y = 3. При x < 0: −x = 0,5x + 1,5, x = −1, y = 1. Получили две точки (3; 3) и (−1; 1).
2) Одно решение. Возьмём k = 0, b = 0: y = 0, тогда |x| = 0, x = 0 — единственная точка (0; 0). (Подходит и, например, k = 2, b = 6: при x ≥ 0 корня нет, при x < 0 получаем −x = 2x + 6, x = −2, y = 2.)
3) Нет решений. Возьмём k = −0,5, b = −1,5: y = −0,5x − 1,5. При x ≥ 0: x = −0,5x − 1,5, x = −1 — не подходит. При x < 0: −x = −0,5x − 1,5, x = 3 — не подходит. Решений нет.
Ответ: 1) k = 0,5, b = 1,5; 2) k = 0, b = 0; 3) k = −1, b = −3 (подойдёт и k = −0,5, b = −1,5).
Оговорка: ответ неоднозначен — годится любая пара, для которой b = 3k и выполнены описанные условия (два решения при 0 < k < 1; одно при k = 0, k = 1, k > 1 или k < −1; ни одного при −1 ≤ k < 0). Для k = −1, b = −3: прямая y = −x − 3 параллельна левой ветви и правую ветвь не пересекает, решений нет.