Глава III. §10. п.29 Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными — с. 161
687. Выясните, имеет ли система решение и сколько: а) {2x − 6y = 10; 8y = 7 − 2x}; б) {3x − 12 = 8y; 1,5x − 4y = 6}; в) {y = 4x; x − 8 = −6y}; г) {x + y = 5; 3x − 2y = 8}; д) {3 − 3y = 4x; −8x = 6y − 6}; е) {x + 4y = 5; x − y + 3 = 0}.
Выразим в каждом уравнении y через x и сравним угловые коэффициенты k и свободные члены b прямых. Если k различны — одно решение; если k равны, а b различны — решений нет; если совпадают и k, и b — решений бесконечно много.
а) y = x/3 − 5/3 и y = −x/4 + 7/8. Угловые коэффициенты 1/3 и −1/4 различны — одно решение.
б) y = 3x/8 − 3/2 и y = 3x/8 − 3/2 (из 4y = 1,5x − 6). Прямые совпадают — бесконечно много решений.
в) y = 4x и y = −x/6 + 4/3. Коэффициенты 4 и −1/6 различны — одно решение.
г) y = −x + 5 и y = 1,5x − 4. Коэффициенты −1 и 1,5 различны — одно решение.
д) 3 − 3y = 4x даёт y = 1 − 4x/3; −8x = 6y − 6 даёт y = 1 − 4x/3. Прямые совпадают — бесконечно много решений.
е) y = −x/4 + 5/4 и y = x + 3. Коэффициенты −1/4 и 1 различны — одно решение.
Ответ: а), в), г), е) — одно решение; б), д) — бесконечно много решений.
а) y = x/3 − 5/3 и y = −x/4 + 7/8. Угловые коэффициенты 1/3 и −1/4 различны — одно решение.
б) y = 3x/8 − 3/2 и y = 3x/8 − 3/2 (из 4y = 1,5x − 6). Прямые совпадают — бесконечно много решений.
в) y = 4x и y = −x/6 + 4/3. Коэффициенты 4 и −1/6 различны — одно решение.
г) y = −x + 5 и y = 1,5x − 4. Коэффициенты −1 и 1,5 различны — одно решение.
д) 3 − 3y = 4x даёт y = 1 − 4x/3; −8x = 6y − 6 даёт y = 1 − 4x/3. Прямые совпадают — бесконечно много решений.
е) y = −x/4 + 5/4 и y = x + 3. Коэффициенты −1/4 и 1 различны — одно решение.
Ответ: а), в), г), е) — одно решение; б), д) — бесконечно много решений.
688. (Для работы в парах.) Имеет ли решения система уравнений и сколько: а) {7x + y = 8; x − y + 3 = 0}; б) {6y − 4x = 7; 8x − 12y = −14}; в) {x − 2y = 6; y = −4x}?
1. Обсудите друг с другом, от чего зависит ответ на вопрос задачи.
2. Выполните совместно задание а).
3. Распределите, кто выполняет задание б), а кто — задание в), и выполните их.
4. Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.
1) Ответ зависит от взаимного расположения прямых, которые являются графиками уравнений: если угловые коэффициенты различны, прямые пересекаются (одно решение); если угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны, прямые параллельны (решений нет); если равны и те и другие, прямые совпадают (бесконечно много решений).
2) а) y = −7x + 8 и y = x + 3. Коэффициенты −7 и 1 различны, прямые пересекаются — система имеет одно решение (x = 5/8, y = 3 5/8).
3) б) Из 6y − 4x = 7 получаем y = (2/3)x + 7/6; из 8x − 12y = −14 получаем 12y = 8x + 14, то есть y = (2/3)x + 7/6. Прямые совпадают — бесконечно много решений.
в) y = 0,5x − 3 и y = −4x. Коэффициенты 0,5 и −4 различны — одно решение (x = 2/3, y = −8/3).
4) Проверка: найденные решения подставляются в оба уравнения и дают верные равенства (например, в а) при x = 5/8, y = 29/8: 7·5/8 + 29/8 = 64/8 = 8 и 5/8 − 29/8 + 3 = 0).
Ответ: а) одно решение; б) бесконечно много решений; в) одно решение.
Оговорка: пункты 1), 2), 4) — задания для обсуждения в паре, поэтому дан примерный ход рассуждений.
2) а) y = −7x + 8 и y = x + 3. Коэффициенты −7 и 1 различны, прямые пересекаются — система имеет одно решение (x = 5/8, y = 3 5/8).
3) б) Из 6y − 4x = 7 получаем y = (2/3)x + 7/6; из 8x − 12y = −14 получаем 12y = 8x + 14, то есть y = (2/3)x + 7/6. Прямые совпадают — бесконечно много решений.
в) y = 0,5x − 3 и y = −4x. Коэффициенты 0,5 и −4 различны — одно решение (x = 2/3, y = −8/3).
4) Проверка: найденные решения подставляются в оба уравнения и дают верные равенства (например, в а) при x = 5/8, y = 29/8: 7·5/8 + 29/8 = 64/8 = 8 и 5/8 − 29/8 + 3 = 0).
Ответ: а) одно решение; б) бесконечно много решений; в) одно решение.
Оговорка: пункты 1), 2), 4) — задания для обсуждения в паре, поэтому дан примерный ход рассуждений.