Глава III. §10. п.28 Уравнение с двумя переменными и его график — с. 160
682. (Для работы в парах.) Постройте график уравнения: а) (x − 5)(y + 6) = 0; б) (x − 4)(x + 2) = 0.
1. Обсудите, какая фигура является графиком уравнения в каждом случае.
2. Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3. Проверьте друг у друга, правильно ли построены графики уравнений.
1) Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому график каждого уравнения — объединение графиков уравнений, получаемых приравниванием множителей к нулю. В случае а) это прямые x = 5 (вертикальная) и y = −6 (горизонтальная): две пересекающиеся перпендикулярные прямые. В случае б) это прямые x = 4 и x = −2: две параллельные вертикальные прямые.
2) а) (x − 5)(y + 6) = 0 ⇔ x − 5 = 0 или y + 6 = 0, то есть x = 5 или y = −6. Прямые пересекаются в точке (5; −6).
б) (x − 4)(x + 2) = 0 ⇔ x = 4 или x = −2. Обе прямые параллельны оси y и отстоят от неё на 4 вправо и на 2 влево.
3) Для проверки подставляем координаты нескольких точек каждой прямой: например, точка (5; 0) в а): (5 − 5)(0 + 6) = 0 — верно; точка (4; 7) в б): 0 · 9 = 0 — верно. Графики построены на рисунке.
2) а) (x − 5)(y + 6) = 0 ⇔ x − 5 = 0 или y + 6 = 0, то есть x = 5 или y = −6. Прямые пересекаются в точке (5; −6).
б) (x − 4)(x + 2) = 0 ⇔ x = 4 или x = −2. Обе прямые параллельны оси y и отстоят от неё на 4 вправо и на 2 влево.
3) Для проверки подставляем координаты нескольких точек каждой прямой: например, точка (5; 0) в а): (5 − 5)(0 + 6) = 0 — верно; точка (4; 7) в б): 0 · 9 = 0 — верно. Графики построены на рисунке.
683. Найдите все целые решения уравнения: а) xy = 2; б) x² − y² = 3.
а) Произведение двух целых чисел равно 2, значит, это пары делителей числа 2: (1; 2), (2; 1), (−1; −2), (−2; −1).
б) x² − y² = (x − y)(x + y) = 3. Числа x − y и x + y целые, и их произведение равно 3, поэтому возможны случаи: 1 и 3, 3 и 1, −1 и −3, −3 и −1.
x − y = 1, x + y = 3: x = 2, y = 1.
x − y = 3, x + y = 1: x = 2, y = −1.
x − y = −1, x + y = −3: x = −2, y = −1.
x − y = −3, x + y = −1: x = −2, y = 1.
Ответ: а) (1; 2), (2; 1), (−1; −2), (−2; −1); б) (2; 1), (2; −1), (−2; −1), (−2; 1).
б) x² − y² = (x − y)(x + y) = 3. Числа x − y и x + y целые, и их произведение равно 3, поэтому возможны случаи: 1 и 3, 3 и 1, −1 и −3, −3 и −1.
x − y = 1, x + y = 3: x = 2, y = 1.
x − y = 3, x + y = 1: x = 2, y = −1.
x − y = −1, x + y = −3: x = −2, y = −1.
x − y = −3, x + y = −1: x = −2, y = 1.
Ответ: а) (1; 2), (2; 1), (−1; −2), (−2; −1); б) (2; 1), (2; −1), (−2; −1), (−2; 1).
684. Автомобиль двигался 1 ч 20 мин со скоростью a км/ч и 45 мин со скоростью b км/ч. Какой путь проехал автомобиль?
Переведём время в часы: 1 ч 20 мин = 1 20/60 ч = 1 1/3 ч, 45 мин = 45/60 ч = 3/4 ч. Путь равен сумме произведений скорости на время: s = a · 1 1/3 + b · 3/4.
Ответ: (1 1/3 a + 3/4 b) км.
Ответ: (1 1/3 a + 3/4 b) км.
685. Решите уравнение: а) (2x + 1)(2x − 3)/4 = x² − 1; б) x² − (2x − 1)x/2 = 2.
а) Умножаем обе части на 4: (2x + 1)(2x − 3) = 4(x² − 1), 4x² − 6x + 2x − 3 = 4x² − 4, −4x − 3 = −4, −4x = −1, x = 1/4.
б) Умножаем обе части на 2: 2x² − (2x − 1)x = 4, 2x² − 2x² + x = 4, x = 4.
Ответ: а) 1/4; б) 4.
б) Умножаем обе части на 2: 2x² − (2x − 1)x = 4, 2x² − 2x² + x = 4, x = 4.
Ответ: а) 1/4; б) 4.
686. Упростите выражение: а) (x² − 1)/(6x²) : (x² + x)/3; б) (16n² − 1)/(n² − 2n) : 8n/(3n − 6); в) (x − 4)/(y² − xy) : (5x − 20)/(x² − xy).
Заменяем деление умножением на обратную дробь, раскладываем на множители и сокращаем.
а) (x² − 1)/(6x²) · 3/(x² + x) = (x − 1)(x + 1) · 3/(6x² · x(x + 1)) = (x − 1)/(2x³).
б) (16n² − 1)/(n² − 2n) · (3n − 6)/(8n) = (4n − 1)(4n + 1) · 3(n − 2)/(n(n − 2) · 8n) = 3(16n² − 1)/(8n²) = (48n² − 3)/(8n²).
в) (x − 4)/(y² − xy) · (x² − xy)/(5x − 20) = (x − 4) · x(x − y)/(y(y − x) · 5(x − 4)) = −x/(5y), так как x − y = −(y − x).
Ответ: а) (x − 1)/(2x³); б) (48n² − 3)/(8n²); в) −x/(5y).
Оговорка: в ответах учебника иначе: а) (x − 1)/(4x³), б) (48n² − 3)/(8n³); при условии, как оно напечатано (делитель (x² + x)/3 в а) и 8n/(3n − 6) в б)), получается результат, приведённый выше (проверено дважды).
а) (x² − 1)/(6x²) · 3/(x² + x) = (x − 1)(x + 1) · 3/(6x² · x(x + 1)) = (x − 1)/(2x³).
б) (16n² − 1)/(n² − 2n) · (3n − 6)/(8n) = (4n − 1)(4n + 1) · 3(n − 2)/(n(n − 2) · 8n) = 3(16n² − 1)/(8n²) = (48n² − 3)/(8n²).
в) (x − 4)/(y² − xy) · (x² − xy)/(5x − 20) = (x − 4) · x(x − y)/(y(y − x) · 5(x − 4)) = −x/(5y), так как x − y = −(y − x).
Ответ: а) (x − 1)/(2x³); б) (48n² − 3)/(8n²); в) −x/(5y).
Оговорка: в ответах учебника иначе: а) (x − 1)/(4x³), б) (48n² − 3)/(8n³); при условии, как оно напечатано (делитель (x² + x)/3 в а) и 8n/(3n − 6) в б)), получается результат, приведённый выше (проверено дважды).