Глава III. §10. п.28 Уравнение с двумя переменными и его график — с. 158
674. Графики линейных уравнений 2x − y = 4, x − y = −2, y + 4 = 0, x − 6 = 0 изображены на рисунке 26. Для каждой из прямых, изображённых на этом рисунке, укажите её уравнение. [рисунок 26: координатная плоскость, четыре прямые a, b, c, d; прямая a идёт вверх и проходит через точки (−2; 0) и (0; 2); прямая b идёт круче и проходит через точки (2; 0) и (0; −4); прямая c вертикальна и проходит через точку (6; 0); прямая d горизонтальна и проходит через точку (0; −4)]
Для каждой прямой находим её точки и подбираем уравнение.
Прямая a проходит через (0; 2) и (−2; 0): подходит x − y = −2 (0 − 2 = −2; −2 − 0 = −2).
Прямая b проходит через (2; 0) и (0; −4): подходит 2x − y = 4 (4 − 0 = 4; 0 + 4 = 4).
Прямая c вертикальна, все её точки имеют абсциссу 6: x − 6 = 0.
Прямая d горизонтальна, все её точки имеют ординату −4: y + 4 = 0.
Ответ: a — x − y = −2; b — 2x − y = 4; c — x − 6 = 0; d — y + 4 = 0.
Прямая a проходит через (0; 2) и (−2; 0): подходит x − y = −2 (0 − 2 = −2; −2 − 0 = −2).
Прямая b проходит через (2; 0) и (0; −4): подходит 2x − y = 4 (4 − 0 = 4; 0 + 4 = 4).
Прямая c вертикальна, все её точки имеют абсциссу 6: x − 6 = 0.
Прямая d горизонтальна, все её точки имеют ординату −4: y + 4 = 0.
Ответ: a — x − y = −2; b — 2x − y = 4; c — x − 6 = 0; d — y + 4 = 0.
675. Постройте график уравнения: а) 3x + 0y = 12; б) 0x + y = 1; в) x = 5; г) y = 1,5; д) (x − 2)(y − 3) = 0; е) (x + 3)(y + 1) = 0; ж) |x| = 2; з) |y| = 3.
а) 3x = 12, x = 4: графиком является вертикальная прямая, все точки которой имеют абсциссу 4 (y — любое).
б) y = 1: горизонтальная прямая, проходящая через точку (0; 1).
в) x = 5: вертикальная прямая через точку (5; 0).
г) y = 1,5: горизонтальная прямая через точку (0; 1,5).
д) Произведение равно нулю, когда x − 2 = 0 или y − 3 = 0, то есть x = 2 или y = 3: две перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке (2; 3).
е) x + 3 = 0 или y + 1 = 0, то есть x = −3 или y = −1: две перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке (−3; −1).
ж) |x| = 2 равносильно x = 2 или x = −2: две вертикальные параллельные прямые.
з) |y| = 3 равносильно y = 3 или y = −3: две горизонтальные параллельные прямые.
Графики построены на рисунке (на каждом графике искомые прямые показаны красным).
б) y = 1: горизонтальная прямая, проходящая через точку (0; 1).
в) x = 5: вертикальная прямая через точку (5; 0).
г) y = 1,5: горизонтальная прямая через точку (0; 1,5).
д) Произведение равно нулю, когда x − 2 = 0 или y − 3 = 0, то есть x = 2 или y = 3: две перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке (2; 3).
е) x + 3 = 0 или y + 1 = 0, то есть x = −3 или y = −1: две перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке (−3; −1).
ж) |x| = 2 равносильно x = 2 или x = −2: две вертикальные параллельные прямые.
з) |y| = 3 равносильно y = 3 или y = −3: две горизонтальные параллельные прямые.
Графики построены на рисунке (на каждом графике искомые прямые показаны красным).
676. Объясните, почему графиком уравнения x² − y² = 0 является пара прямых y = x и y = −x.
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: x² − y² = (x − y)(x + y). Уравнение принимает вид (x − y)(x + y) = 0. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: x − y = 0 или x + y = 0, то есть y = x или y = −x. Значит, координаты точки удовлетворяют исходному уравнению тогда и только тогда, когда точка лежит на одной из прямых y = x, y = −x. Следовательно, графиком уравнения является пара этих прямых.
677. Постройте на координатной плоскости график линейного уравнения: а) 3x − 2y = 5; б) x + 2y − 3 = 0; в) 3x − 4y = −1.
Графиком линейного уравнения с двумя переменными является прямая; для её построения достаточно двух точек.
а) 3x − 2y = 5, y = (3x − 5)/2. При x = 1: y = −1; при x = 3: y = 2. Прямая проходит через точки (1; −1) и (3; 2).
б) x + 2y − 3 = 0, x = 3 − 2y. При y = 0: x = 3; при y = 1: x = 1. Прямая проходит через точки (3; 0) и (1; 1).
в) 3x − 4y = −1, y = (3x + 1)/4. При x = 1: y = 1; при x = 5: y = 4. Прямая проходит через точки (1; 1) и (5; 4).
Построенные прямые показаны на рисунке.
а) 3x − 2y = 5, y = (3x − 5)/2. При x = 1: y = −1; при x = 3: y = 2. Прямая проходит через точки (1; −1) и (3; 2).
б) x + 2y − 3 = 0, x = 3 − 2y. При y = 0: x = 3; при y = 1: x = 1. Прямая проходит через точки (3; 0) и (1; 1).
в) 3x − 4y = −1, y = (3x + 1)/4. При x = 1: y = 1; при x = 5: y = 4. Прямая проходит через точки (1; 1) и (5; 4).
Построенные прямые показаны на рисунке.
678. На рис. 27 изображён график одного из следующих линейных уравнений: x − y = −7, x − y = 4, 2x + y = 6, x + y = 5. Укажите это уравнение. [рисунок 27: убывающая прямая, проходящая через точки (0; 6), (1; 4), (3; 0), (4; −2)]
По рисунку прямая убывает и проходит через точки (0; 6) и (3; 0). Проверяем уравнения, подставляя эти точки.
x − y = −7: для (0; 6): 0 − 6 = −6 ≠ −7 — не подходит (к тому же прямая возрастает).
x − y = 4: для (0; 6): −6 ≠ 4 — не подходит.
x + y = 5: для (0; 6): 6 ≠ 5 — не подходит.
2x + y = 6: для (0; 6): 0 + 6 = 6; для (3; 0): 6 + 0 = 6; для (1; 4): 2 + 4 = 6 — подходит.
Ответ: 2x + y = 6.
x − y = −7: для (0; 6): 0 − 6 = −6 ≠ −7 — не подходит (к тому же прямая возрастает).
x − y = 4: для (0; 6): −6 ≠ 4 — не подходит.
x + y = 5: для (0; 6): 6 ≠ 5 — не подходит.
2x + y = 6: для (0; 6): 0 + 6 = 6; для (3; 0): 6 + 0 = 6; для (1; 4): 2 + 4 = 6 — подходит.
Ответ: 2x + y = 6.
679. Составьте уравнение, графиком которого является пара прямых, изображённых на рисунке 28. [рисунок 28: на каждом из четырёх рисунков единичному отрезку соответствуют две клетки; а) горизонтальная прямая y = 1 и вертикальная прямая x = 1; б) вертикальная прямая x = −1 и прямая, проходящая через точки (0; 0), (1; 1), (2; 2); в) две вертикальные прямые x = −2 и x = 1; г) две горизонтальные прямые y = 2 и y = −1]
Если график состоит из двух прямых, то уравнение — произведение двух выражений, каждое из которых обращается в нуль на своей прямой, приравненное к нулю.
а) Прямые x = 1 и y = 1, то есть x − 1 = 0 и y − 1 = 0: (x − 1)(y − 1) = 0.
б) Прямые x = −1 и y = x, то есть x + 1 = 0 и x − y = 0: (x + 1)(x − y) = 0.
в) Прямые x = −2 и x = 1: (x + 2)(x − 1) = 0.
г) Прямые y = 2 и y = −1: (y − 2)(y + 1) = 0.
Ответ: а) (x − 1)(y − 1) = 0; б) (x + 1)(x − y) = 0; в) (x + 2)(x − 1) = 0; г) (y + 1)(y − 2) = 0.
а) Прямые x = 1 и y = 1, то есть x − 1 = 0 и y − 1 = 0: (x − 1)(y − 1) = 0.
б) Прямые x = −1 и y = x, то есть x + 1 = 0 и x − y = 0: (x + 1)(x − y) = 0.
в) Прямые x = −2 и x = 1: (x + 2)(x − 1) = 0.
г) Прямые y = 2 и y = −1: (y − 2)(y + 1) = 0.
Ответ: а) (x − 1)(y − 1) = 0; б) (x + 1)(x − y) = 0; в) (x + 2)(x − 1) = 0; г) (y + 1)(y − 2) = 0.