Глава III. §9. п.27 Решение задач — с. 155
668. Найдите значение выражения: а) xy/(x + y) при x = 5 + 2√6, y = 5 − 2√6; б) (x² + y²)/(xy) при x = √11 + √3, y = √11 − √3.
а) x + y = (5 + 2√6) + (5 − 2√6) = 10; xy = 25 − (2√6)² = 25 − 24 = 1. Значение выражения 1/10 = 0,1.
б) xy = (√11)² − (√3)² = 11 − 3 = 8; x + y = 2√11, поэтому x² + y² = (x + y)² − 2xy = 44 − 16 = 28. Значение выражения 28/8 = 3,5.
Ответ: а) 0,1; б) 3,5.
б) xy = (√11)² − (√3)² = 11 − 3 = 8; x + y = 2√11, поэтому x² + y² = (x + y)² − 2xy = 44 − 16 = 28. Значение выражения 28/8 = 3,5.
Ответ: а) 0,1; б) 3,5.
669. Найдите значение q, при котором разность корней уравнения x² − 10x + q = 0 равна 6.
Пусть корни x₁ и x₂, x₁ − x₂ = 6. По теореме Виета x₁ + x₂ = 10. Складывая, получаем 2x₁ = 16, x₁ = 8, x₂ = 2. Тогда q = x₁x₂ = 16.
Проверка: x² − 10x + 16 = 0 имеет корни 2 и 8, D = 100 − 64 = 36 > 0, разность корней 6.
Ответ: q = 16.
Проверка: x² − 10x + 16 = 0 имеет корни 2 и 8, D = 100 − 64 = 36 > 0, разность корней 6.
Ответ: q = 16.
670. Составьте квадратное уравнение, зная его корни: а) (√3 − 1)/2 и (√3 + 1)/2; б) 2 − √3 и 1/(2 − √3).
Приведённое уравнение с корнями x₁ и x₂: x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0.
а) x₁ + x₂ = (√3 − 1 + √3 + 1)/2 = √3; x₁x₂ = (3 − 1)/4 = 1/2. Уравнение x² − √3x + 1/2 = 0 (или 2x² − 2√3x + 1 = 0).
б) 1/(2 − √3) = (2 + √3)/((2 − √3)(2 + √3)) = (2 + √3)/(4 − 3) = 2 + √3. Тогда x₁ + x₂ = (2 − √3) + (2 + √3) = 4, x₁x₂ = (2 − √3)(2 + √3) = 1. Уравнение x² − 4x + 1 = 0.
а) x₁ + x₂ = (√3 − 1 + √3 + 1)/2 = √3; x₁x₂ = (3 − 1)/4 = 1/2. Уравнение x² − √3x + 1/2 = 0 (или 2x² − 2√3x + 1 = 0).
б) 1/(2 − √3) = (2 + √3)/((2 − √3)(2 + √3)) = (2 + √3)/(4 − 3) = 2 + √3. Тогда x₁ + x₂ = (2 − √3) + (2 + √3) = 4, x₁x₂ = (2 − √3)(2 + √3) = 1. Уравнение x² − 4x + 1 = 0.
Вопрос 1. Приведите пример целого уравнения и пример дробного рационального уравнения.
Целое уравнение — такое, левая и правая части которого целые выражения (нет деления на выражение с переменной), например 3x² − 5x + 2 = 0 или 2x + 3 = x − 5. Дробное рациональное уравнение содержит деление на выражение с переменной, например (x + 1)/(x − 2) = 3 или 1/x + 1/(x + 1) = 2.
Вопрос 2. На примере уравнения 6/(x² − 1) − 1 = 2/(x − 1) − 3/(x + 1) объясните, как решают дробные рациональные уравнения.
План решения: 1) разложить знаменатели на множители и найти общий знаменатель; 2) найти ОДЗ (значения, при которых знаменатели не обращаются в нуль); 3) умножить обе части на общий знаменатель, получив целое уравнение; 4) решить его; 5) отбросить корни, не входящие в ОДЗ.
Пример: x² − 1 = (x − 1)(x + 1), ОДЗ: x ≠ 1, x ≠ −1. Общий знаменатель x² − 1. Умножаем обе части на него: 6 − (x² − 1) = 2(x + 1) − 3(x − 1), то есть 7 − x² = 5 − x, x² − x − 2 = 0, x = 2 или x = −1. Число −1 не входит в ОДЗ (знаменатели обращаются в нуль) — посторонний корень.
Проверка: при x = 2 левая часть 6/3 − 1 = 1, правая 2/1 − 3/3 = 1.
Ответ: 2.
Пример: x² − 1 = (x − 1)(x + 1), ОДЗ: x ≠ 1, x ≠ −1. Общий знаменатель x² − 1. Умножаем обе части на него: 6 − (x² − 1) = 2(x + 1) − 3(x − 1), то есть 7 − x² = 5 − x, x² − x − 2 = 0, x = 2 или x = −1. Число −1 не входит в ОДЗ (знаменатели обращаются в нуль) — посторонний корень.
Проверка: при x = 2 левая часть 6/3 − 1 = 1, правая 2/1 − 3/3 = 1.
Ответ: 2.