Глава III. §9. п.27 Решение задач — с. 153
650. Один из лыжников прошёл расстояние в 20 км на 20 мин быстрее, чем другой. Найдите скорость каждого лыжника, зная, что один из них двигался со скоростью, на 2 км/ч большей, чем другой.
20 мин = 1/3 ч. Пусть скорость медленного лыжника x км/ч, быстрого x + 2 км/ч. Тогда 20/x − 20/(x + 2) = 1/3.
Умножаем на 3x(x + 2): 60(x + 2) − 60x = x(x + 2), 120 = x² + 2x, x² + 2x − 120 = 0, D = 4 + 480 = 484, x = (−2 ± 22)/2, x = 10 или x = −12. Подходит x = 10, скорость быстрого 12 км/ч.
Ответ: 10 км/ч и 12 км/ч.
Умножаем на 3x(x + 2): 60(x + 2) − 60x = x(x + 2), 120 = x² + 2x, x² + 2x − 120 = 0, D = 4 + 480 = 484, x = (−2 ± 22)/2, x = 10 или x = −12. Подходит x = 10, скорость быстрого 12 км/ч.
Ответ: 10 км/ч и 12 км/ч.
651. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 ч раньше второго. Найдите скорость каждого автомобиля, зная, что расстояние между городами равно 560 км.
Пусть скорость второго автомобиля x км/ч, первого x + 10 км/ч. Время второго 560/x ч, первого 560/(x + 10) ч. По условию 560/x − 560/(x + 10) = 1.
Умножаем на x(x + 10): 560(x + 10) − 560x = x(x + 10), 5600 = x² + 10x, x² + 10x − 5600 = 0, D = 100 + 22 400 = 22 500 = 150², x = (−10 ± 150)/2, x = 70 или x = −80. Значит, x = 70, скорость первого 80 км/ч.
Ответ: 80 км/ч и 70 км/ч.
Умножаем на x(x + 10): 560(x + 10) − 560x = x(x + 10), 5600 = x² + 10x, x² + 10x − 5600 = 0, D = 100 + 22 400 = 22 500 = 150², x = (−10 ± 150)/2, x = 70 или x = −80. Значит, x = 70, скорость первого 80 км/ч.
Ответ: 80 км/ч и 70 км/ч.
652. Чтобы ликвидировать опоздание на 1 ч, поезд на перегоне в 720 км увеличил скорость, с которой шёл по расписанию, на 10 км/ч. Какова скорость поезда по расписанию?
Пусть скорость по расписанию x км/ч, тогда фактическая скорость x + 10 км/ч. Время по расписанию 720/x ч, фактическое 720/(x + 10) ч, разница 1 ч: 720/x − 720/(x + 10) = 1.
Умножаем на x(x + 10): 7200 = x² + 10x, x² + 10x − 7200 = 0, D = 100 + 28 800 = 28 900 = 170², x = (−10 ± 170)/2, x = 80 или x = −90. Подходит x = 80.
Ответ: 80 км/ч.
Умножаем на x(x + 10): 7200 = x² + 10x, x² + 10x − 7200 = 0, D = 100 + 28 800 = 28 900 = 170², x = (−10 ± 170)/2, x = 80 или x = −90. Подходит x = 80.
Ответ: 80 км/ч.
653. В прошлом году в фермерском хозяйстве собрали 192 ц пшеницы. В этом году благодаря использованию новых технологий удалось повысить урожайность пшеницы на 2 ц с гектара. В результате такой же урожай собрали с площади, на 0,4 га меньшей. Какова была урожайность пшеницы в хозяйстве в прошлом году?
Пусть урожайность в прошлом году x ц/га, тогда в этом году x + 2 ц/га. Площадь в прошлом году 192/x га, в этом 192/(x + 2) га; она на 0,4 га меньше: 192/x − 192/(x + 2) = 0,4.
Умножаем на x(x + 2): 192(x + 2) − 192x = 0,4x(x + 2), 384 = 0,4x² + 0,8x, x² + 2x − 960 = 0, D = 4 + 3840 = 3844 = 62², x = (−2 ± 62)/2, x = 30 или x = −32. Подходит x = 30.
Ответ: 30 ц с гектара.
Умножаем на x(x + 2): 192(x + 2) − 192x = 0,4x(x + 2), 384 = 0,4x² + 0,8x, x² + 2x − 960 = 0, D = 4 + 3840 = 3844 = 62², x = (−2 ± 62)/2, x = 30 или x = −32. Подходит x = 30.
Ответ: 30 ц с гектара.
654. На молодёжном карнавале Андрей купил билеты лотереи «Надежда» на 240 р. Если бы он потратил эти деньги на билеты лотереи «Удача», то смог бы купить на 4 билета больше, так как они были на 5 р. дешевле. Сколько стоил билет лотереи «Надежда»?
Пусть билет «Надежды» стоил x р., тогда билет «Удачи» стоил x − 5 р. Билетов «Надежды» куплено 240/x, «Удачи» можно было бы купить 240/(x − 5), и это на 4 больше: 240/(x − 5) − 240/x = 4.
Умножаем на x(x − 5): 240x − 240(x − 5) = 4x(x − 5), 1200 = 4x² − 20x, x² − 5x − 300 = 0, D = 25 + 1200 = 1225 = 35², x = (5 ± 35)/2, x = 20 или x = −15. Подходит x = 20.
Ответ: 20 р.
Умножаем на x(x − 5): 240x − 240(x − 5) = 4x(x − 5), 1200 = 4x² − 20x, x² − 5x − 300 = 0, D = 25 + 1200 = 1225 = 35², x = (5 ± 35)/2, x = 20 или x = −15. Подходит x = 20.
Ответ: 20 р.
655. Предприниматель приобрёл акции одинаковой стоимости на 110 000 р. Если бы он отложил покупку на год, то сумел бы приобрести на эту сумму на 20 акций меньше, так как цена одной акции данного вида возросла за этот год на 50 р. Сколько акций приобрёл предприниматель?
Пусть куплено x акций, тогда цена одной акции 110 000/x р. Через год цена стала 110 000/x + 50 р., и на ту же сумму можно купить x − 20 акций, то есть 110 000/(x − 20) = 110 000/x + 50.
Переносим: 110 000/(x − 20) − 110 000/x = 50. Умножаем на x(x − 20): 110 000x − 110 000(x − 20) = 50x(x − 20), 2 200 000 = 50x² − 1000x, x² − 20x − 44 000 = 0, D = 400 + 176 000 = 176 400 = 420², x = (20 ± 420)/2, x = 220 или x = −200. Подходит x = 220.
Ответ: 220 акций.
Переносим: 110 000/(x − 20) − 110 000/x = 50. Умножаем на x(x − 20): 110 000x − 110 000(x − 20) = 50x(x − 20), 2 200 000 = 50x² − 1000x, x² − 20x − 44 000 = 0, D = 400 + 176 000 = 176 400 = 420², x = (20 ± 420)/2, x = 220 или x = −200. Подходит x = 220.
Ответ: 220 акций.
656. Старинная задача. Несколько человек обедали вместе и по счёту должны были уплатить 175 шиллингов. Оказалось, что у двоих не было при себе денег. Поэтому каждому из остальных пришлось уплатить на 10 шиллингов больше, чем приходилось на его долю. Сколько человек обедало?
Пусть обедало x человек. По плану каждый платил бы 175/x шиллингов, а фактически платили x − 2 человека по 175/(x − 2) шиллингов. По условию 175/(x − 2) − 175/x = 10.
Умножаем на x(x − 2): 175x − 175(x − 2) = 10x(x − 2), 350 = 10x² − 20x, x² − 2x − 35 = 0, x = 7 или x = −5. Подходит x = 7.
Проверка: 175/7 = 25, 175/5 = 35, 35 − 25 = 10.
Ответ: 7 человек.
Умножаем на x(x − 2): 175x − 175(x − 2) = 10x(x − 2), 350 = 10x² − 20x, x² − 2x − 35 = 0, x = 7 или x = −5. Подходит x = 7.
Проверка: 175/7 = 25, 175/5 = 35, 35 − 25 = 10.
Ответ: 7 человек.
657. Сотрудники отдела решили совместно приобрести однокамерный холодильник за 14 400 р. Однако трое отказались участвовать в покупке, и остальным пришлось уплатить на 400 р. больше, чем предполагалось. Сколько сотрудников работает в отделе?
Пусть в отделе x сотрудников. Сначала каждый должен был внести 14 400/x р., после отказа троих вносили x − 3 человека по 14 400/(x − 3) р. По условию 14 400/(x − 3) − 14 400/x = 400.
Делим на 400: 36/(x − 3) − 36/x = 1. Умножаем на x(x − 3): 36x − 36(x − 3) = x(x − 3), 108 = x² − 3x, x² − 3x − 108 = 0, D = 9 + 432 = 441, x = (3 ± 21)/2, x = 12 или x = −9. Подходит x = 12.
Ответ: 12 сотрудников.
Делим на 400: 36/(x − 3) − 36/x = 1. Умножаем на x(x − 3): 36x − 36(x − 3) = x(x − 3), 108 = x² − 3x, x² − 3x − 108 = 0, D = 9 + 432 = 441, x = (3 ± 21)/2, x = 12 или x = −9. Подходит x = 12.
Ответ: 12 сотрудников.
658. Турист проплыл на лодке против течения реки 6 км и по озеру 15 км, затратив на путь по озеру на 1 ч больше, чем на путь по реке. Зная, что скорость течения реки равна 2 км/ч, найдите скорость лодки при движении по озеру.
Скорость лодки по озеру равна собственной скорости лодки; пусть она x км/ч (x > 2). Против течения лодка шла со скоростью x − 2 км/ч. Время по реке 6/(x − 2) ч, по озеру 15/x ч, и 15/x − 6/(x − 2) = 1.
Умножаем на x(x − 2): 15(x − 2) − 6x = x(x − 2), 9x − 30 = x² − 2x, x² − 11x + 30 = 0, x = 5 или x = 6. Оба значения больше 2 и подходят.
Проверка: x = 5: 15/5 − 6/3 = 3 − 2 = 1; x = 6: 15/6 − 6/4 = 2,5 − 1,5 = 1.
Ответ: 5 км/ч или 6 км/ч.
Умножаем на x(x − 2): 15(x − 2) − 6x = x(x − 2), 9x − 30 = x² − 2x, x² − 11x + 30 = 0, x = 5 или x = 6. Оба значения больше 2 и подходят.
Проверка: x = 5: 15/5 − 6/3 = 3 − 2 = 1; x = 6: 15/6 − 6/4 = 2,5 − 1,5 = 1.
Ответ: 5 км/ч или 6 км/ч.