Глава III. §9. п.27 Решение задач — с. 152
648. Знаменатель обыкновенной дроби больше её числителя на 3. Если к числителю этой дроби прибавить 7, а к знаменателю — 5, то она увеличится на 1/2. Найдите эту дробь.
Пусть числитель дроби равен x, тогда знаменатель x + 3, дробь x/(x + 3). После изменений получится (x + 7)/(x + 3 + 5) = (x + 7)/(x + 8). По условию (x + 7)/(x + 8) − x/(x + 3) = 1/2.
ОДЗ: x ≠ −8, x ≠ −3. Умножаем на 2(x + 8)(x + 3): 2(x + 7)(x + 3) − 2x(x + 8) = (x + 8)(x + 3), то есть 2(x² + 10x + 21) − 2x² − 16x = x² + 11x + 24, 4x + 42 = x² + 11x + 24, x² + 7x − 18 = 0, x = 2 или x = −9. Числитель обыкновенной дроби — натуральное число, поэтому x = 2, знаменатель 5.
Проверка: 9/10 − 2/5 = 9/10 − 4/10 = 1/2.
Ответ: 2/5.
Оговорка: тире перед числом 5 в условии понято как «прибавить» (к знаменателю прибавить 5).
ОДЗ: x ≠ −8, x ≠ −3. Умножаем на 2(x + 8)(x + 3): 2(x + 7)(x + 3) − 2x(x + 8) = (x + 8)(x + 3), то есть 2(x² + 10x + 21) − 2x² − 16x = x² + 11x + 24, 4x + 42 = x² + 11x + 24, x² + 7x − 18 = 0, x = 2 или x = −9. Числитель обыкновенной дроби — натуральное число, поэтому x = 2, знаменатель 5.
Проверка: 9/10 − 2/5 = 9/10 − 4/10 = 1/2.
Ответ: 2/5.
Оговорка: тире перед числом 5 в условии понято как «прибавить» (к знаменателю прибавить 5).
649. Из города в село, находящееся от него на расстоянии 120 км, выехали одновременно два автомобиля. Скорость одного была на 20 км/ч больше скорости другого, и поэтому он пришёл к месту назначения на 1 ч раньше. Найдите скорость каждого автомобиля.
Пусть скорость медленного автомобиля x км/ч, тогда скорость быстрого x + 20 км/ч. Время в пути: 120/x ч и 120/(x + 20) ч. По условию 120/x − 120/(x + 20) = 1.
Умножаем на x(x + 20): 120(x + 20) − 120x = x(x + 20), 2400 = x² + 20x, x² + 20x − 2400 = 0, D = 400 + 9600 = 10 000, x = (−20 ± 100)/2, x = 40 или x = −60. Скорость положительна, поэтому x = 40, тогда быстрый автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч.
Ответ: 40 км/ч и 60 км/ч.
Умножаем на x(x + 20): 120(x + 20) − 120x = x(x + 20), 2400 = x² + 20x, x² + 20x − 2400 = 0, D = 400 + 9600 = 10 000, x = (−20 ± 100)/2, x = 40 или x = −60. Скорость положительна, поэтому x = 40, тогда быстрый автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч.
Ответ: 40 км/ч и 60 км/ч.