Глава III. §9. п.26 Решение дробных рациональных уравнений — с. 151
644. Найдите значение выражения x² − 2xy + y² при x = 3 + √5, y = 3 − √5.
x² − 2xy + y² = (x − y)². Находим x − y = (3 + √5) − (3 − √5) = 2√5. Тогда (x − y)² = (2√5)² = 4 · 5 = 20.
Ответ: 20.
Ответ: 20.
645. Определите, принадлежат ли графику функции y = x² + 2x + 5 точки A(1,5; 7,25), B(−3,2; 9) и C(√3 − 1; 7).
Подставляем абсциссу точки в формулу и сравниваем с ординатой.
A: x = 1,5: y = 2,25 + 3 + 5 = 10,25 ≠ 7,25 — не принадлежит.
B: x = −3,2: y = 10,24 − 6,4 + 5 = 8,84 ≠ 9 — не принадлежит.
C: x = √3 − 1: y = (√3 − 1)² + 2(√3 − 1) + 5 = 3 − 2√3 + 1 + 2√3 − 2 + 5 = 7 = 7 — принадлежит.
Ответ: графику принадлежит только точка C.
A: x = 1,5: y = 2,25 + 3 + 5 = 10,25 ≠ 7,25 — не принадлежит.
B: x = −3,2: y = 10,24 − 6,4 + 5 = 8,84 ≠ 9 — не принадлежит.
C: x = √3 − 1: y = (√3 − 1)² + 2(√3 − 1) + 5 = 3 − 2√3 + 1 + 2√3 − 2 + 5 = 7 = 7 — принадлежит.
Ответ: графику принадлежит только точка C.
646. Упростите выражение: а) (x − y)/(√x − √y) − √x; б) √x − (x − y)/(√x + √y).
Здесь x ≥ 0, y ≥ 0 (в пункте а) ещё x ≠ y).
а) x − y = (√x − √y)(√x + √y), поэтому (x − y)/(√x − √y) = √x + √y. Тогда √x + √y − √x = √y.
б) (x − y)/(√x + √y) = (√x − √y)(√x + √y)/(√x + √y) = √x − √y. Тогда √x − (√x − √y) = √y.
Ответ: а) √y; б) √y.
а) x − y = (√x − √y)(√x + √y), поэтому (x − y)/(√x − √y) = √x + √y. Тогда √x + √y − √x = √y.
б) (x − y)/(√x + √y) = (√x − √y)(√x + √y)/(√x + √y) = √x − √y. Тогда √x − (√x − √y) = √y.
Ответ: а) √y; б) √y.
647. Сравните с нулём значение выражения: а) 3ab/(a² + b²), где a > 0, b < 0; б) 5a³b²/(a + b), где a < 0, b < 0.
а) При a > 0, b < 0 произведение ab < 0, числитель 3ab < 0; знаменатель a² + b² > 0. Частное числа отрицательного и положительного отрицательно. Ответ: значение выражения меньше нуля.
б) При a < 0 имеем a³ < 0, b² > 0, поэтому числитель 5a³b² < 0. Знаменатель a + b < 0 как сумма двух отрицательных чисел. Частное двух отрицательных чисел положительно. Ответ: значение выражения больше нуля.
б) При a < 0 имеем a³ < 0, b² > 0, поэтому числитель 5a³b² < 0. Знаменатель a + b < 0 как сумма двух отрицательных чисел. Частное двух отрицательных чисел положительно. Ответ: значение выражения больше нуля.