Глава III. §9. п.26 Решение дробных рациональных уравнений — с. 149
634. Решите уравнение: а) (3x + 1)/(x + 2) − (x − 1)/(x − 2) = 1; б) (2y − 2)/(y + 3) + (y + 3)/(y − 3) = 5; в) 4/(9y² − 1) − 4/(3y + 1) = 5/(1 − 3y); г) 4/(x + 3) − 5/(3 − x) = 1/(x − 3) − 1; д) 3/x + 4/(x − 1) = (5 − x)/(x² − x); е) (3y − 2)/y − 1/(y − 2) = (3y + 4)/(y² − 2y).
а) ОДЗ: x ≠ −2, x ≠ 2. Умножаем на (x + 2)(x − 2): (3x + 1)(x − 2) − (x − 1)(x + 2) = x² − 4. Левая часть: 3x² − 5x − 2 − x² − x + 2 = 2x² − 6x. Получаем 2x² − 6x = x² − 4, то есть x² − 6x + 4 = 0, D = 36 − 16 = 20, x = (6 ± 2√5)/2 = 3 ± √5. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: 3 − √5; 3 + √5.
б) ОДЗ: y ≠ ±3. Умножаем на (y + 3)(y − 3): (2y − 2)(y − 3) + (y + 3)² = 5(y² − 9). Раскрываем: 2y² − 8y + 6 + y² + 6y + 9 = 5y² − 45, откуда 3y² − 2y + 15 = 5y² − 45, 2y² + 2y − 60 = 0, y² + y − 30 = 0. По теореме Виета y = 5 или y = −6. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: −6; 5.
в) 9y² − 1 = (3y − 1)(3y + 1), 1 − 3y = −(3y − 1). ОДЗ: y ≠ ±1/3. Умножаем на (3y − 1)(3y + 1): 4 − 4(3y − 1) = −5(3y + 1), то есть 8 − 12y = −15y − 5, 3y = −13, y = −13/3 = −4 1/3. Корень входит в ОДЗ. Ответ: −4 1/3.
г) Так как 3 − x = −(x − 3), уравнение примет вид 4/(x + 3) + 5/(x − 3) = 1/(x − 3) − 1. ОДЗ: x ≠ ±3. Умножаем на (x + 3)(x − 3): 4(x − 3) + 5(x + 3) = (x + 3) − (x² − 9), то есть 9x + 3 = −x² + x + 12, x² + 8x − 9 = 0, x = 1 или x = −9. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: −9; 1.
д) x² − x = x(x − 1). ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ 1. Умножаем на x(x − 1): 3(x − 1) + 4x = 5 − x, 7x − 3 = 5 − x, 8x = 8, x = 1. Но x = 1 не входит в ОДЗ, посторонний корень. Ответ: корней нет.
е) y² − 2y = y(y − 2). ОДЗ: y ≠ 0, y ≠ 2. Умножаем на y(y − 2): (3y − 2)(y − 2) − y = 3y + 4, то есть 3y² − 8y + 4 − y = 3y + 4, 3y² − 12y = 0, 3y(y − 4) = 0, y = 0 или y = 4. Число 0 не входит в ОДЗ. Ответ: 4.
б) ОДЗ: y ≠ ±3. Умножаем на (y + 3)(y − 3): (2y − 2)(y − 3) + (y + 3)² = 5(y² − 9). Раскрываем: 2y² − 8y + 6 + y² + 6y + 9 = 5y² − 45, откуда 3y² − 2y + 15 = 5y² − 45, 2y² + 2y − 60 = 0, y² + y − 30 = 0. По теореме Виета y = 5 или y = −6. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: −6; 5.
в) 9y² − 1 = (3y − 1)(3y + 1), 1 − 3y = −(3y − 1). ОДЗ: y ≠ ±1/3. Умножаем на (3y − 1)(3y + 1): 4 − 4(3y − 1) = −5(3y + 1), то есть 8 − 12y = −15y − 5, 3y = −13, y = −13/3 = −4 1/3. Корень входит в ОДЗ. Ответ: −4 1/3.
г) Так как 3 − x = −(x − 3), уравнение примет вид 4/(x + 3) + 5/(x − 3) = 1/(x − 3) − 1. ОДЗ: x ≠ ±3. Умножаем на (x + 3)(x − 3): 4(x − 3) + 5(x + 3) = (x + 3) − (x² − 9), то есть 9x + 3 = −x² + x + 12, x² + 8x − 9 = 0, x = 1 или x = −9. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: −9; 1.
д) x² − x = x(x − 1). ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ 1. Умножаем на x(x − 1): 3(x − 1) + 4x = 5 − x, 7x − 3 = 5 − x, 8x = 8, x = 1. Но x = 1 не входит в ОДЗ, посторонний корень. Ответ: корней нет.
е) y² − 2y = y(y − 2). ОДЗ: y ≠ 0, y ≠ 2. Умножаем на y(y − 2): (3y − 2)(y − 2) − y = 3y + 4, то есть 3y² − 8y + 4 − y = 3y + 4, 3y² − 12y = 0, 3y(y − 4) = 0, y = 0 или y = 4. Число 0 не входит в ОДЗ. Ответ: 4.
635. При каком значении x: а) значение функции y = (2x − 1)/(x + 6) равно 5; −3; 0; 2; б) значение функции y = (x² + x − 2)/(x + 3) равно −10; 0; −5?
а) Область определения: x ≠ −6.
y = 5: (2x − 1)/(x + 6) = 5, 2x − 1 = 5x + 30, 3x = −31, x = −31/3 = −10 1/3.
y = −3: 2x − 1 = −3x − 18, 5x = −17, x = −3,4.
y = 0: 2x − 1 = 0, x = 0,5.
y = 2: 2x − 1 = 2x + 12, −1 = 12 — неверно, значит, значение 2 функция не принимает ни при каком x.
б) Область определения: x ≠ −3.
y = −10: x² + x − 2 = −10(x + 3), x² + 11x + 28 = 0, x = −4 или x = −7.
y = 0: x² + x − 2 = 0, x = 1 или x = −2.
y = −5: x² + x − 2 = −5x − 15, x² + 6x + 13 = 0, D = 36 − 52 < 0, корней нет, то есть значение −5 функция не принимает.
Ответ: а) y = 5 при x = −10 1/3; y = −3 при x = −3,4; y = 0 при x = 0,5; y = 2 не бывает; б) y = −10 при x = −7 и x = −4; y = 0 при x = −2 и x = 1; y = −5 не бывает.
y = 5: (2x − 1)/(x + 6) = 5, 2x − 1 = 5x + 30, 3x = −31, x = −31/3 = −10 1/3.
y = −3: 2x − 1 = −3x − 18, 5x = −17, x = −3,4.
y = 0: 2x − 1 = 0, x = 0,5.
y = 2: 2x − 1 = 2x + 12, −1 = 12 — неверно, значит, значение 2 функция не принимает ни при каком x.
б) Область определения: x ≠ −3.
y = −10: x² + x − 2 = −10(x + 3), x² + 11x + 28 = 0, x = −4 или x = −7.
y = 0: x² + x − 2 = 0, x = 1 или x = −2.
y = −5: x² + x − 2 = −5x − 15, x² + 6x + 13 = 0, D = 36 − 52 < 0, корней нет, то есть значение −5 функция не принимает.
Ответ: а) y = 5 при x = −10 1/3; y = −3 при x = −3,4; y = 0 при x = 0,5; y = 2 не бывает; б) y = −10 при x = −7 и x = −4; y = 0 при x = −2 и x = 1; y = −5 не бывает.
636. Найдите корни уравнения: а) (x − 4)/(x − 5) + (x − 6)/(x + 5) = 2; б) 1/(2 − x) − 1 = 1/(x − 2) − (6 − x)/(3x² − 12); в) (7y − 3)/(y − y²) = 1/(y − 1) − 5/(y(y − 1)); г) 3/(y − 2) + 7/(y + 2) = 10/y; д) (x + 3)/(x − 3) + (x − 3)/(x + 3) = 3 1/3; е) (5x + 7)/(x − 2) − (2x + 21)/(x + 2) = 8 2/3.
а) ОДЗ: x ≠ ±5. Умножаем на (x − 5)(x + 5): (x − 4)(x + 5) + (x − 6)(x − 5) = 2(x² − 25). Левая часть: x² + x − 20 + x² − 11x + 30 = 2x² − 10x + 10. Тогда 2x² − 10x + 10 = 2x² − 50, −10x = −60, x = 6. Входит в ОДЗ. Ответ: 6.
б) 3x² − 12 = 3(x − 2)(x + 2); 1/(2 − x) = −1/(x − 2). ОДЗ: x ≠ ±2. Уравнение: −1/(x − 2) − 1 = 1/(x − 2) − (6 − x)/(3(x − 2)(x + 2)). Умножаем на 3(x − 2)(x + 2): −3(x + 2) − 3(x² − 4) = 3(x + 2) − (6 − x). Получаем −3x² − 3x + 6 = 4x, 3x² + 7x − 6 = 0, D = 49 + 72 = 121, x = (−7 ± 11)/6, x = 2/3 или x = −3. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: −3; 2/3.
в) y − y² = −y(y − 1). ОДЗ: y ≠ 0, y ≠ 1. Уравнение: −(7y − 3)/(y(y − 1)) = 1/(y − 1) − 5/(y(y − 1)). Умножаем на y(y − 1): −(7y − 3) = y − 5, −7y + 3 = y − 5, 8y = 8, y = 1. Но y = 1 не входит в ОДЗ. Ответ: корней нет.
г) ОДЗ: y ≠ 0, y ≠ ±2. Умножаем на y(y − 2)(y + 2): 3y(y + 2) + 7y(y − 2) = 10(y² − 4), то есть 10y² − 8y = 10y² − 40, −8y = −40, y = 5. Входит в ОДЗ. Ответ: 5.
д) 3 1/3 = 10/3. ОДЗ: x ≠ ±3. Левая часть: ((x + 3)² + (x − 3)²)/(x² − 9) = (2x² + 18)/(x² − 9). Тогда (2x² + 18)/(x² − 9) = 10/3, 6x² + 54 = 10x² − 90, 4x² = 144, x² = 36, x = ±6. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: −6; 6.
е) 8 2/3 = 26/3. ОДЗ: x ≠ ±2. Умножаем на 3(x − 2)(x + 2): 3((5x + 7)(x + 2) − (2x + 21)(x − 2)) = 26(x² − 4). Скобка: 5x² + 17x + 14 − 2x² − 17x + 42 = 3x² + 56. Тогда 9x² + 168 = 26x² − 104, 17x² = 272, x² = 16, x = ±4. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: −4; 4.
б) 3x² − 12 = 3(x − 2)(x + 2); 1/(2 − x) = −1/(x − 2). ОДЗ: x ≠ ±2. Уравнение: −1/(x − 2) − 1 = 1/(x − 2) − (6 − x)/(3(x − 2)(x + 2)). Умножаем на 3(x − 2)(x + 2): −3(x + 2) − 3(x² − 4) = 3(x + 2) − (6 − x). Получаем −3x² − 3x + 6 = 4x, 3x² + 7x − 6 = 0, D = 49 + 72 = 121, x = (−7 ± 11)/6, x = 2/3 или x = −3. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: −3; 2/3.
в) y − y² = −y(y − 1). ОДЗ: y ≠ 0, y ≠ 1. Уравнение: −(7y − 3)/(y(y − 1)) = 1/(y − 1) − 5/(y(y − 1)). Умножаем на y(y − 1): −(7y − 3) = y − 5, −7y + 3 = y − 5, 8y = 8, y = 1. Но y = 1 не входит в ОДЗ. Ответ: корней нет.
г) ОДЗ: y ≠ 0, y ≠ ±2. Умножаем на y(y − 2)(y + 2): 3y(y + 2) + 7y(y − 2) = 10(y² − 4), то есть 10y² − 8y = 10y² − 40, −8y = −40, y = 5. Входит в ОДЗ. Ответ: 5.
д) 3 1/3 = 10/3. ОДЗ: x ≠ ±3. Левая часть: ((x + 3)² + (x − 3)²)/(x² − 9) = (2x² + 18)/(x² − 9). Тогда (2x² + 18)/(x² − 9) = 10/3, 6x² + 54 = 10x² − 90, 4x² = 144, x² = 36, x = ±6. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: −6; 6.
е) 8 2/3 = 26/3. ОДЗ: x ≠ ±2. Умножаем на 3(x − 2)(x + 2): 3((5x + 7)(x + 2) − (2x + 21)(x − 2)) = 26(x² − 4). Скобка: 5x² + 17x + 14 − 2x² − 17x + 42 = 3x² + 56. Тогда 9x² + 168 = 26x² − 104, 17x² = 272, x² = 16, x = ±4. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: −4; 4.
637. Найдите значение переменной y, при котором: а) сумма дробей (3y + 9)/(3y − 1) и (2y − 13)/(2y + 5) равна 2; б) разность дробей (5y + 13)/(5y + 4) и (4 − 6y)/(3y − 1) равна 3; в) сумма дробей (y + 1)/(y − 5) и 10/(y + 5) равна их произведению; г) разность дробей 6/(y − 4) и y/(y + 2) равна их произведению.
а) (3y + 9)/(3y − 1) + (2y − 13)/(2y + 5) = 2; ОДЗ: y ≠ 1/3, y ≠ −2,5. Умножаем на (3y − 1)(2y + 5): (3y + 9)(2y + 5) + (2y − 13)(3y − 1) = 2(3y − 1)(2y + 5). Левая часть: 6y² + 33y + 45 + 6y² − 41y + 13 = 12y² − 8y + 58; правая: 12y² + 26y − 10. Тогда −8y + 58 = 26y − 10, 34y = 68, y = 2. Ответ: 2.
б) (5y + 13)/(5y + 4) − (4 − 6y)/(3y − 1) = 3; ОДЗ: y ≠ −0,8, y ≠ 1/3. Умножаем на (5y + 4)(3y − 1): (5y + 13)(3y − 1) − (4 − 6y)(5y + 4) = 3(5y + 4)(3y − 1). Левая часть: 15y² + 34y − 13 + 30y² + 4y − 16 = 45y² + 38y − 29; правая: 45y² + 21y − 12. Тогда 17y = 17, y = 1. Ответ: 1.
в) (y + 1)/(y − 5) + 10/(y + 5) = (y + 1)/(y − 5) · 10/(y + 5); ОДЗ: y ≠ ±5. Умножаем на (y − 5)(y + 5): (y + 1)(y + 5) + 10(y − 5) = 10(y + 1), то есть y² + 16y − 45 = 10y + 10, y² + 6y − 55 = 0, D = 36 + 220 = 256, y = (−6 ± 16)/2, y = 5 или y = −11. Число 5 не входит в ОДЗ. Ответ: −11.
г) 6/(y − 4) − y/(y + 2) = 6/(y − 4) · y/(y + 2); ОДЗ: y ≠ 4, y ≠ −2. Умножаем на (y − 4)(y + 2): 6(y + 2) − y(y − 4) = 6y, то есть −y² + 10y + 12 = 6y, y² − 4y − 12 = 0, y = 6 или y = −2. Число −2 не входит в ОДЗ. Ответ: 6.
б) (5y + 13)/(5y + 4) − (4 − 6y)/(3y − 1) = 3; ОДЗ: y ≠ −0,8, y ≠ 1/3. Умножаем на (5y + 4)(3y − 1): (5y + 13)(3y − 1) − (4 − 6y)(5y + 4) = 3(5y + 4)(3y − 1). Левая часть: 15y² + 34y − 13 + 30y² + 4y − 16 = 45y² + 38y − 29; правая: 45y² + 21y − 12. Тогда 17y = 17, y = 1. Ответ: 1.
в) (y + 1)/(y − 5) + 10/(y + 5) = (y + 1)/(y − 5) · 10/(y + 5); ОДЗ: y ≠ ±5. Умножаем на (y − 5)(y + 5): (y + 1)(y + 5) + 10(y − 5) = 10(y + 1), то есть y² + 16y − 45 = 10y + 10, y² + 6y − 55 = 0, D = 36 + 220 = 256, y = (−6 ± 16)/2, y = 5 или y = −11. Число 5 не входит в ОДЗ. Ответ: −11.
г) 6/(y − 4) − y/(y + 2) = 6/(y − 4) · y/(y + 2); ОДЗ: y ≠ 4, y ≠ −2. Умножаем на (y − 4)(y + 2): 6(y + 2) − y(y − 4) = 6y, то есть −y² + 10y + 12 = 6y, y² − 4y − 12 = 0, y = 6 или y = −2. Число −2 не входит в ОДЗ. Ответ: 6.
638. Решите уравнение: а) 5/(y − 2) − 4/(y − 3) = 1/y; б) 1/(2(x + 1)) + 1/(x + 2) = 3/(x + 3); в) 1/(x + 2) + 1/(x² − 2x) = 8/(x³ − 4x); г) 10/(y³ − y) + 1/(y − y²) = 1/(1 + y); д) 1 + 45/(x² − 8x + 16) = 14/(x − 4); е) 5/(x − 1) − 4/(3 − 6x + 3x²) = 3.
а) ОДЗ: y ≠ 0, 2, 3. Умножаем на y(y − 2)(y − 3): 5y(y − 3) − 4y(y − 2) = (y − 2)(y − 3), то есть y² − 7y = y² − 5y + 6, −2y = 6, y = −3. Ответ: −3.
б) ОДЗ: x ≠ −1, −2, −3. Умножаем на 2(x + 1)(x + 2)(x + 3): (x + 2)(x + 3) + 2(x + 1)(x + 3) = 6(x + 1)(x + 2), то есть 3x² + 13x + 12 = 6x² + 18x + 12, 3x² + 5x = 0, x(3x + 5) = 0, x = 0 или x = −5/3. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: −1 2/3; 0.
в) x² − 2x = x(x − 2), x³ − 4x = x(x − 2)(x + 2). ОДЗ: x ≠ 0, ±2. Умножаем на x(x − 2)(x + 2): x(x − 2) + (x + 2) = 8, x² − x − 6 = 0, x = 3 или x = −2. Число −2 не входит в ОДЗ. Ответ: 3.
г) y³ − y = y(y − 1)(y + 1), y − y² = −y(y − 1). ОДЗ: y ≠ 0, ±1. Уравнение: 10/(y(y − 1)(y + 1)) − 1/(y(y − 1)) = 1/(y + 1). Умножаем на y(y − 1)(y + 1): 10 − (y + 1) = y(y − 1), 9 − y = y² − y, y² = 9, y = ±3. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: −3; 3.
д) x² − 8x + 16 = (x − 4)². ОДЗ: x ≠ 4. Умножаем на (x − 4)²: (x − 4)² + 45 = 14(x − 4). Пусть t = x − 4: t² − 14t + 45 = 0, t = 5 или t = 9, то есть x = 9 или x = 13. Ответ: 9; 13.
е) 3 − 6x + 3x² = 3(x − 1)². ОДЗ: x ≠ 1. Умножаем на 3(x − 1)²: 15(x − 1) − 4 = 9(x − 1)², то есть 15x − 19 = 9x² − 18x + 9, 9x² − 33x + 28 = 0, D = 1089 − 1008 = 81, x = (33 ± 9)/18, x = 7/3 или x = 4/3. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: 1 1/3; 2 1/3.
б) ОДЗ: x ≠ −1, −2, −3. Умножаем на 2(x + 1)(x + 2)(x + 3): (x + 2)(x + 3) + 2(x + 1)(x + 3) = 6(x + 1)(x + 2), то есть 3x² + 13x + 12 = 6x² + 18x + 12, 3x² + 5x = 0, x(3x + 5) = 0, x = 0 или x = −5/3. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: −1 2/3; 0.
в) x² − 2x = x(x − 2), x³ − 4x = x(x − 2)(x + 2). ОДЗ: x ≠ 0, ±2. Умножаем на x(x − 2)(x + 2): x(x − 2) + (x + 2) = 8, x² − x − 6 = 0, x = 3 или x = −2. Число −2 не входит в ОДЗ. Ответ: 3.
г) y³ − y = y(y − 1)(y + 1), y − y² = −y(y − 1). ОДЗ: y ≠ 0, ±1. Уравнение: 10/(y(y − 1)(y + 1)) − 1/(y(y − 1)) = 1/(y + 1). Умножаем на y(y − 1)(y + 1): 10 − (y + 1) = y(y − 1), 9 − y = y² − y, y² = 9, y = ±3. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: −3; 3.
д) x² − 8x + 16 = (x − 4)². ОДЗ: x ≠ 4. Умножаем на (x − 4)²: (x − 4)² + 45 = 14(x − 4). Пусть t = x − 4: t² − 14t + 45 = 0, t = 5 или t = 9, то есть x = 9 или x = 13. Ответ: 9; 13.
е) 3 − 6x + 3x² = 3(x − 1)². ОДЗ: x ≠ 1. Умножаем на 3(x − 1)²: 15(x − 1) − 4 = 9(x − 1)², то есть 15x − 19 = 9x² − 18x + 9, 9x² − 33x + 28 = 0, D = 1089 − 1008 = 81, x = (33 ± 9)/18, x = 7/3 или x = 4/3. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: 1 1/3; 2 1/3.