Глава III. §8. п.25 Разложение квадратного трёхчлена на множители — с. 145
626. Найдите значение дроби: а) (36 − x²)/(6 − 7x + x²) при x = −9; −99; −999; б) (4x² + 8x − 32)/(4x² − 16) при x = −1; 5; 10.
Сначала сократим дроби.
а) 36 − x² = (6 − x)(6 + x) = −(x − 6)(x + 6); 6 − 7x + x² = x² − 7x + 6 = (x − 1)(x − 6). Дробь равна −(x + 6)/(x − 1).
При x = −9: −(−3)/(−10) = −0,3. При x = −99: −(−93)/(−100) = −0,93. При x = −999: −(−993)/(−1000) = −0,993.
б) 4x² + 8x − 32 = 4(x² + 2x − 8) = 4(x − 2)(x + 4); 4x² − 16 = 4(x − 2)(x + 2). Дробь равна (x + 4)/(x + 2).
При x = −1: 3/1 = 3. При x = 5: 9/7 = 1 2/7. При x = 10: 14/12 = 7/6 = 1 1/6.
Ответ: а) −0,3; −0,93; −0,993; б) 3; 1 2/7; 1 1/6.
а) 36 − x² = (6 − x)(6 + x) = −(x − 6)(x + 6); 6 − 7x + x² = x² − 7x + 6 = (x − 1)(x − 6). Дробь равна −(x + 6)/(x − 1).
При x = −9: −(−3)/(−10) = −0,3. При x = −99: −(−93)/(−100) = −0,93. При x = −999: −(−993)/(−1000) = −0,993.
б) 4x² + 8x − 32 = 4(x² + 2x − 8) = 4(x − 2)(x + 4); 4x² − 16 = 4(x − 2)(x + 2). Дробь равна (x + 4)/(x + 2).
При x = −1: 3/1 = 3. При x = 5: 9/7 = 1 2/7. При x = 10: 14/12 = 7/6 = 1 1/6.
Ответ: а) −0,3; −0,93; −0,993; б) 3; 1 2/7; 1 1/6.
627. Чем различаются графики функций y = x − 4 и y = (x² − 6x + 8)/(x − 2)?
Разложим числитель: x² − 6x + 8 = (x − 2)(x − 4). Тогда при x ≠ 2 вторая функция равна (x − 2)(x − 4)/(x − 2) = x − 4.
Таким образом, графики совпадают во всех точках, кроме x = 2: график первой функции — вся прямая y = x − 4, а график второй функции — та же прямая, но без точки с абсциссой 2, то есть без точки (2; −2), так как при x = 2 знаменатель равен нулю и функция не определена.
Ответ: вторая прямая «выколота» в точке (2; −2).
Таким образом, графики совпадают во всех точках, кроме x = 2: график первой функции — вся прямая y = x − 4, а график второй функции — та же прямая, но без точки с абсциссой 2, то есть без точки (2; −2), так как при x = 2 знаменатель равен нулю и функция не определена.
Ответ: вторая прямая «выколота» в точке (2; −2).
628. Решите уравнение: а) (x² − 1)/2 − 11x = 11; б) (x² + x)/2 = (8x − 7)/3; в) x − 3 = (1 − x²)/3; г) (2 − x²)/7 = x/2.
а) Умножим на 2: x² − 1 − 22x = 22; x² − 22x − 23 = 0. D/4 = 121 + 23 = 144, x = 11 ± 12, x₁ = 23, x₂ = −1.
б) Умножим на 6: 3(x² + x) = 2(8x − 7); 3x² + 3x − 16x + 14 = 0; 3x² − 13x + 14 = 0. D = 169 − 168 = 1, x = (13 ± 1)/6, x₁ = 7/3 = 2 1/3, x₂ = 2.
в) Умножим на 3: 3x − 9 = 1 − x²; x² + 3x − 10 = 0. По теореме Виета x₁ = 2, x₂ = −5.
г) Умножим на 14: 2(2 − x²) = 7x; 4 − 2x² − 7x = 0; 2x² + 7x − 4 = 0. D = 49 + 32 = 81, x = (−7 ± 9)/4, x₁ = 1/2, x₂ = −4.
Ответ: а) −1; 23; б) 2; 2 1/3; в) −5; 2; г) −4; 0,5.
б) Умножим на 6: 3(x² + x) = 2(8x − 7); 3x² + 3x − 16x + 14 = 0; 3x² − 13x + 14 = 0. D = 169 − 168 = 1, x = (13 ± 1)/6, x₁ = 7/3 = 2 1/3, x₂ = 2.
в) Умножим на 3: 3x − 9 = 1 − x²; x² + 3x − 10 = 0. По теореме Виета x₁ = 2, x₂ = −5.
г) Умножим на 14: 2(2 − x²) = 7x; 4 − 2x² − 7x = 0; 2x² + 7x − 4 = 0. D = 49 + 32 = 81, x = (−7 ± 9)/4, x₁ = 1/2, x₂ = −4.
Ответ: а) −1; 23; б) 2; 2 1/3; в) −5; 2; г) −4; 0,5.
629. Разложите на множители многочлен: а) 4x² − 6x + 2xy − 3y; б) 4a³ + 2b³ − 2a²b − 4ab².
Применим способ группировки.
а) 4x² − 6x + 2xy − 3y = 2x(2x − 3) + y(2x − 3) = (2x − 3)(2x + y).
б) 4a³ + 2b³ − 2a²b − 4ab² = (4a³ − 2a²b) − (4ab² − 2b³) = 2a²(2a − b) − 2b²(2a − b) = 2(2a − b)(a² − b²) = 2(2a − b)(a − b)(a + b).
а) 4x² − 6x + 2xy − 3y = 2x(2x − 3) + y(2x − 3) = (2x − 3)(2x + y).
б) 4a³ + 2b³ − 2a²b − 4ab² = (4a³ − 2a²b) − (4ab² − 2b³) = 2a²(2a − b) − 2b²(2a − b) = 2(2a − b)(a² − b²) = 2(2a − b)(a − b)(a + b).
630. В какой координатной четверти расположена точка пересечения графиков функций f(x) = 0,8x + 2,1 и g(x) = −0,9x + 3?
В точке пересечения f(x) = g(x): 0,8x + 2,1 = −0,9x + 3; 1,7x = 0,9; x = 9/17 > 0.
Тогда y = 0,8 · 9/17 + 2,1 = 7,2/17 + 2,1 > 0.
Обе координаты положительны, значит, точка расположена в первой координатной четверти.
Ответ: в первой.
Тогда y = 0,8 · 9/17 + 2,1 = 7,2/17 + 2,1 > 0.
Обе координаты положительны, значит, точка расположена в первой координатной четверти.
Ответ: в первой.
Вопрос 1. Дайте определение квадратного трёхчлена. Сколько корней может иметь квадратный трёхчлен?
Квадратным трёхчленом называется многочлен вида ax² + bx + c, где x — переменная, a, b и c — некоторые числа, причём a ≠ 0.
Корни трёхчлена — корни уравнения ax² + bx + c = 0. Если D = b² − 4ac > 0, то трёхчлен имеет два корня; если D = 0, то один корень (два равных); если D < 0, то корней нет. Значит, квадратный трёхчлен может иметь два корня, один корень или не иметь корней.
Корни трёхчлена — корни уравнения ax² + bx + c = 0. Если D = b² − 4ac > 0, то трёхчлен имеет два корня; если D = 0, то один корень (два равных); если D < 0, то корней нет. Значит, квадратный трёхчлен может иметь два корня, один корень или не иметь корней.
Вопрос 2. Покажите на примере выражения 3x² − 12x + 32, как можно выделить квадрат двучлена из квадратного трёхчлена.
Вынесем за скобки старший коэффициент: 3x² − 12x + 32 = 3(x² − 4x + 32/3).
Представим 4x как 2·2·x и прибавим и вычтем 2² = 4: x² − 4x + 32/3 = x² − 2·2·x + 4 − 4 + 32/3 = (x − 2)² + 20/3.
Следовательно, 3x² − 12x + 32 = 3((x − 2)² + 20/3) = 3(x − 2)² + 20.
Проверка: 3(x² − 4x + 4) + 20 = 3x² − 12x + 32.
Представим 4x как 2·2·x и прибавим и вычтем 2² = 4: x² − 4x + 32/3 = x² − 2·2·x + 4 − 4 + 32/3 = (x − 2)² + 20/3.
Следовательно, 3x² − 12x + 32 = 3((x − 2)² + 20/3) = 3(x − 2)² + 20.
Проверка: 3(x² − 4x + 4) + 20 = 3x² − 12x + 32.
Вопрос 3. Сформулируйте и докажите теорему о разложении на множители квадратного трёхчлена, имеющего корни.
Теорема: если x₁ и x₂ — корни квадратного трёхчлена ax² + bx + c, то ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).
Доказательство. Вынесем за скобки a: ax² + bx + c = a(x² + (b/a)x + c/a). Числа x₁ и x₂ — корни уравнения ax² + bx + c = 0, поэтому по теореме Виета x₁ + x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a, откуда b/a = −(x₁ + x₂), c/a = x₁x₂. Тогда
x² + (b/a)x + c/a = x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = x² − x₁x − x₂x + x₁x₂ = x(x − x₁) − x₂(x − x₁) = (x − x₁)(x − x₂).
Следовательно, ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Что и требовалось доказать.
(Если D = 0, считаем, что трёхчлен имеет два равных корня x₁ = x₂.)
Доказательство. Вынесем за скобки a: ax² + bx + c = a(x² + (b/a)x + c/a). Числа x₁ и x₂ — корни уравнения ax² + bx + c = 0, поэтому по теореме Виета x₁ + x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a, откуда b/a = −(x₁ + x₂), c/a = x₁x₂. Тогда
x² + (b/a)x + c/a = x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = x² − x₁x − x₂x + x₁x₂ = x(x − x₁) − x₂(x − x₁) = (x − x₁)(x − x₂).
Следовательно, ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Что и требовалось доказать.
(Если D = 0, считаем, что трёхчлен имеет два равных корня x₁ = x₂.)