Глава III. §8. п.25 Разложение квадратного трёхчлена на множители — с. 144
617. Разложите на множители квадратный трёхчлен: а) 3x² − 24x + 21; б) 5z² + 10z − 15; в) (1/6)x² + (1/2)x + 1/3; г) x² − 12x + 20; д) −y² + 16y − 15; е) −t² − 8t + 9; ж) 2x² − 5x + 3; з) 5y² + 2y − 3; и) −2n² + 5n + 7.
Находим корни x₁, x₂ и применяем формулу ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).
а) 3x² − 24x + 21 = 3(x² − 8x + 7); корни 1 и 7; получаем 3(x − 1)(x − 7).
б) 5z² + 10z − 15 = 5(z² + 2z − 3); корни 1 и −3; получаем 5(z − 1)(z + 3).
в) (1/6)x² + (1/2)x + 1/3 = (1/6)(x² + 3x + 2); корни −1 и −2; получаем (1/6)(x + 1)(x + 2).
г) x² − 12x + 20: D/4 = 36 − 20 = 16, x = 6 ± 4, корни 10 и 2; получаем (x − 2)(x − 10).
д) −y² + 16y − 15 = −(y² − 16y + 15); корни 1 и 15; получаем −(y − 1)(y − 15).
е) −t² − 8t + 9 = −(t² + 8t − 9); корни 1 и −9; получаем −(t − 1)(t + 9).
ж) 2x² − 5x + 3: D = 25 − 24 = 1, x = (5 ± 1)/4, корни 3/2 и 1; получаем 2(x − 3/2)(x − 1) = (2x − 3)(x − 1).
з) 5y² + 2y − 3: D = 4 + 60 = 64, y = (−2 ± 8)/10, корни 3/5 и −1; получаем 5(y − 3/5)(y + 1) = (5y − 3)(y + 1).
и) −2n² + 5n + 7: D = 25 + 56 = 81, n = (−5 ± 9)/(−4), корни −1 и 7/2; получаем −2(n + 1)(n − 7/2) = (n + 1)(7 − 2n).
а) 3x² − 24x + 21 = 3(x² − 8x + 7); корни 1 и 7; получаем 3(x − 1)(x − 7).
б) 5z² + 10z − 15 = 5(z² + 2z − 3); корни 1 и −3; получаем 5(z − 1)(z + 3).
в) (1/6)x² + (1/2)x + 1/3 = (1/6)(x² + 3x + 2); корни −1 и −2; получаем (1/6)(x + 1)(x + 2).
г) x² − 12x + 20: D/4 = 36 − 20 = 16, x = 6 ± 4, корни 10 и 2; получаем (x − 2)(x − 10).
д) −y² + 16y − 15 = −(y² − 16y + 15); корни 1 и 15; получаем −(y − 1)(y − 15).
е) −t² − 8t + 9 = −(t² + 8t − 9); корни 1 и −9; получаем −(t − 1)(t + 9).
ж) 2x² − 5x + 3: D = 25 − 24 = 1, x = (5 ± 1)/4, корни 3/2 и 1; получаем 2(x − 3/2)(x − 1) = (2x − 3)(x − 1).
з) 5y² + 2y − 3: D = 4 + 60 = 64, y = (−2 ± 8)/10, корни 3/5 и −1; получаем 5(y − 3/5)(y + 1) = (5y − 3)(y + 1).
и) −2n² + 5n + 7: D = 25 + 56 = 81, n = (−5 ± 9)/(−4), корни −1 и 7/2; получаем −2(n + 1)(n − 7/2) = (n + 1)(7 − 2n).
618. Разложите на множители квадратный трёхчлен: а) 2x² − 2x + 1/2; б) −9x² + 12x − 4; в) 16a² + 24a + 9; г) 0,25m² − 2m + 4.
У всех трёхчленов дискриминант равен нулю (полные квадраты).
а) 2x² − 2x + 1/2 = 2(x² − x + 1/4) = 2(x − 1/2)².
б) −9x² + 12x − 4 = −(9x² − 12x + 4) = −(3x − 2)².
в) 16a² + 24a + 9 = (4a + 3)².
г) 0,25m² − 2m + 4 = (0,5m)² − 2·0,5m·2 + 2² = (0,5m − 2)².
а) 2x² − 2x + 1/2 = 2(x² − x + 1/4) = 2(x − 1/2)².
б) −9x² + 12x − 4 = −(9x² − 12x + 4) = −(3x − 2)².
в) 16a² + 24a + 9 = (4a + 3)².
г) 0,25m² − 2m + 4 = (0,5m)² − 2·0,5m·2 + 2² = (0,5m − 2)².
619. Разложите на множители квадратный трёхчлен: а) 2x² + 12x − 14; б) −m² + 5m − 6; в) 3x² + 5x − 2; г) 6x² − 13x + 6.
а) 2x² + 12x − 14 = 2(x² + 6x − 7); корни 1 и −7; получаем 2(x − 1)(x + 7).
б) −m² + 5m − 6 = −(m² − 5m + 6); корни 2 и 3; получаем −(m − 2)(m − 3) = (2 − m)(m − 3).
в) 3x² + 5x − 2: D = 25 + 24 = 49, x = (−5 ± 7)/6, корни 1/3 и −2; получаем 3(x − 1/3)(x + 2) = (3x − 1)(x + 2).
г) 6x² − 13x + 6: D = 169 − 144 = 25, x = (13 ± 5)/12, корни 3/2 и 2/3; получаем 6(x − 2/3)(x − 3/2) = (3x − 2)(2x − 3).
б) −m² + 5m − 6 = −(m² − 5m + 6); корни 2 и 3; получаем −(m − 2)(m − 3) = (2 − m)(m − 3).
в) 3x² + 5x − 2: D = 25 + 24 = 49, x = (−5 ± 7)/6, корни 1/3 и −2; получаем 3(x − 1/3)(x + 2) = (3x − 1)(x + 2).
г) 6x² − 13x + 6: D = 169 − 144 = 25, x = (13 ± 5)/12, корни 3/2 и 2/3; получаем 6(x − 2/3)(x − 3/2) = (3x − 2)(2x − 3).
620. Докажите тождество: а) 10x² + 19x − 2 = 10(x − 0,1)(x + 2); б) 0,5(x − 6)(x − 5) = 0,5x² − 5,5x + 15.
а) Найдём корни трёхчлена 10x² + 19x − 2: D = 361 + 80 = 441 = 21², x = (−19 ± 21)/20, x₁ = 0,1, x₂ = −2. По теореме о разложении 10x² + 19x − 2 = 10(x − 0,1)(x + 2). Проверка раскрытием скобок: 10(x² + 2x − 0,1x − 0,2) = 10x² + 19x − 2. Тождество верно.
б) Преобразуем левую часть: 0,5(x − 6)(x − 5) = 0,5(x² − 11x + 30) = 0,5x² − 5,5x + 15, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.
б) Преобразуем левую часть: 0,5(x − 6)(x − 5) = 0,5(x² − 11x + 30) = 0,5x² − 5,5x + 15, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.
621. Можно ли представить квадратный трёхчлен в виде произведения многочленов первой степени: а) −3y² + 3y + 11; б) 4b² − 9b + 7; в) x² − 7x + 11; г) 3y² − 12y + 12?
Это возможно тогда и только тогда, когда трёхчлен имеет корни, то есть D ≥ 0.
а) D = 9 + 132 = 141 > 0, можно.
б) D = 81 − 112 = −31 < 0, нельзя.
в) D = 49 − 44 = 5 > 0, можно.
г) D = 144 − 144 = 0, можно: 3y² − 12y + 12 = 3(y − 2)².
Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да.
а) D = 9 + 132 = 141 > 0, можно.
б) D = 81 − 112 = −31 < 0, нельзя.
в) D = 49 − 44 = 5 > 0, можно.
г) D = 144 − 144 = 0, можно: 3y² − 12y + 12 = 3(y − 2)².
Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да.
622. Можно ли разложить на множители квадратный трёхчлен, коэффициенты которого равные, отличные от нуля числа?
Пусть a = b = c = k, k ≠ 0. Трёхчлен kx² + kx + k = k(x² + x + 1). Его дискриминант D = 1 − 4 = −3 < 0, значит, корней нет, и разложить его на множители первой степени нельзя.
Ответ: нельзя.
Ответ: нельзя.
623. Покажите, что существует квадратный трёхчлен, имеющий корни, коэффициенты которого — натуральные числа вида n, 2n, 3n (расположенные в произвольном порядке). Разложите этот трёхчлен на множители.
Рассмотрим возможные значения второго коэффициента b.
Если b = n, то D = n² − 4·2n·3n = −23n² < 0. Если b = 2n, то D = 4n² − 4·n·3n = −8n² < 0. Если b = 3n, то D = 9n² − 4·n·2n = n² > 0.
Значит, корни есть, когда b = 3n, а a и c равны n и 2n в любом порядке. Например, при n = 1 возьмём трёхчлен x² + 3x + 2: D = 9 − 8 = 1, корни x = (−3 ± 1)/2, то есть −1 и −2. Разложение: x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2).
Другой пример: 2x² + 3x + 1 = 2(x + 1/2)(x + 1) = (2x + 1)(x + 1).
Если b = n, то D = n² − 4·2n·3n = −23n² < 0. Если b = 2n, то D = 4n² − 4·n·3n = −8n² < 0. Если b = 3n, то D = 9n² − 4·n·2n = n² > 0.
Значит, корни есть, когда b = 3n, а a и c равны n и 2n в любом порядке. Например, при n = 1 возьмём трёхчлен x² + 3x + 2: D = 9 − 8 = 1, корни x = (−3 ± 1)/2, то есть −1 и −2. Разложение: x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2).
Другой пример: 2x² + 3x + 1 = 2(x + 1/2)(x + 1) = (2x + 1)(x + 1).
624. Сократите дробь: а) (4x + 4)/(3x² + 2x − 1); б) (2a² − 5a − 3)/(3a − 9); в) (16 − b²)/(b² − b − 12); г) (2y² + 7y + 3)/(y² − 9); д) (p² − 11p + 10)/(20 + 8p − p²); е) (3x² + 16x − 12)/(10 − 13x − 3x²).
Раскладываем трёхчлены на множители через корни и сокращаем.
а) 3x² + 2x − 1: D = 4 + 12 = 16, корни (−2 ± 4)/6 = 1/3 и −1, значит, 3x² + 2x − 1 = (3x − 1)(x + 1). Дробь: 4(x + 1)/((3x − 1)(x + 1)) = 4/(3x − 1).
б) 2a² − 5a − 3: D = 25 + 24 = 49, корни (5 ± 7)/4 = 3 и −1/2, значит, 2a² − 5a − 3 = (a − 3)(2a + 1). Знаменатель 3(a − 3). Дробь: (2a + 1)/3.
в) 16 − b² = −(b − 4)(b + 4); b² − b − 12 = (b − 4)(b + 3) (корни 4 и −3). Дробь: −(b + 4)/(b + 3).
г) 2y² + 7y + 3: D = 49 − 24 = 25, корни (−7 ± 5)/4 = −1/2 и −3, значит, 2y² + 7y + 3 = (2y + 1)(y + 3); y² − 9 = (y − 3)(y + 3). Дробь: (2y + 1)/(y − 3).
д) p² − 11p + 10 = (p − 1)(p − 10); 20 + 8p − p² = −(p² − 8p − 20) = −(p − 10)(p + 2) (корни 10 и −2). Дробь: −(p − 1)/(p + 2) = (1 − p)/(p + 2).
е) 3x² + 16x − 12: D = 256 + 144 = 400, корни (−16 ± 20)/6 = 2/3 и −6, значит, 3x² + 16x − 12 = (3x − 2)(x + 6). 10 − 13x − 3x² = −(3x² + 13x − 10); D = 169 + 120 = 289, корни (−13 ± 17)/6 = 2/3 и −5, значит, 3x² + 13x − 10 = (3x − 2)(x + 5). Дробь: −(x + 6)/(x + 5).
а) 3x² + 2x − 1: D = 4 + 12 = 16, корни (−2 ± 4)/6 = 1/3 и −1, значит, 3x² + 2x − 1 = (3x − 1)(x + 1). Дробь: 4(x + 1)/((3x − 1)(x + 1)) = 4/(3x − 1).
б) 2a² − 5a − 3: D = 25 + 24 = 49, корни (5 ± 7)/4 = 3 и −1/2, значит, 2a² − 5a − 3 = (a − 3)(2a + 1). Знаменатель 3(a − 3). Дробь: (2a + 1)/3.
в) 16 − b² = −(b − 4)(b + 4); b² − b − 12 = (b − 4)(b + 3) (корни 4 и −3). Дробь: −(b + 4)/(b + 3).
г) 2y² + 7y + 3: D = 49 − 24 = 25, корни (−7 ± 5)/4 = −1/2 и −3, значит, 2y² + 7y + 3 = (2y + 1)(y + 3); y² − 9 = (y − 3)(y + 3). Дробь: (2y + 1)/(y − 3).
д) p² − 11p + 10 = (p − 1)(p − 10); 20 + 8p − p² = −(p² − 8p − 20) = −(p − 10)(p + 2) (корни 10 и −2). Дробь: −(p − 1)/(p + 2) = (1 − p)/(p + 2).
е) 3x² + 16x − 12: D = 256 + 144 = 400, корни (−16 ± 20)/6 = 2/3 и −6, значит, 3x² + 16x − 12 = (3x − 2)(x + 6). 10 − 13x − 3x² = −(3x² + 13x − 10); D = 169 + 120 = 289, корни (−13 ± 17)/6 = 2/3 и −5, значит, 3x² + 13x − 10 = (3x − 2)(x + 5). Дробь: −(x + 6)/(x + 5).
625. Сократите дробь: а) (x² − 11x + 24)/(x² − 64); б) (2y² + 9y − 5)/(4y² − 1).
а) x² − 11x + 24 = (x − 3)(x − 8) (корни 3 и 8), x² − 64 = (x − 8)(x + 8). Дробь: (x − 3)/(x + 8).
б) 2y² + 9y − 5: D = 81 + 40 = 121, корни (−9 ± 11)/4 = 1/2 и −5, значит, 2y² + 9y − 5 = (2y − 1)(y + 5); 4y² − 1 = (2y − 1)(2y + 1). Дробь: (y + 5)/(2y + 1).
б) 2y² + 9y − 5: D = 81 + 40 = 121, корни (−9 ± 11)/4 = 1/2 и −5, значит, 2y² + 9y − 5 = (2y − 1)(y + 5); 4y² − 1 = (2y − 1)(2y + 1). Дробь: (y + 5)/(2y + 1).