Глава III. §9. п.26 Решение дробных рациональных уравнений — с. 148
631. Найдите корни уравнения: а) y²/(y + 3) = y/(y + 3); б) x²/(x² − 4) = (5x − 6)/(x² − 4); в) 2x²/(x − 2) = (−7x + 6)/(2 − x); г) (y² − 6y)/(y − 5) = 5/(5 − y); д) (2x − 1)/(x + 7) = (3x + 4)/(x − 1); е) (2y + 3)/(2y − 1) = (y − 5)/(y + 3); ж) (5y + 1)/(y + 1) = (y + 2)/y; з) (1 + 3x)/(1 − 2x) = (5 − 3x)/(1 + 2x); и) (x − 1)/(2x + 3) − (2x − 1)/(3 − 2x) = 0.
В каждом случае приравниваем числители при условии, что знаменатели не равны нулю, и исключаем посторонние корни.
а) y² = y при y ≠ −3: y(y − 1) = 0, y = 0 или y = 1. Оба значения допустимы.
б) x² = 5x − 6 при x ≠ ±2: x² − 5x + 6 = 0, x = 2 или x = 3. Число 2 обращает знаменатель в нуль. Остаётся x = 3.
в) (−7x + 6)/(2 − x) = (7x − 6)/(x − 2). Тогда 2x² = 7x − 6 при x ≠ 2: 2x² − 7x + 6 = 0, D = 49 − 48 = 1, x = (7 ± 1)/4, то есть 2 или 3/2. Число 2 не подходит. Остаётся x = 1,5.
г) 5/(5 − y) = −5/(y − 5). Тогда y² − 6y = −5 при y ≠ 5: y² − 6y + 5 = 0, y = 1 или y = 5. Число 5 не подходит. Остаётся y = 1.
д) (2x − 1)(x − 1) = (3x + 4)(x + 7) при x ≠ −7, x ≠ 1: 2x² − 3x + 1 = 3x² + 25x + 28; x² + 28x + 27 = 0, x = −1 или x = −27. Оба допустимы.
е) (2y + 3)(y + 3) = (y − 5)(2y − 1) при y ≠ 1/2, y ≠ −3: 2y² + 9y + 9 = 2y² − 11y + 5; 20y = −4; y = −0,2. Допустимо.
ж) y(5y + 1) = (y + 2)(y + 1) при y ≠ 0, y ≠ −1: 5y² + y = y² + 3y + 2; 4y² − 2y − 2 = 0; 2y² − y − 1 = 0, D = 9, y = (1 ± 3)/4, y = 1 или y = −0,5. Оба допустимы.
з) (1 + 3x)(1 + 2x) = (5 − 3x)(1 − 2x) при x ≠ ±1/2: 1 + 5x + 6x² = 5 − 13x + 6x²; 18x = 4; x = 2/9. Допустимо.
и) Перенесём: (x − 1)/(2x + 3) = (2x − 1)/(3 − 2x). При x ≠ ±3/2: (x − 1)(3 − 2x) = (2x − 1)(2x + 3); −2x² + 5x − 3 = 4x² + 4x − 3; 6x² − x = 0; x(6x − 1) = 0, x = 0 или x = 1/6. Оба допустимы.
Ответ: а) 0; 1; б) 3; в) 1,5; г) 1; д) −27; −1; е) −0,2; ж) −0,5; 1; з) 2/9; и) 0; 1/6.
а) y² = y при y ≠ −3: y(y − 1) = 0, y = 0 или y = 1. Оба значения допустимы.
б) x² = 5x − 6 при x ≠ ±2: x² − 5x + 6 = 0, x = 2 или x = 3. Число 2 обращает знаменатель в нуль. Остаётся x = 3.
в) (−7x + 6)/(2 − x) = (7x − 6)/(x − 2). Тогда 2x² = 7x − 6 при x ≠ 2: 2x² − 7x + 6 = 0, D = 49 − 48 = 1, x = (7 ± 1)/4, то есть 2 или 3/2. Число 2 не подходит. Остаётся x = 1,5.
г) 5/(5 − y) = −5/(y − 5). Тогда y² − 6y = −5 при y ≠ 5: y² − 6y + 5 = 0, y = 1 или y = 5. Число 5 не подходит. Остаётся y = 1.
д) (2x − 1)(x − 1) = (3x + 4)(x + 7) при x ≠ −7, x ≠ 1: 2x² − 3x + 1 = 3x² + 25x + 28; x² + 28x + 27 = 0, x = −1 или x = −27. Оба допустимы.
е) (2y + 3)(y + 3) = (y − 5)(2y − 1) при y ≠ 1/2, y ≠ −3: 2y² + 9y + 9 = 2y² − 11y + 5; 20y = −4; y = −0,2. Допустимо.
ж) y(5y + 1) = (y + 2)(y + 1) при y ≠ 0, y ≠ −1: 5y² + y = y² + 3y + 2; 4y² − 2y − 2 = 0; 2y² − y − 1 = 0, D = 9, y = (1 ± 3)/4, y = 1 или y = −0,5. Оба допустимы.
з) (1 + 3x)(1 + 2x) = (5 − 3x)(1 − 2x) при x ≠ ±1/2: 1 + 5x + 6x² = 5 − 13x + 6x²; 18x = 4; x = 2/9. Допустимо.
и) Перенесём: (x − 1)/(2x + 3) = (2x − 1)/(3 − 2x). При x ≠ ±3/2: (x − 1)(3 − 2x) = (2x − 1)(2x + 3); −2x² + 5x − 3 = 4x² + 4x − 3; 6x² − x = 0; x(6x − 1) = 0, x = 0 или x = 1/6. Оба допустимы.
Ответ: а) 0; 1; б) 3; в) 1,5; г) 1; д) −27; −1; е) −0,2; ж) −0,5; 1; з) 2/9; и) 0; 1/6.
632. Решите уравнение: а) (2x − 5)/(x + 5) − 4 = 0; б) 12/(7 − x) = x; в) (x² − 4)/(4x) = (3x − 2)/(2x); г) 10/(2x − 3) = x − 1; д) 8/x = 3x + 2; е) (x² + 4x)/(x + 2) = 2x/3; ж) (2x² − 5x + 3)/(10x − 5) = 0; з) (4x³ − 9x)/(x + 1,5) = 0.
а) 2x − 5 = 4(x + 5) при x ≠ −5: 2x − 5 = 4x + 20; −2x = 25; x = −12,5.
б) 12 = x(7 − x) при x ≠ 7: x² − 7x + 12 = 0, x = 3 или x = 4. Оба допустимы.
в) Умножим на 4x (x ≠ 0): x² − 4 = 2(3x − 2); x² − 6x = 0; x = 0 или x = 6. Число 0 не подходит. Остаётся x = 6.
г) 10 = (x − 1)(2x − 3) при x ≠ 1,5: 2x² − 5x + 3 = 10; 2x² − 5x − 7 = 0, D = 25 + 56 = 81, x = (5 ± 9)/4, x = 3,5 или x = −1. Оба допустимы.
д) 8 = x(3x + 2) при x ≠ 0: 3x² + 2x − 8 = 0, D = 4 + 96 = 100, x = (−2 ± 10)/6, x = 4/3 или x = −2. Оба допустимы.
е) 3(x² + 4x) = 2x(x + 2) при x ≠ −2: 3x² + 12x = 2x² + 4x; x² + 8x = 0; x = 0 или x = −8. Оба допустимы.
ж) Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: 2x² − 5x + 3 = 0, D = 1, x = 1 или x = 3/2; при этих значениях 10x − 5 ≠ 0. Оба допустимы.
з) 4x³ − 9x = x(2x − 3)(2x + 3) = 0, x = 0, x = 1,5 или x = −1,5. Число −1,5 обращает знаменатель x + 1,5 в нуль и не подходит.
Ответ: а) −12,5; б) 3; 4; в) 6; г) −1; 3,5; д) −2; 1 1/3; е) −8; 0; ж) 1; 1,5; з) 0; 1,5.
б) 12 = x(7 − x) при x ≠ 7: x² − 7x + 12 = 0, x = 3 или x = 4. Оба допустимы.
в) Умножим на 4x (x ≠ 0): x² − 4 = 2(3x − 2); x² − 6x = 0; x = 0 или x = 6. Число 0 не подходит. Остаётся x = 6.
г) 10 = (x − 1)(2x − 3) при x ≠ 1,5: 2x² − 5x + 3 = 10; 2x² − 5x − 7 = 0, D = 25 + 56 = 81, x = (5 ± 9)/4, x = 3,5 или x = −1. Оба допустимы.
д) 8 = x(3x + 2) при x ≠ 0: 3x² + 2x − 8 = 0, D = 4 + 96 = 100, x = (−2 ± 10)/6, x = 4/3 или x = −2. Оба допустимы.
е) 3(x² + 4x) = 2x(x + 2) при x ≠ −2: 3x² + 12x = 2x² + 4x; x² + 8x = 0; x = 0 или x = −8. Оба допустимы.
ж) Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: 2x² − 5x + 3 = 0, D = 1, x = 1 или x = 3/2; при этих значениях 10x − 5 ≠ 0. Оба допустимы.
з) 4x³ − 9x = x(2x − 3)(2x + 3) = 0, x = 0, x = 1,5 или x = −1,5. Число −1,5 обращает знаменатель x + 1,5 в нуль и не подходит.
Ответ: а) −12,5; б) 3; 4; в) 6; г) −1; 3,5; д) −2; 1 1/3; е) −8; 0; ж) 1; 1,5; з) 0; 1,5.
633. Найдите корни уравнения: а) x²/(x² + 1) = 7x/(x² + 1); б) y²/(y² − 6y) = 4(3 − 2y)/(y(6 − y)); в) (x − 2)/(x + 2) = (x + 3)/(x − 4); г) (8y − 5)/y = 9y/(y + 2); д) (x² + 3)/(x² + 1) = 2; е) 3/(x² + 2) = 1/x; ж) x + 2 = 15/(4x + 1); з) (x² − 5)/(x − 1) = (7x + 10)/9.
а) Знаменатель x² + 1 > 0 всегда, поэтому x² = 7x; x(x − 7) = 0; x = 0 или x = 7.
б) y² − 6y = y(y − 6), а y(6 − y) = −y(y − 6). При y ≠ 0, y ≠ 6: y² = −4(3 − 2y); y² − 8y + 12 = 0, y = 2 или y = 6. Число 6 не подходит. Остаётся y = 2.
в) (x − 2)(x − 4) = (x + 3)(x + 2) при x ≠ −2, x ≠ 4: x² − 6x + 8 = x² + 5x + 6; −11x = −2; x = 2/11.
г) (8y − 5)(y + 2) = 9y² при y ≠ 0, y ≠ −2: 8y² + 11y − 10 = 9y²; y² − 11y + 10 = 0, y = 1 или y = 10. Оба допустимы.
д) x² + 3 = 2(x² + 1); x² = 1; x = 1 или x = −1 (знаменатель x² + 1 ≠ 0).
е) 3x = x² + 2 при x ≠ 0: x² − 3x + 2 = 0, x = 1 или x = 2. Оба допустимы.
ж) (x + 2)(4x + 1) = 15 при x ≠ −1/4: 4x² + 9x + 2 = 15; 4x² + 9x − 13 = 0, D = 81 + 208 = 289, x = (−9 ± 17)/8, x = 1 или x = −3,25. Оба допустимы.
з) 9(x² − 5) = (7x + 10)(x − 1) при x ≠ 1: 9x² − 45 = 7x² + 3x − 10; 2x² − 3x − 35 = 0, D = 9 + 280 = 289, x = (3 ± 17)/4, x = 5 или x = −3,5. Оба допустимы.
Ответ: а) 0; 7; б) 2; в) 2/11; г) 1; 10; д) −1; 1; е) 1; 2; ж) −3,25; 1; з) −3,5; 5.
б) y² − 6y = y(y − 6), а y(6 − y) = −y(y − 6). При y ≠ 0, y ≠ 6: y² = −4(3 − 2y); y² − 8y + 12 = 0, y = 2 или y = 6. Число 6 не подходит. Остаётся y = 2.
в) (x − 2)(x − 4) = (x + 3)(x + 2) при x ≠ −2, x ≠ 4: x² − 6x + 8 = x² + 5x + 6; −11x = −2; x = 2/11.
г) (8y − 5)(y + 2) = 9y² при y ≠ 0, y ≠ −2: 8y² + 11y − 10 = 9y²; y² − 11y + 10 = 0, y = 1 или y = 10. Оба допустимы.
д) x² + 3 = 2(x² + 1); x² = 1; x = 1 или x = −1 (знаменатель x² + 1 ≠ 0).
е) 3x = x² + 2 при x ≠ 0: x² − 3x + 2 = 0, x = 1 или x = 2. Оба допустимы.
ж) (x + 2)(4x + 1) = 15 при x ≠ −1/4: 4x² + 9x + 2 = 15; 4x² + 9x − 13 = 0, D = 81 + 208 = 289, x = (−9 ± 17)/8, x = 1 или x = −3,25. Оба допустимы.
з) 9(x² − 5) = (7x + 10)(x − 1) при x ≠ 1: 9x² − 45 = 7x² + 3x − 10; 2x² − 3x − 35 = 0, D = 9 + 280 = 289, x = (3 ± 17)/4, x = 5 или x = −3,5. Оба допустимы.
Ответ: а) 0; 7; б) 2; в) 2/11; г) 1; 10; д) −1; 1; е) 1; 2; ж) −3,25; 1; з) −3,5; 5.