Глава III. §9. п.26 Решение дробных рациональных уравнений — с. 150
639. Решите уравнение: а) 10/((x − 5)(x + 1)) + x/(x + 1) = 3/(x − 5); б) 17/((x − 3)(x + 4)) − 1/(x − 3) = x/(x + 4); в) 4/(x + 1)² − 1/(x − 1)² + 1/(x² − 1) = 0; г) 4/(9x² − 1) + 1/(3x² − x) = 4/(9x² − 6x + 1).
а) ОДЗ: x ≠ 5, x ≠ −1. Умножаем на (x − 5)(x + 1): 10 + x(x − 5) = 3(x + 1), x² − 8x + 7 = 0, x = 1 или x = 7. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: 1; 7.
б) ОДЗ: x ≠ 3, x ≠ −4. Умножаем на (x − 3)(x + 4): 17 − (x + 4) = x(x − 3), 13 − x = x² − 3x, x² − 2x − 13 = 0, D = 4 + 52 = 56, x = (2 ± 2√14)/2 = 1 ± √14. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: 1 − √14; 1 + √14.
в) ОДЗ: x ≠ ±1. Умножаем на (x² − 1)² = (x − 1)²(x + 1)²: 4(x − 1)² − (x + 1)² + (x² − 1) = 0, то есть 4x² − 8x + 4 − x² − 2x − 1 + x² − 1 = 0, 4x² − 10x + 2 = 0, 2x² − 5x + 1 = 0, D = 25 − 8 = 17, x = (5 ± √17)/4. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: (5 − √17)/4; (5 + √17)/4.
г) 9x² − 1 = (3x − 1)(3x + 1), 3x² − x = x(3x − 1), 9x² − 6x + 1 = (3x − 1)². ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ ±1/3. Умножаем на x(3x − 1)²(3x + 1): 4x(3x − 1) + (3x − 1)(3x + 1) = 4x(3x + 1), то есть 12x² − 4x + 9x² − 1 = 12x² + 4x, 9x² − 8x − 1 = 0, D = 64 + 36 = 100, x = (8 ± 10)/18, x = 1 или x = −1/9. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: −1/9; 1.
Оговорка: в первом слагаемом пункта а) знак во втором множителе знаменателя на скане читается неотчётливо; принят знаменатель (x − 5)(x + 1), при нём получаются корни 1 и 7, совпадающие с ответами учебника.
б) ОДЗ: x ≠ 3, x ≠ −4. Умножаем на (x − 3)(x + 4): 17 − (x + 4) = x(x − 3), 13 − x = x² − 3x, x² − 2x − 13 = 0, D = 4 + 52 = 56, x = (2 ± 2√14)/2 = 1 ± √14. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: 1 − √14; 1 + √14.
в) ОДЗ: x ≠ ±1. Умножаем на (x² − 1)² = (x − 1)²(x + 1)²: 4(x − 1)² − (x + 1)² + (x² − 1) = 0, то есть 4x² − 8x + 4 − x² − 2x − 1 + x² − 1 = 0, 4x² − 10x + 2 = 0, 2x² − 5x + 1 = 0, D = 25 − 8 = 17, x = (5 ± √17)/4. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: (5 − √17)/4; (5 + √17)/4.
г) 9x² − 1 = (3x − 1)(3x + 1), 3x² − x = x(3x − 1), 9x² − 6x + 1 = (3x − 1)². ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ ±1/3. Умножаем на x(3x − 1)²(3x + 1): 4x(3x − 1) + (3x − 1)(3x + 1) = 4x(3x + 1), то есть 12x² − 4x + 9x² − 1 = 12x² + 4x, 9x² − 8x − 1 = 0, D = 64 + 36 = 100, x = (8 ± 10)/18, x = 1 или x = −1/9. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: −1/9; 1.
Оговорка: в первом слагаемом пункта а) знак во втором множителе знаменателя на скане читается неотчётливо; принят знаменатель (x − 5)(x + 1), при нём получаются корни 1 и 7, совпадающие с ответами учебника.
640. Найдите корни уравнения: а) 21/(x + 1) = 16/(x − 2) − 6/x; б) 2/(y² − 3y) − 1/(y − 3) = 5/(y³ − 9y); в) 18/(4x² + 4x + 1) − 1/(2x² − x) = 6/(4x² − 1); г) 3(4y² + 10y − 7)/(16y² − 9) = (3y − 7)/(3 − 4y) + (6y + 5)/(3 + 4y).
а) ОДЗ: x ≠ −1, 0, 2. Умножаем на x(x + 1)(x − 2): 21x(x − 2) = 16x(x + 1) − 6(x + 1)(x − 2), то есть 21x² − 42x = 10x² + 22x + 12, 11x² − 64x − 12 = 0, D = 4096 + 528 = 4624 = 68², x = (64 ± 68)/22, x = 6 или x = −2/11. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: −2/11; 6.
б) y² − 3y = y(y − 3), y³ − 9y = y(y − 3)(y + 3). ОДЗ: y ≠ 0, ±3. Умножаем на y(y − 3)(y + 3): 2(y + 3) − y(y + 3) = 5, то есть −y² − y + 1 = 0, y² + y − 1 = 0, D = 5, y = (−1 ± √5)/2. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: (−1 − √5)/2; (−1 + √5)/2.
в) 4x² + 4x + 1 = (2x + 1)², 2x² − x = x(2x − 1), 4x² − 1 = (2x − 1)(2x + 1). ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ ±1/2. Умножаем на x(2x + 1)²(2x − 1): 18x(2x − 1) − (2x + 1)² = 6x(2x + 1), то есть 36x² − 18x − 4x² − 4x − 1 = 12x² + 6x, 20x² − 28x − 1 = 0, D = 784 + 80 = 864 = 144 · 6, x = (28 ± 12√6)/40 = (7 ± 3√6)/10. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: (7 − 3√6)/10; (7 + 3√6)/10.
г) 16y² − 9 = (4y − 3)(4y + 3), 3 − 4y = −(4y − 3). ОДЗ: y ≠ ±3/4. Уравнение: 3(4y² + 10y − 7)/((4y − 3)(4y + 3)) = −(3y − 7)/(4y − 3) + (6y + 5)/(4y + 3). Умножаем на (4y − 3)(4y + 3): 12y² + 30y − 21 = −(3y − 7)(4y + 3) + (6y + 5)(4y − 3). Правая часть: −(12y² − 19y − 21) + (24y² + 2y − 15) = 12y² + 21y + 6. Тогда 30y − 21 = 21y + 6, 9y = 27, y = 3. Входит в ОДЗ. Ответ: 3.
б) y² − 3y = y(y − 3), y³ − 9y = y(y − 3)(y + 3). ОДЗ: y ≠ 0, ±3. Умножаем на y(y − 3)(y + 3): 2(y + 3) − y(y + 3) = 5, то есть −y² − y + 1 = 0, y² + y − 1 = 0, D = 5, y = (−1 ± √5)/2. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: (−1 − √5)/2; (−1 + √5)/2.
в) 4x² + 4x + 1 = (2x + 1)², 2x² − x = x(2x − 1), 4x² − 1 = (2x − 1)(2x + 1). ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ ±1/2. Умножаем на x(2x + 1)²(2x − 1): 18x(2x − 1) − (2x + 1)² = 6x(2x + 1), то есть 36x² − 18x − 4x² − 4x − 1 = 12x² + 6x, 20x² − 28x − 1 = 0, D = 784 + 80 = 864 = 144 · 6, x = (28 ± 12√6)/40 = (7 ± 3√6)/10. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: (7 − 3√6)/10; (7 + 3√6)/10.
г) 16y² − 9 = (4y − 3)(4y + 3), 3 − 4y = −(4y − 3). ОДЗ: y ≠ ±3/4. Уравнение: 3(4y² + 10y − 7)/((4y − 3)(4y + 3)) = −(3y − 7)/(4y − 3) + (6y + 5)/(4y + 3). Умножаем на (4y − 3)(4y + 3): 12y² + 30y − 21 = −(3y − 7)(4y + 3) + (6y + 5)(4y − 3). Правая часть: −(12y² − 19y − 21) + (24y² + 2y − 15) = 12y² + 21y + 6. Тогда 30y − 21 = 21y + 6, 9y = 27, y = 3. Входит в ОДЗ. Ответ: 3.
641. (Для работы в парах.) Решите уравнение: а) 1 + 1/(3 + 1/(2 + 1/(5 − x²))) = 1 7/24; б) 1 − 1/(2 + 1/(1 + 1/(10 − x²))) = 3/5.
1. Обсудите, какие преобразования и в какой последовательности надо выполнить, чтобы найти корни уравнения.
2. Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3. Проверьте друг у друга, правильно ли решено уравнение.
1) Раскрываем многоэтажную дробь «снаружи внутрь»: каждый раз выделяем слагаемое, содержащее переменную, и переходим к обратной дроби. В конце получаем простое уравнение с x², не забывая про условие x² ≠ 5 (или x² ≠ 10) и то, что промежуточные знаменатели не равны нулю.
2) а) 1 + 1/(3 + 1/(2 + 1/(5 − x²))) = 31/24, значит 1/(3 + 1/(2 + 1/(5 − x²))) = 7/24, откуда 3 + 1/(2 + 1/(5 − x²)) = 24/7, 1/(2 + 1/(5 − x²)) = 3/7, 2 + 1/(5 − x²) = 7/3, 1/(5 − x²) = 1/3, 5 − x² = 3, x² = 2, x = ±√2.
б) 1 − 1/(2 + 1/(1 + 1/(10 − x²))) = 3/5, значит 1/(2 + 1/(1 + 1/(10 − x²))) = 2/5, откуда 2 + 1/(1 + 1/(10 − x²)) = 5/2, 1/(1 + 1/(10 − x²)) = 1/2, 1 + 1/(10 − x²) = 2, 1/(10 − x²) = 1, 10 − x² = 1, x² = 9, x = ±3.
3) Проверка: при x² = 2: 5 − x² = 3, 2 + 1/3 = 7/3, 3 + 3/7 = 24/7, 1 + 7/24 = 1 7/24, верно. При x² = 9: 10 − x² = 1, 1 + 1 = 2, 2 + 1/2 = 5/2, 1 − 2/5 = 3/5, верно.
Ответ: а) −√2; √2; б) −3; 3.
2) а) 1 + 1/(3 + 1/(2 + 1/(5 − x²))) = 31/24, значит 1/(3 + 1/(2 + 1/(5 − x²))) = 7/24, откуда 3 + 1/(2 + 1/(5 − x²)) = 24/7, 1/(2 + 1/(5 − x²)) = 3/7, 2 + 1/(5 − x²) = 7/3, 1/(5 − x²) = 1/3, 5 − x² = 3, x² = 2, x = ±√2.
б) 1 − 1/(2 + 1/(1 + 1/(10 − x²))) = 3/5, значит 1/(2 + 1/(1 + 1/(10 − x²))) = 2/5, откуда 2 + 1/(1 + 1/(10 − x²)) = 5/2, 1/(1 + 1/(10 − x²)) = 1/2, 1 + 1/(10 − x²) = 2, 1/(10 − x²) = 1, 10 − x² = 1, x² = 9, x = ±3.
3) Проверка: при x² = 2: 5 − x² = 3, 2 + 1/3 = 7/3, 3 + 3/7 = 24/7, 1 + 7/24 = 1 7/24, верно. При x² = 9: 10 − x² = 1, 1 + 1 = 2, 2 + 1/2 = 5/2, 1 − 2/5 = 3/5, верно.
Ответ: а) −√2; √2; б) −3; 3.
642. Решите графически уравнение: а) 6/x = x; б) 6/x = −x + 6.
Строим в одной системе координат графики левой и правой частей; абсциссы точек пересечения — корни уравнения.
а) y = 6/x — гипербола (точки (1; 6), (2; 3), (3; 2), (6; 1) и симметричные им при x < 0), y = x — прямая через начало координат. Графики пересекаются в двух точках, абсциссы которых примерно 2,4 и −2,4. Проверка: x² = 6, x = ±√6 ≈ ±2,45. Ответ: x ≈ −2,4; x ≈ 2,4.
б) y = 6/x — та же гипербола, y = −x + 6 — прямая через точки (0; 6) и (6; 0). Прямая пересекает ветвь гиперболы при x > 0 в двух точках с абсциссами примерно 1,3 и 4,7. Проверка: x² − 6x + 6 = 0, x = 3 ± √3 ≈ 1,27 и 4,73. Ответ: x ≈ 1,3; x ≈ 4,7.
а) y = 6/x — гипербола (точки (1; 6), (2; 3), (3; 2), (6; 1) и симметричные им при x < 0), y = x — прямая через начало координат. Графики пересекаются в двух точках, абсциссы которых примерно 2,4 и −2,4. Проверка: x² = 6, x = ±√6 ≈ ±2,45. Ответ: x ≈ −2,4; x ≈ 2,4.
б) y = 6/x — та же гипербола, y = −x + 6 — прямая через точки (0; 6) и (6; 0). Прямая пересекает ветвь гиперболы при x > 0 в двух точках с абсциссами примерно 1,3 и 4,7. Проверка: x² − 6x + 6 = 0, x = 3 ± √3 ≈ 1,27 и 4,73. Ответ: x ≈ 1,3; x ≈ 4,7.
643. С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь уравнение 1/x = ax + b, где a и b — некоторые числа. Для каждого случая укажите, каким условиям должны удовлетворять числа a и b.
Корни уравнения 1/x = ax + b — абсциссы точек пересечения гиперболы y = 1/x (ветви в I и III четвертях, ось Oy не пересекает) с прямой y = ax + b.
1) a = 0, b ≠ 0: прямая y = b горизонтальна и пересекает гиперболу ровно в одной точке (x = 1/b) — один корень.
2) a = 0, b = 0: прямая y = 0 совпадает с осью Ox, которую гипербола не пересекает — корней нет.
3) a > 0: прямая с положительным угловым коэффициентом всегда пересекает обе ветви гиперболы, поэтому два корня (разных знаков).
4) a < 0: прямая может пересекать гиперболу в двух точках, касаться её в одной точке или не пересекать совсем. Чтобы найти границы, подставим: 1/x = ax + b, ax² + bx − 1 = 0 (x ≠ 0), D = b² + 4a. Если b² + 4a > 0 (то есть b² > −4a) — два корня; если b² + 4a = 0 (b² = −4a) — один корень (прямая касается гиперболы); если b² + 4a < 0 (b² < −4a) — корней нет.
Итог: два корня при a ≠ 0 и b² + 4a > 0; один корень при a = 0, b ≠ 0 или при b² + 4a = 0 (a < 0); корней нет при a = b = 0 или при b² + 4a < 0.
1) a = 0, b ≠ 0: прямая y = b горизонтальна и пересекает гиперболу ровно в одной точке (x = 1/b) — один корень.
2) a = 0, b = 0: прямая y = 0 совпадает с осью Ox, которую гипербола не пересекает — корней нет.
3) a > 0: прямая с положительным угловым коэффициентом всегда пересекает обе ветви гиперболы, поэтому два корня (разных знаков).
4) a < 0: прямая может пересекать гиперболу в двух точках, касаться её в одной точке или не пересекать совсем. Чтобы найти границы, подставим: 1/x = ax + b, ax² + bx − 1 = 0 (x ≠ 0), D = b² + 4a. Если b² + 4a > 0 (то есть b² > −4a) — два корня; если b² + 4a = 0 (b² = −4a) — один корень (прямая касается гиперболы); если b² + 4a < 0 (b² < −4a) — корней нет.
Итог: два корня при a ≠ 0 и b² + 4a > 0; один корень при a = 0, b ≠ 0 или при b² + 4a = 0 (a < 0); корней нет при a = b = 0 или при b² + 4a < 0.