Глава III. §8. п.24 Квадратный трёхчлен и его корни — с. 140
604. Имеет ли квадратный трёхчлен корни и если имеет, то сколько: а) 5x² − 8x + 3; б) 9x² + 6x + 1; в) −7x² + 6x − 2; г) −x² + 5x − 3?
Число корней определяется знаком дискриминанта.
а) D = 64 − 60 = 4 > 0, два корня (x = 1 и x = 3/5).
б) D = 36 − 36 = 0, один корень (9x² + 6x + 1 = (3x + 1)², x = −1/3).
в) D = 36 − 56 = −20 < 0, корней нет.
г) D = 25 − 12 = 13 > 0, два корня.
Ответ: а) два; б) один; в) нет; г) два.
а) D = 64 − 60 = 4 > 0, два корня (x = 1 и x = 3/5).
б) D = 36 − 36 = 0, один корень (9x² + 6x + 1 = (3x + 1)², x = −1/3).
в) D = 36 − 56 = −20 < 0, корней нет.
г) D = 25 − 12 = 13 > 0, два корня.
Ответ: а) два; б) один; в) нет; г) два.
605. Имеет ли квадратный трёхчлен корни и если имеет, то сколько: а) −4x² − 4x + 3; б) 4x² − 4x + 3; в) 9x² − 12x + 4; г) 9x² − 12x − 4?
а) D = 16 + 48 = 64 > 0, два корня (x = −3/2 и x = 1/2).
б) D = 16 − 48 = −32 < 0, корней нет.
в) D = 144 − 144 = 0, один корень (9x² − 12x + 4 = (3x − 2)², x = 2/3).
г) D = 144 + 144 = 288 > 0, два корня.
Ответ: а) два; б) нет; в) один; г) два.
б) D = 16 − 48 = −32 < 0, корней нет.
в) D = 144 − 144 = 0, один корень (9x² − 12x + 4 = (3x − 2)², x = 2/3).
г) D = 144 + 144 = 288 > 0, два корня.
Ответ: а) два; б) нет; в) один; г) два.
606. Сумма коэффициентов квадратного трёхчлена равна нулю, а его свободный член в 4 раза больше старшего коэффициента. Найдите корни этого трёхчлена.
Пусть трёхчлен ax² + bx + c. По условию a + b + c = 0 и c = 4a. Тогда b = −a − c = −5a, и трёхчлен имеет вид ax² − 5ax + 4a = a(x² − 5x + 4), a ≠ 0.
Решим x² − 5x + 4 = 0: D = 25 − 16 = 9, x = (5 ± 3)/2, x₁ = 4, x₂ = 1.
Ответ: 1; 4.
Решим x² − 5x + 4 = 0: D = 25 − 16 = 9, x = (5 ± 3)/2, x₁ = 4, x₂ = 1.
Ответ: 1; 4.
607. Выделите квадрат двучлена из квадратного трёхчлена: а) x² − 6x − 2; б) x² + 5x + 20; в) 2x² − 4x + 10; г) (1/2)x² + x − 6.
Прибавляем и вычитаем квадрат половины коэффициента при x.
а) x² − 6x − 2 = x² − 2·3·x + 9 − 9 − 2 = (x − 3)² − 11.
б) x² + 5x + 20 = x² + 2·2,5·x + 6,25 − 6,25 + 20 = (x + 2,5)² + 13,75.
в) 2x² − 4x + 10 = 2(x² − 2x + 5) = 2(x² − 2x + 1 + 4) = 2(x − 1)² + 8.
г) (1/2)x² + x − 6 = (1/2)(x² + 2x − 12) = (1/2)(x² + 2x + 1 − 13) = (1/2)(x + 1)² − 6,5.
а) x² − 6x − 2 = x² − 2·3·x + 9 − 9 − 2 = (x − 3)² − 11.
б) x² + 5x + 20 = x² + 2·2,5·x + 6,25 − 6,25 + 20 = (x + 2,5)² + 13,75.
в) 2x² − 4x + 10 = 2(x² − 2x + 5) = 2(x² − 2x + 1 + 4) = 2(x − 1)² + 8.
г) (1/2)x² + x − 6 = (1/2)(x² + 2x − 12) = (1/2)(x² + 2x + 1 − 13) = (1/2)(x + 1)² − 6,5.
608. Выделите квадрат двучлена из квадратного трёхчлена: а) x² − 10x + 10; б) x² + 3x − 1; в) 3x² + 6x − 3; г) (1/4)x² − x + 2.
а) x² − 10x + 10 = x² − 2·5·x + 25 − 25 + 10 = (x − 5)² − 15.
б) x² + 3x − 1 = x² + 2·1,5·x + 2,25 − 2,25 − 1 = (x + 1,5)² − 3,25.
в) 3x² + 6x − 3 = 3(x² + 2x − 1) = 3(x² + 2x + 1 − 2) = 3(x + 1)² − 6.
г) (1/4)x² − x + 2 = (1/4)(x² − 4x + 8) = (1/4)(x² − 4x + 4 + 4) = (1/4)(x − 2)² + 1.
б) x² + 3x − 1 = x² + 2·1,5·x + 2,25 − 2,25 − 1 = (x + 1,5)² − 3,25.
в) 3x² + 6x − 3 = 3(x² + 2x − 1) = 3(x² + 2x + 1 − 2) = 3(x + 1)² − 6.
г) (1/4)x² − x + 2 = (1/4)(x² − 4x + 8) = (1/4)(x² − 4x + 4 + 4) = (1/4)(x − 2)² + 1.
609. (Для работы в парах.) Докажите, что при любом значении x квадратный трёхчлен: а) x² − 6x + 10 принимает положительное значение; б) 5x² − 10x + 5 принимает неотрицательное значение; в) −x² + 20x − 100 принимает неположительное значение; г) −2x² + 16x − 33 принимает отрицательное значение; д) x² − 0,32x + 0,0256 принимает неотрицательное значение; е) 4x² + 0,8x + 2 принимает положительное значение.
1. Обсудите, какие преобразования трёхчленов надо выполнить для доказательства высказанных утверждений.
2. Распределите, кто выполняет задания а), в) и д), а кто — задания б), г) и е), и выполните их.
3. Проверьте друг у друга правильность проведённых доказательств и исправьте ошибки, если они допущены.
1) Для доказательства выделяем из трёхчлена квадрат двучлена: после этого трёхчлен принимает вид a(x − m)² + n, и знак выражения определяется знаком a и n, так как (x − m)² ≥ 0.
2) Выполняем все задания (первый участник — а), в), д); второй — б), г), е)).
а) x² − 6x + 10 = (x − 3)² + 1 ≥ 1 > 0, значит, значение положительно.
б) 5x² − 10x + 5 = 5(x² − 2x + 1) = 5(x − 1)² ≥ 0, значение неотрицательно.
в) −x² + 20x − 100 = −(x² − 20x + 100) = −(x − 10)² ≤ 0, значение неположительно.
г) −2x² + 16x − 33 = −2(x² − 8x) − 33 = −2(x − 4)² + 32 − 33 = −2(x − 4)² − 1 ≤ −1 < 0, значение отрицательно.
д) x² − 0,32x + 0,0256 = x² − 2·0,16·x + 0,16² = (x − 0,16)² ≥ 0, значение неотрицательно.
е) 4x² + 0,8x + 2 = 4(x² + 0,2x) + 2 = 4(x + 0,1)² − 0,04 + 2 = 4(x + 0,1)² + 1,96 ≥ 1,96 > 0, значение положительно.
3) Взаимная проверка: можно раскрыть скобки в полученных выражениях и убедиться, что получается исходный трёхчлен.
2) Выполняем все задания (первый участник — а), в), д); второй — б), г), е)).
а) x² − 6x + 10 = (x − 3)² + 1 ≥ 1 > 0, значит, значение положительно.
б) 5x² − 10x + 5 = 5(x² − 2x + 1) = 5(x − 1)² ≥ 0, значение неотрицательно.
в) −x² + 20x − 100 = −(x² − 20x + 100) = −(x − 10)² ≤ 0, значение неположительно.
г) −2x² + 16x − 33 = −2(x² − 8x) − 33 = −2(x − 4)² + 32 − 33 = −2(x − 4)² − 1 ≤ −1 < 0, значение отрицательно.
д) x² − 0,32x + 0,0256 = x² − 2·0,16·x + 0,16² = (x − 0,16)² ≥ 0, значение неотрицательно.
е) 4x² + 0,8x + 2 = 4(x² + 0,2x) + 2 = 4(x + 0,1)² − 0,04 + 2 = 4(x + 0,1)² + 1,96 ≥ 1,96 > 0, значение положительно.
3) Взаимная проверка: можно раскрыть скобки в полученных выражениях и убедиться, что получается исходный трёхчлен.
610. Даны квадратные трёхчлены x² − 6x + 11 и −x² + 6x − 11. Докажите, что первый из них не принимает отрицательных значений, а второй — положительных.
Выделим квадрат двучлена в первом трёхчлене: x² − 6x + 11 = (x − 3)² + 2. Так как (x − 3)² ≥ 0, то значение трёхчлена не меньше 2, то есть оно не бывает отрицательным.
Второй трёхчлен противоположен первому: −x² + 6x − 11 = −((x − 3)² + 2) = −(x − 3)² − 2 ≤ −2 < 0, поэтому он не принимает положительных значений. Что и требовалось доказать.
Второй трёхчлен противоположен первому: −x² + 6x − 11 = −((x − 3)² + 2) = −(x − 3)² − 2 ≤ −2 < 0, поэтому он не принимает положительных значений. Что и требовалось доказать.
611. При каком значении x трёхчлен 2x² − 4x + 6 принимает наименьшее значение?
Найдите это значение.
Выделим квадрат двучлена: 2x² − 4x + 6 = 2(x² − 2x + 3) = 2((x − 1)² + 2) = 2(x − 1)² + 4.
Так как 2(x − 1)² ≥ 0, наименьшее значение достигается при x − 1 = 0, то есть при x = 1, и равно 4.
Ответ: при x = 1; наименьшее значение равно 4.
Так как 2(x − 1)² ≥ 0, наименьшее значение достигается при x − 1 = 0, то есть при x = 1, и равно 4.
Ответ: при x = 1; наименьшее значение равно 4.
612. Дан квадратный трёхчлен (1/3)x² + 2x + 4. Выясните, при каком значении x он принимает наименьшее значение и чему равно это значение трёхчлена.
Выделим квадрат двучлена: (1/3)x² + 2x + 4 = (1/3)(x² + 6x + 12) = (1/3)((x + 3)² + 3) = (1/3)(x + 3)² + 1.
Слагаемое (1/3)(x + 3)² ≥ 0 и равно нулю при x = −3. Поэтому наименьшее значение трёхчлена равно 1 и достигается при x = −3.
Ответ: при x = −3; наименьшее значение равно 1.
Слагаемое (1/3)(x + 3)² ≥ 0 и равно нулю при x = −3. Поэтому наименьшее значение трёхчлена равно 1 и достигается при x = −3.
Ответ: при x = −3; наименьшее значение равно 1.
613. (Задача-исследование.) Выясните, какой из прямоугольных треугольников с суммой катетов, равной 6 см, имеет наибольшую площадь. Вычислите эту площадь.
1. Обозначьте длину одного из катетов через x см и составьте выражение для вычисления площади треугольника.
2. Исследуйте, при каких значениях переменной составленное выражение принимает наибольшее значение.
3. Вычислите, чему равно значение площади треугольника при указанных значениях переменной.
1) Пусть один катет равен x см, тогда другой равен 6 − x см (0 < x < 6). Площадь S = (1/2)x(6 − x) = −(1/2)x² + 3x (см²).
2) Выделим квадрат двучлена: S = −(1/2)(x² − 6x) = −(1/2)(x² − 6x + 9 − 9) = −(1/2)(x − 3)² + 4,5. Так как −(1/2)(x − 3)² ≤ 0, наибольшее значение S достигается при x = 3.
3) При x = 3 площадь S = 4,5 см². Катеты равны 3 см и 3 см, то есть наибольшую площадь имеет равнобедренный прямоугольный треугольник.
Ответ: треугольник с катетами 3 см и 3 см; площадь 4,5 см².
2) Выделим квадрат двучлена: S = −(1/2)(x² − 6x) = −(1/2)(x² − 6x + 9 − 9) = −(1/2)(x − 3)² + 4,5. Так как −(1/2)(x − 3)² ≤ 0, наибольшее значение S достигается при x = 3.
3) При x = 3 площадь S = 4,5 см². Катеты равны 3 см и 3 см, то есть наибольшую площадь имеет равнобедренный прямоугольный треугольник.
Ответ: треугольник с катетами 3 см и 3 см; площадь 4,5 см².