Глава III. §7. п.23 Теорема Виета — с. 137
Вопрос 1. Что называют дискриминантом квадратного уравнения?
Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
Дискриминантом квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) называют выражение D = b² − 4ac.
Если D > 0, уравнение имеет два различных корня; если D = 0, имеет один корень (два равных корня); если D < 0, корней нет.
Значит, квадратное уравнение может иметь два корня, один корень или не иметь корней вовсе.
Если D > 0, уравнение имеет два различных корня; если D = 0, имеет один корень (два равных корня); если D < 0, корней нет.
Значит, квадратное уравнение может иметь два корня, один корень или не иметь корней вовсе.
Вопрос 2. Напишите формулу корней квадратного уравнения.
Для уравнения ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0 и D = b² − 4ac ≥ 0, корни находят по формуле
x = (−b ± √D)/(2a),
то есть x₁ = (−b + √D)/(2a), x₂ = (−b − √D)/(2a).
x = (−b ± √D)/(2a),
то есть x₁ = (−b + √D)/(2a), x₂ = (−b − √D)/(2a).
Вопрос 3. Напишите формулу корней квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является чётным числом.
Если b = 2k, то уравнение имеет вид ax² + 2kx + c = 0. Его дискриминант D = 4k² − 4ac = 4(k² − ac), поэтому √D = 2√(k² − ac), и после сокращения на 2 получаем
x = (−k ± √(k² − ac))/a,
при условии k² − ac ≥ 0. Выражение D₁ = k² − ac называют четвертью дискриминанта.
x = (−k ± √(k² − ac))/a,
при условии k² − ac ≥ 0. Выражение D₁ = k² − ac называют четвертью дискриминанта.
Вопрос 4. Сформулируйте и докажите теорему Виета. Чему равны сумма и произведение корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0?
Теорема Виета: если x₁ и x₂ — корни приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0, то x₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = q, то есть сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену.
Доказательство. Корни приведённого уравнения x₁ = (−p + √D)/2 и x₂ = (−p − √D)/2, где D = p² − 4q ≥ 0. Тогда
x₁ + x₂ = (−p + √D − p − √D)/2 = −2p/2 = −p;
x₁ · x₂ = ((−p)² − (√D)²)/4 = (p² − p² + 4q)/4 = q.
Для уравнения ax² + bx + c = 0 разделим обе части на a: x² + (b/a)x + c/a = 0. По теореме Виета
x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a.
Доказательство. Корни приведённого уравнения x₁ = (−p + √D)/2 и x₂ = (−p − √D)/2, где D = p² − 4q ≥ 0. Тогда
x₁ + x₂ = (−p + √D − p − √D)/2 = −2p/2 = −p;
x₁ · x₂ = ((−p)² − (√D)²)/4 = (p² − p² + 4q)/4 = q.
Для уравнения ax² + bx + c = 0 разделим обе части на a: x² + (b/a)x + c/a = 0. По теореме Виета
x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a.
Вопрос 5. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Виета.
Теорема: если числа m и n таковы, что m + n = −p и mn = q, то m и n — корни уравнения x² + px + q = 0.
Доказательство. Подставим p = −(m + n) и q = mn в уравнение: x² − (m + n)x + mn = 0. Разложим левую часть: x² − mx − nx + mn = x(x − m) − n(x − m) = (x − m)(x − n). Уравнение (x − m)(x − n) = 0 имеет корни x = m и x = n. Теорема доказана.
Доказательство. Подставим p = −(m + n) и q = mn в уравнение: x² − (m + n)x + mn = 0. Разложим левую часть: x² − mx − nx + mn = x(x − m) − n(x − m) = (x − m)(x − n). Уравнение (x − m)(x − n) = 0 имеет корни x = m и x = n. Теорема доказана.