Алгебра Макарычев 8 класс, страница 136 — задания и ответы

Question

Accepted Answer

Глава III. §7. п.23 Теорема Виета — с. 136 591. (Для работы в парах.) Не решая уравнения, выясните, имеет ли оно корни, и если имеет, то определите их знаки: а) x² + 7x − 1 = 0; б) x² − 7x + 1 = 0; в) 5x² + 17x + 16 = 0; г) 19x² − 23x + 5 = 0; д) 2x² + 5√3x + 11 = 0; е) 11x² − 9x + 7 − 5√2 = 0. 1) Сформулируйте теорему, на основании которой можно определить знаки корней. 2) Распределите, кто выполняет задания а), в), д), а кто — задания б), г), е), и выполните их. 3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания. Исправьте ошибки, если они допущены. 1) Если квадратное уравнение имеет корни, то по теореме Виета знаки корней определяются так: при c/a 0 и −b/a > 0 оба корня положительны; при c/a > 0 и −b/a 2) а) D = 49 + 4 = 53 > 0, x₁x₂ = −1 б) D = 49 − 4 = 45 > 0, x₁x₂ = 1 > 0, x₁ + x₂ = 7 > 0: корни есть, оба положительны. в) D = 289 − 320 = −31 г) D = 529 − 380 = 149 > 0, x₁x₂ = 5/19 > 0, x₁ + x₂ = 23/19 > 0: корни есть, оба положительны. д) D = 75 − 88 = −13 е) Свободный член 7 − 5√2 √49 = 7. Значит, ac 0, x₁x₂ = (7 − 5√2)/11 3) Проверка друг у друга сводится к повторению вычислений дискриминанта и знаков суммы и произведения. Ответ: а) корни разных знаков; б) оба положительные; в) корней нет; г) оба положительные; д) корней нет; е) корни разных знаков. 592. Докажите, что уравнение не может иметь корни одинаковых знаков: а) 3x² + 113x − 7 = 0; б) 5x² − 291x − 16 = 0. а) Здесь a = 3, c = −7, ac 0 и корни существуют. По теореме Виета x₁x₂ = −7/3 б) Здесь a = 5, c = −16, ac 0 и корни существуют. По теореме Виета x₁x₂ = −16/5 Произведение двух чисел одного знака положительно, поэтому в обоих случаях корни одинаковых знаков иметь не могут. Что и требовалось доказать. 593. (Для работы в парах.) Уравнение x² + 5x + m = 0 имеет корни x₁ и x₂. Найдите, при каком значении m: а) сумма квадратов корней равна 35; б) сумма кубов корней равна 40. 1) Обсудите подходы к выполнению задания а) и задания б). 2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их. 3) Проверьте друг у друга правильность полученных ответов. Исправьте замеченные ошибки. По теореме Виета x₁ + x₂ = −5, x₁x₂ = m. Уравнение имеет корни, если D = 25 − 4m ≥ 0, то есть m ≤ 6,25. 1) Подход: выразить сумму квадратов и сумму кубов через x₁ + x₂ и x₁x₂. 2) а) x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 25 − 2m = 35, откуда m = −5. Условие m ≤ 6,25 выполнено. б) x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ − 3x₁x₂(x₁ + x₂) = −125 + 15m = 40, откуда m = 11. Но 11 > 6,25: при m = 11 дискриминант D = 25 − 44 =