Глава III. §7. п.23 Теорема Виета — с. 135
578. Найдите сумму и произведение корней уравнения: а) x² − 37x + 27 = 0; б) y² + 41y − 371 = 0; в) x² − 210x = 0; г) y² − 19 = 0; д) 2x² − 9x − 10 = 0; е) 5x² + 12x + 7 = 0; ж) −z² + z = 0; з) 3x² − 10 = 0.
Для уравнения ax² + bx + c = 0, имеющего корни, x₁ + x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a. Во всех случаях корни существуют (D > 0).
а) D = 1369 − 108 = 1261 > 0. x₁ + x₂ = 37, x₁x₂ = 27.
б) D = 1681 + 1484 = 3165 > 0. y₁ + y₂ = −41, y₁y₂ = −371.
в) D = 44100 > 0. x₁ + x₂ = 210, x₁x₂ = 0 (корни 0 и 210).
г) D = 76 > 0. y₁ + y₂ = 0, y₁y₂ = −19.
д) D = 81 + 80 = 161 > 0. x₁ + x₂ = 9/2 = 4,5, x₁x₂ = −10/2 = −5.
е) D = 144 − 140 = 4 > 0. x₁ + x₂ = −12/5 = −2,4, x₁x₂ = 7/5 = 1,4.
ж) D = 1 > 0. z₁ + z₂ = −1/(−1) = 1, z₁z₂ = 0/(−1) = 0 (корни 0 и 1).
з) D = 120 > 0. x₁ + x₂ = 0, x₁x₂ = −10/3.
Ответ: а) 37; 27; б) −41; −371; в) 210; 0; г) 0; −19; д) 4,5; −5; е) −2,4; 1,4; ж) 1; 0; з) 0; −10/3.
а) D = 1369 − 108 = 1261 > 0. x₁ + x₂ = 37, x₁x₂ = 27.
б) D = 1681 + 1484 = 3165 > 0. y₁ + y₂ = −41, y₁y₂ = −371.
в) D = 44100 > 0. x₁ + x₂ = 210, x₁x₂ = 0 (корни 0 и 210).
г) D = 76 > 0. y₁ + y₂ = 0, y₁y₂ = −19.
д) D = 81 + 80 = 161 > 0. x₁ + x₂ = 9/2 = 4,5, x₁x₂ = −10/2 = −5.
е) D = 144 − 140 = 4 > 0. x₁ + x₂ = −12/5 = −2,4, x₁x₂ = 7/5 = 1,4.
ж) D = 1 > 0. z₁ + z₂ = −1/(−1) = 1, z₁z₂ = 0/(−1) = 0 (корни 0 и 1).
з) D = 120 > 0. x₁ + x₂ = 0, x₁x₂ = −10/3.
Ответ: а) 37; 27; б) −41; −371; в) 210; 0; г) 0; −19; д) 4,5; −5; е) −2,4; 1,4; ж) 1; 0; з) 0; −10/3.
579. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета: а) x² − 2x − 9 = 0; б) 3t² − 4t − 4 = 0; в) 2z² + 7z − 6 = 0; г) 2t² + 9t + 8 = 0.
а) D₁ = 1 + 9 = 10, x = 1 ± √10. Проверка: сумма (1 − √10) + (1 + √10) = 2 = −p, произведение 1 − 10 = −9 = q. Корни найдены верно.
б) D₁ = 4 + 12 = 16, t = (2 ± 4)/3, t₁ = −2/3, t₂ = 2. Приведённое уравнение t² − (4/3)t − 4/3 = 0. Проверка: сумма −2/3 + 2 = 4/3, произведение −2/3 · 2 = −4/3. Верно.
в) D = 49 + 48 = 97, z = (−7 ± √97)/4. Приведённое уравнение z² + 3,5z − 3 = 0. Проверка: сумма (−7 − √97 − 7 + √97)/4 = −14/4 = −3,5, произведение (49 − 97)/16 = −3. Верно.
г) D = 81 − 64 = 17, t = (−9 ± √17)/4. Приведённое уравнение t² + 4,5t + 4 = 0. Проверка: сумма −18/4 = −4,5, произведение (81 − 17)/16 = 4. Верно.
Ответ: а) 1 ± √10; б) −2/3 и 2; в) (−7 ± √97)/4; г) (−9 ± √17)/4.
б) D₁ = 4 + 12 = 16, t = (2 ± 4)/3, t₁ = −2/3, t₂ = 2. Приведённое уравнение t² − (4/3)t − 4/3 = 0. Проверка: сумма −2/3 + 2 = 4/3, произведение −2/3 · 2 = −4/3. Верно.
в) D = 49 + 48 = 97, z = (−7 ± √97)/4. Приведённое уравнение z² + 3,5z − 3 = 0. Проверка: сумма (−7 − √97 − 7 + √97)/4 = −14/4 = −3,5, произведение (49 − 97)/16 = −3. Верно.
г) D = 81 − 64 = 17, t = (−9 ± √17)/4. Приведённое уравнение t² + 4,5t + 4 = 0. Проверка: сумма −18/4 = −4,5, произведение (81 − 17)/16 = 4. Верно.
Ответ: а) 1 ± √10; б) −2/3 и 2; в) (−7 ± √97)/4; г) (−9 ± √17)/4.
580. Найдите корни уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета: а) x² − 15x − 16 = 0; б) m² − 6m − 11 = 0; в) 12x² − 4x − 1 = 0; г) t² − 6 = 0; д) 5x² − 18x = 0; е) 2y² − 41 = 0.
а) D = 225 + 64 = 289, x = (15 ± 17)/2, x₁ = −1, x₂ = 16. Проверка: сумма 15 = −p, произведение −16 = q. Верно.
б) D₁ = 9 + 11 = 20, m = 3 ± 2√5. Проверка: сумма 6, произведение 9 − 20 = −11. Верно.
в) D₁ = 4 + 12 = 16, x = (2 ± 4)/12, x₁ = −1/6, x₂ = 1/2. Приведённое уравнение x² − x/3 − 1/12 = 0. Проверка: сумма −1/6 + 1/2 = 1/3, произведение −1/12. Верно.
г) t² = 6, t = ±√6. Проверка: сумма 0 = −p, произведение −6 = q. Верно.
д) x(5x − 18) = 0, x₁ = 0, x₂ = 18/5 = 3,6. Приведённое уравнение x² − 3,6x = 0. Проверка: сумма 3,6, произведение 0. Верно.
е) y² = 41/2, y = ±√(41/2) = ±√82/2. Приведённое уравнение y² − 20,5 = 0. Проверка: сумма 0, произведение −82/4 = −20,5. Верно.
Ответ: а) −1 и 16; б) 3 ± 2√5; в) −1/6 и 1/2; г) ±√6; д) 0 и 3,6; е) ±√82/2.
б) D₁ = 9 + 11 = 20, m = 3 ± 2√5. Проверка: сумма 6, произведение 9 − 20 = −11. Верно.
в) D₁ = 4 + 12 = 16, x = (2 ± 4)/12, x₁ = −1/6, x₂ = 1/2. Приведённое уравнение x² − x/3 − 1/12 = 0. Проверка: сумма −1/6 + 1/2 = 1/3, произведение −1/12. Верно.
г) t² = 6, t = ±√6. Проверка: сумма 0 = −p, произведение −6 = q. Верно.
д) x(5x − 18) = 0, x₁ = 0, x₂ = 18/5 = 3,6. Приведённое уравнение x² − 3,6x = 0. Проверка: сумма 3,6, произведение 0. Верно.
е) y² = 41/2, y = ±√(41/2) = ±√82/2. Приведённое уравнение y² − 20,5 = 0. Проверка: сумма 0, произведение −82/4 = −20,5. Верно.
Ответ: а) −1 и 16; б) 3 ± 2√5; в) −1/6 и 1/2; г) ±√6; д) 0 и 3,6; е) ±√82/2.
581. Найдите подбором корни уравнения: а) x² − 9x + 20 = 0; б) y² + 11y − 12 = 0; в) y² + y − 56 = 0; г) z² − 19z + 88 = 0.
Используем теорему, обратную теореме Виета: ищем числа с заданными суммой и произведением.
а) Сумма 9, произведение 20: 4 и 5.
б) Сумма −11, произведение −12: 1 и −12.
в) Сумма −1, произведение −56: 7 и −8.
г) Сумма 19, произведение 88: 8 и 11.
Ответ: а) 4 и 5; б) −12 и 1; в) −8 и 7; г) 8 и 11.
а) Сумма 9, произведение 20: 4 и 5.
б) Сумма −11, произведение −12: 1 и −12.
в) Сумма −1, произведение −56: 7 и −8.
г) Сумма 19, произведение 88: 8 и 11.
Ответ: а) 4 и 5; б) −12 и 1; в) −8 и 7; г) 8 и 11.
582. Найдите подбором корни уравнения: а) x² + 16x + 63 = 0; б) z² + 2z − 48 = 0.
а) Сумма корней −16, произведение 63: подходят −7 и −9 (−7 + (−9) = −16, (−7)(−9) = 63).
б) Сумма корней −2, произведение −48: подходят 6 и −8 (6 − 8 = −2, 6·(−8) = −48).
Ответ: а) −9 и −7; б) −8 и 6.
б) Сумма корней −2, произведение −48: подходят 6 и −8 (6 − 8 = −2, 6·(−8) = −48).
Ответ: а) −9 и −7; б) −8 и 6.
583. В уравнении x² + px − 35 = 0 один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент p.
По теореме Виета x₁x₂ = −35. Так как x₁ = 7, то x₂ = −35 : 7 = −5. Сумма корней x₁ + x₂ = −p, то есть 7 + (−5) = 2 = −p, откуда p = −2.
Проверка: x² − 2x − 35 = 0, D₁ = 1 + 35 = 36, x = 1 ± 6 = 7 или −5.
Ответ: другой корень −5, p = −2.
Проверка: x² − 2x − 35 = 0, D₁ = 1 + 35 = 36, x = 1 ± 6 = 7 или −5.
Ответ: другой корень −5, p = −2.
584. Один из корней уравнения x² − 13x + q = 0 равен 12,5. Найдите другой корень и коэффициент q.
По теореме Виета x₁ + x₂ = 13, откуда x₂ = 13 − 12,5 = 0,5. Тогда q = x₁x₂ = 12,5 · 0,5 = 6,25.
Ответ: другой корень 0,5, q = 6,25.
Ответ: другой корень 0,5, q = 6,25.
585. Один из корней уравнения 5x² + bx + 24 = 0 равен 8. Найдите другой корень и коэффициент b.
Разделим уравнение на 5: x² + (b/5)x + 24/5 = 0. По теореме Виета x₁x₂ = 24/5, откуда x₂ = 24/(5·8) = 3/5 = 0,6. Сумма корней x₁ + x₂ = −b/5, то есть 8,6 = −b/5, b = −43.
Проверка: 5·64 − 43·8 + 24 = 320 − 344 + 24 = 0.
Ответ: другой корень 0,6, b = −43.
Проверка: 5·64 − 43·8 + 24 = 320 − 344 + 24 = 0.
Ответ: другой корень 0,6, b = −43.
586. Один из корней уравнения 10x² − 33x + c = 0 равен 5,3. Найдите другой корень и коэффициент c.
По теореме Виета x₁ + x₂ = 33/10 = 3,3, откуда x₂ = 3,3 − 5,3 = −2. Произведение корней x₁x₂ = c/10, то есть 5,3 · (−2) = −10,6 = c/10, c = −106.
Проверка: 10·28,09 − 33·5,3 − 106 = 280,9 − 174,9 − 106 = 0.
Ответ: другой корень −2, c = −106.
Проверка: 10·28,09 − 33·5,3 − 106 = 280,9 − 174,9 − 106 = 0.
Ответ: другой корень −2, c = −106.
587. Разность корней квадратного уравнения x² − 12x + q = 0 равна 2. Найдите q.
Пусть x₁ − x₂ = 2. По теореме Виета x₁ + x₂ = 12. Сложим: 2x₁ = 14, x₁ = 7, тогда x₂ = 5. Значит, q = x₁x₂ = 35.
Проверка: x² − 12x + 35 = 0, D₁ = 36 − 35 = 1, x = 6 ± 1 = 5 или 7, разность 2.
Ответ: q = 35.
Проверка: x² − 12x + 35 = 0, D₁ = 36 − 35 = 1, x = 6 ± 1 = 5 или 7, разность 2.
Ответ: q = 35.
588. Разность корней квадратного уравнения x² + x + c = 0 равна 6. Найдите c.
Пусть x₁ − x₂ = 6. По теореме Виета x₁ + x₂ = −1. Сложим: 2x₁ = 5, x₁ = 2,5, тогда x₂ = −3,5. Значит, c = x₁x₂ = 2,5 · (−3,5) = −8,75.
Проверка: D = 1 + 35 = 36 > 0, корни (−1 ± 6)/2 = 2,5 и −3,5, разность 6.
Ответ: c = −8,75.
Проверка: D = 1 + 35 = 36 > 0, корни (−1 ± 6)/2 = 2,5 и −3,5, разность 6.
Ответ: c = −8,75.
589. Разность квадратов корней уравнения x² + 2x + q = 0 равна 12. Найдите q.
По теореме Виета x₁ + x₂ = −2, x₁x₂ = q. Разность квадратов x₁² − x₂² = (x₁ − x₂)(x₁ + x₂) = 12, то есть (x₁ − x₂)·(−2) = 12, x₁ − x₂ = −6.
Сложим с x₁ + x₂ = −2: 2x₁ = −8, x₁ = −4, x₂ = 2. Тогда q = −4 · 2 = −8.
Проверка: x² + 2x − 8 = 0, D₁ = 1 + 8 = 9, x = −1 ± 3 = 2 или −4; при x₁ = −4, x₂ = 2 получаем x₁² − x₂² = 16 − 4 = 12.
Ответ: q = −8.
Сложим с x₁ + x₂ = −2: 2x₁ = −8, x₁ = −4, x₂ = 2. Тогда q = −4 · 2 = −8.
Проверка: x² + 2x − 8 = 0, D₁ = 1 + 8 = 9, x = −1 ± 3 = 2 или −4; при x₁ = −4, x₂ = 2 получаем x₁² − x₂² = 16 − 4 = 12.
Ответ: q = −8.
590. Известно, что сумма квадратов корней уравнения x² − 3x + a = 0 равна 65. Найдите a.
По теореме Виета x₁ + x₂ = 3, x₁x₂ = a. Тогда x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 9 − 2a = 65, откуда a = −28.
Проверка: D = 9 + 112 = 121 > 0, корни (3 ± 11)/2 = 7 и −4, 49 + 16 = 65.
Ответ: a = −28.
Проверка: D = 9 + 112 = 121 > 0, корни (3 ± 11)/2 = 7 и −4, 49 + 16 = 65.
Ответ: a = −28.