Глава III. §7. п.22 Решение задач — с. 130
559. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определите длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 м².
Пусть меньшая сторона равна x м, тогда большая x + 10 м. По условию x(x + 10) = 1200, x² + 10x − 1200 = 0.
D₁ = 25 + 1200 = 1225 = 35², x = −5 ± 35, x₁ = −40 (не подходит), x₂ = 30. Стороны 30 м и 40 м. Длина изгороди равна периметру: 2(30 + 40) = 140 м.
Ответ: 140 м.
D₁ = 25 + 1200 = 1225 = 35², x = −5 ± 35, x₁ = −40 (не подходит), x₂ = 30. Стороны 30 м и 40 м. Длина изгороди равна периметру: 2(30 + 40) = 140 м.
Ответ: 140 м.
560. Периметр прямоугольника равен 62 м. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 210 м².
Полупериметр равен 62 : 2 = 31 м. Пусть одна сторона x м, тогда другая 31 − x м. Площадь x(31 − x) = 210, откуда x² − 31x + 210 = 0.
D = 961 − 840 = 121, x = (31 ± 11)/2, x₁ = 10, x₂ = 21. Тогда другая сторона 21 или 10 м — получаем одну и ту же пару сторон.
Ответ: 10 м и 21 м.
D = 961 − 840 = 121, x = (31 ± 11)/2, x₁ = 10, x₂ = 21. Тогда другая сторона 21 или 10 м — получаем одну и ту же пару сторон.
Ответ: 10 м и 21 м.
561. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23 см, а площадь данного треугольника равна 60 см².
Пусть один катет равен x см, тогда другой 23 − x см. Площадь S = x(23 − x)/2 = 60, откуда x(23 − x) = 120, x² − 23x + 120 = 0.
D = 529 − 480 = 49, x = (23 ± 7)/2, x₁ = 8, x₂ = 15. Катеты 8 см и 15 см (проверка: 8 + 15 = 23, 8·15/2 = 60).
Ответ: 8 см и 15 см.
D = 529 − 480 = 49, x = (23 ± 7)/2, x₁ = 8, x₂ = 15. Катеты 8 см и 15 см (проверка: 8 + 15 = 23, 8·15/2 = 60).
Ответ: 8 см и 15 см.
562. Произведение двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на 109. Найдите эти числа.
Пусть меньшее число равно n, тогда большее n + 1. Произведение n(n + 1), сумма 2n + 1. По условию n(n + 1) − (2n + 1) = 109, откуда n² − n − 110 = 0.
D = 1 + 440 = 441 = 21², n = (1 ± 21)/2, n₁ = −10 (не натуральное), n₂ = 11. Числа 11 и 12. Проверка: 132 − 23 = 109.
Ответ: 11 и 12.
D = 1 + 440 = 441 = 21², n = (1 ± 21)/2, n₁ = −10 (не натуральное), n₂ = 11. Числа 11 и 12. Проверка: 132 − 23 = 109.
Ответ: 11 и 12.
563. Площадь доски прямоугольной формы равна 4500 см². Доску распилили на две части, одна из которых представляет собой квадрат, а другая — прямоугольник. Найдите сторону получившегося квадрата, если длина отпиленного прямоугольника равна 120 см.
Пусть сторона квадрата x см. Квадрат отпилен от доски вдоль всей её ширины, поэтому ширина доски равна x см, а длина доски x + 120 см. Площадь x(x + 120) = 4500, x² + 120x − 4500 = 0.
D₁ = 3600 + 4500 = 8100 = 90², x = −60 ± 90, x₁ = −150 (не подходит), x₂ = 30. Сторона квадрата 30 см (доска 30 × 150 см, площадь 4500 см²).
Ответ: 30 см.
D₁ = 3600 + 4500 = 8100 = 90², x = −60 ± 90, x₁ = −150 (не подходит), x₂ = 30. Сторона квадрата 30 см (доска 30 × 150 см, площадь 4500 см²).
Ответ: 30 см.
564. От прямоугольного листа картона длиной 26 см отрезали с двух сторон квадраты, сторона каждого из которых равна ширине листа. Площадь оставшейся части равна 80 см². Найдите ширину листа картона. Покажите, что задача имеет два решения, и для каждого случая сделайте чертёж (в масштабе 1 : 2).
Пусть ширина листа x см. Квадраты со стороной x отрезаны с двух концов листа, поэтому оставшаяся часть — прямоугольник x на (26 − 2x) см. Его площадь x(26 − 2x) = 80, откуда 2x² − 26x + 80 = 0, x² − 13x + 40 = 0.
D = 169 − 160 = 9, x = (13 ± 3)/2, x₁ = 5, x₂ = 8. Оба значения подходят, так как 2x < 26 (10 < 26 и 16 < 26): задача имеет два решения.
1) Ширина 5 см: отрезаны два квадрата 5 × 5 см, остаётся прямоугольник 16 × 5 см, площадь 80 см². На чертеже в масштабе 1 : 2 лист имеет размеры 13 × 2,5 см.
2) Ширина 8 см: отрезаны два квадрата 8 × 8 см, остаётся прямоугольник 10 × 8 см, площадь 80 см². На чертеже в масштабе 1 : 2 лист имеет размеры 13 × 4 см.
Ответ: 5 см или 8 см.
Оговорка: считаем, что квадраты отрезаны от двух противоположных коротких сторон листа; на рисунке сохранены пропорции листа (масштаб 1 : 2 выдерживается при печати чертежа в тетради).
D = 169 − 160 = 9, x = (13 ± 3)/2, x₁ = 5, x₂ = 8. Оба значения подходят, так как 2x < 26 (10 < 26 и 16 < 26): задача имеет два решения.
1) Ширина 5 см: отрезаны два квадрата 5 × 5 см, остаётся прямоугольник 16 × 5 см, площадь 80 см². На чертеже в масштабе 1 : 2 лист имеет размеры 13 × 2,5 см.
2) Ширина 8 см: отрезаны два квадрата 8 × 8 см, остаётся прямоугольник 10 × 8 см, площадь 80 см². На чертеже в масштабе 1 : 2 лист имеет размеры 13 × 4 см.
Ответ: 5 см или 8 см.
Оговорка: считаем, что квадраты отрезаны от двух противоположных коротких сторон листа; на рисунке сохранены пропорции листа (масштаб 1 : 2 выдерживается при печати чертежа в тетради).
565. В прямоугольном треугольнике один из катетов на 3 см меньше гипотенузы, а другой на 6 см меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу.
Пусть гипотенуза равна c см, тогда катеты c − 3 и c − 6 см. По теореме Пифагора (c − 3)² + (c − 6)² = c².
c² − 6c + 9 + c² − 12c + 36 = c², c² − 18c + 45 = 0. D₁ = 81 − 45 = 36, c = 9 ± 6, c₁ = 3, c₂ = 15.
При c = 3 катет c − 6 = −3 < 0 — не подходит. При c = 15 катеты 12 и 9 (12² + 9² = 225 = 15²).
Ответ: 15 см.
c² − 6c + 9 + c² − 12c + 36 = c², c² − 18c + 45 = 0. D₁ = 81 − 45 = 36, c = 9 ± 6, c₁ = 3, c₂ = 15.
При c = 3 катет c − 6 = −3 < 0 — не подходит. При c = 15 катеты 12 и 9 (12² + 9² = 225 = 15²).
Ответ: 15 см.
566. В кинотеатре число мест в ряду на 8 больше числа рядов. Сколько рядов в кинотеатре, если всего в нём имеется 884 места?
Пусть рядов x, тогда мест в ряду x + 8. Всего мест x(x + 8) = 884, x² + 8x − 884 = 0.
D₁ = 16 + 884 = 900, x = −4 ± 30, x₁ = −34 (не подходит), x₂ = 26. Проверка: 26 · 34 = 884.
Ответ: 26 рядов.
D₁ = 16 + 884 = 900, x = −4 ± 30, x₁ = −34 (не подходит), x₂ = 26. Проверка: 26 · 34 = 884.
Ответ: 26 рядов.
567. Старинная задача. Стая обезьян забавляется. Восьмая часть их в квадрате резвится в лесу. Остальные двенадцать кричат на вершине холма. Скажи мне, сколько всего обезьян?
Пусть всего x обезьян. В лесу резвится (x/8)², на холме 12. Тогда (x/8)² + 12 = x, то есть x²/64 + 12 = x. Умножим на 64: x² − 64x + 768 = 0.
D₁ = 1024 − 768 = 256, x = 32 ± 16, x₁ = 16, x₂ = 48. Проверка: при x = 16: (16/8)² + 12 = 4 + 12 = 16; при x = 48: (48/8)² + 12 = 36 + 12 = 48. Оба значения подходят.
Ответ: 16 или 48 обезьян.
D₁ = 1024 − 768 = 256, x = 32 ± 16, x₁ = 16, x₂ = 48. Проверка: при x = 16: (16/8)² + 12 = 4 + 12 = 16; при x = 48: (48/8)² + 12 = 36 + 12 = 48. Оба значения подходят.
Ответ: 16 или 48 обезьян.
568. Старинная задача. Квадрат пятой части обезьян, уменьшенной на 3, спрятался в гроте. Одна обезьяна, влезшая на дерево, была видна. Сколько было обезьян?
Пусть всего x обезьян. Пятая часть, уменьшенная на 3, равна x/5 − 3; её квадрат (x/5 − 3)² — число обезьян в гроте, ещё одна на дереве. Тогда (x/5 − 3)² + 1 = x.
x²/25 − 6x/5 + 9 + 1 = x. Умножим на 25: x² − 30x + 250 = 25x, x² − 55x + 250 = 0.
D = 3025 − 1000 = 2025 = 45², x = (55 ± 45)/2, x₁ = 5, x₂ = 50. При x = 5 величина x/5 − 3 = −2 отрицательна, что по смыслу задачи невозможно. При x = 50: (10 − 3)² + 1 = 49 + 1 = 50.
Ответ: 50 обезьян.
x²/25 − 6x/5 + 9 + 1 = x. Умножим на 25: x² − 30x + 250 = 25x, x² − 55x + 250 = 0.
D = 3025 − 1000 = 2025 = 45², x = (55 ± 45)/2, x₁ = 5, x₂ = 50. При x = 5 величина x/5 − 3 = −2 отрицательна, что по смыслу задачи невозможно. При x = 50: (10 − 3)² + 1 = 49 + 1 = 50.
Ответ: 50 обезьян.
569. Число диагоналей p выпуклого многоугольника вычисляется по формуле p = n(n − 3)/2, где n — число сторон. В каком выпуклом многоугольнике диагоналей на 25 больше, чем сторон?
По условию p = n + 25, то есть n(n − 3)/2 = n + 25. Умножим на 2: n² − 3n = 2n + 50, n² − 5n − 50 = 0.
D = 25 + 200 = 225, n = (5 ± 15)/2, n₁ = −5 (не подходит), n₂ = 10. Проверка: у десятиугольника 10·7/2 = 35 диагоналей, 35 − 10 = 25.
Ответ: в десятиугольнике.
D = 25 + 200 = 225, n = (5 ± 15)/2, n₁ = −5 (не подходит), n₂ = 10. Проверка: у десятиугольника 10·7/2 = 35 диагоналей, 35 − 10 = 25.
Ответ: в десятиугольнике.