Глава III. §7. п.21 Формула корней квадратного уравнения — с. 128
554. Найдите значение выражения: (a − (2a − 1)/a) : ((1 − a)/(3a)) при a = −1,5. [дробь: числитель a − (2a − 1)/a, знаменатель (1 − a)/(3a)]
Упростим числитель: a − (2a − 1)/a = (a² − 2a + 1)/a = (a − 1)²/a.
Делим на дробь: (a − 1)²/a : ((1 − a)/(3a)) = (a − 1)²/a · 3a/(1 − a) = 3(1 − a)²/(1 − a) = 3(1 − a) (a ≠ 0, a ≠ 1).
При a = −1,5: 3(1 + 1,5) = 3 · 2,5 = 7,5.
Ответ: 7,5.
Делим на дробь: (a − 1)²/a : ((1 − a)/(3a)) = (a − 1)²/a · 3a/(1 − a) = 3(1 − a)²/(1 − a) = 3(1 − a) (a ≠ 0, a ≠ 1).
При a = −1,5: 3(1 + 1,5) = 3 · 2,5 = 7,5.
Ответ: 7,5.
555. Упростите выражение: а) (√21 + √14 − 2√35) · √7/7 + √20; б) (√5 + √3 − √15)(√5 − √3) + √75.
а) Умножим каждое слагаемое в скобках на √7/7: √21·√7/7 = √147/7 = 7√3/7 = √3; √14·√7/7 = √98/7 = 7√2/7 = √2; 2√35·√7/7 = 2√245/7 = 2·7√5/7 = 2√5. Значит, выражение равно √3 + √2 − 2√5 + √20 = √3 + √2 − 2√5 + 2√5 = √3 + √2.
б) (√5 + √3)(√5 − √3) = 5 − 3 = 2; √15·(√5 − √3) = √75 − √45 = 5√3 − 3√5. Тогда (√5 + √3 − √15)(√5 − √3) = 2 − 5√3 + 3√5, а √75 = 5√3. Итого: 2 − 5√3 + 3√5 + 5√3 = 2 + 3√5.
Ответ: а) √3 + √2; б) 2 + 3√5.
б) (√5 + √3)(√5 − √3) = 5 − 3 = 2; √15·(√5 − √3) = √75 − √45 = 5√3 − 3√5. Тогда (√5 + √3 − √15)(√5 − √3) = 2 − 5√3 + 3√5, а √75 = 5√3. Итого: 2 − 5√3 + 3√5 + 5√3 = 2 + 3√5.
Ответ: а) √3 + √2; б) 2 + 3√5.
556. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций: а) y = 7x − 1 и y = 2x; б) y = 3x − 11 и y = 4; в) y = 5x + 8 и y = 3x + 2; г) y = 4 − x и y = 3x.
В точке пересечения значения функций равны: приравниваем правые части.
а) 7x − 1 = 2x, 5x = 1, x = 0,2; y = 2·0,2 = 0,4. Точка (0,2; 0,4).
б) 3x − 11 = 4, 3x = 15, x = 5; y = 4. Точка (5; 4).
в) 5x + 8 = 3x + 2, 2x = −6, x = −3; y = 3·(−3) + 2 = −7. Точка (−3; −7).
г) 4 − x = 3x, 4x = 4, x = 1; y = 3. Точка (1; 3).
Ответ: а) (0,2; 0,4); б) (5; 4); в) (−3; −7); г) (1; 3).
а) 7x − 1 = 2x, 5x = 1, x = 0,2; y = 2·0,2 = 0,4. Точка (0,2; 0,4).
б) 3x − 11 = 4, 3x = 15, x = 5; y = 4. Точка (5; 4).
в) 5x + 8 = 3x + 2, 2x = −6, x = −3; y = 3·(−3) + 2 = −7. Точка (−3; −7).
г) 4 − x = 3x, 4x = 4, x = 1; y = 3. Точка (1; 3).
Ответ: а) (0,2; 0,4); б) (5; 4); в) (−3; −7); г) (1; 3).