Глава III. §7. п.21 Формула корней квадратного уравнения — с. 126
540. Решите уравнение: а) 5x² = 9x + 2; б) −t² = 5t − 14; в) 6x + 9 = x²; г) z − 5 = z² − 25; д) y² = 52y − 576; е) 15y² − 30 = 22y + 7; ж) 25p² = 10p − 1; з) 299x² + 100x = 500 − 101x².
Переносим все члены в одну часть и приводим к виду ax² + bx + c = 0.
а) 5x² = 9x + 2 ⇔ 5x² − 9x − 2 = 0
D = (−9)² − 4·5·(−2) = 81 + 40 = 121 > 0, x = (9 ± 11)/10, x₁ = −1/5, x₂ = 2.
б) −t² = 5t − 14 ⇔ t² + 5t − 14 = 0
D = 5² − 4·1·(−14) = 25 + 56 = 81 > 0, t = (−5 ± 9)/2, t₁ = −7, t₂ = 2.
в) 6x + 9 = x² ⇔ x² − 6x − 9 = 0
D = (−6)² − 4·1·(−9) = 36 + 36 = 72 > 0, √D = 6√2, x = (6 ± 6√2)/2, x₁ = 3 − 3√2, x₂ = 3 + 3√2.
г) z − 5 = z² − 25 ⇔ z² − z − 20 = 0
D = (−1)² − 4·1·(−20) = 1 + 80 = 81 > 0, z = (1 ± 9)/2, z₁ = −4, z₂ = 5.
д) y² = 52y − 576 ⇔ y² − 52y + 576 = 0
D = (−52)² − 4·1·576 = 2704 − 2304 = 400 > 0, y = (52 ± 20)/2, y₁ = 16, y₂ = 36.
е) 15y² − 30 = 22y + 7 ⇔ 15y² − 22y − 37 = 0
D = (−22)² − 4·15·(−37) = 484 + 2220 = 2704 > 0, y = (22 ± 52)/30, y₁ = −1, y₂ = 37/15.
ж) 25p² = 10p − 1 ⇔ 25p² − 10p + 1 = 0
D = (−10)² − 4·25·1 = 100 − 100 = 0, один корень: p = 1/5.
з) 299x² + 100x = 500 − 101x² ⇔ 400x² + 100x − 500 = 0 ⇔ 4x² + x − 5 = 0
D = 1² − 4·4·(−5) = 1 + 80 = 81 > 0, x = (−1 ± 9)/8, x₁ = −5/4, x₂ = 1.
Ответ: а) x₁ = −1/5, x₂ = 2; б) t₁ = −7, t₂ = 2; в) x₁ = 3 − 3√2, x₂ = 3 + 3√2; г) z₁ = −4, z₂ = 5; д) y₁ = 16, y₂ = 36; е) y₁ = −1, y₂ = 37/15; ж) p = 1/5; з) x₁ = −5/4, x₂ = 1.
а) 5x² = 9x + 2 ⇔ 5x² − 9x − 2 = 0
D = (−9)² − 4·5·(−2) = 81 + 40 = 121 > 0, x = (9 ± 11)/10, x₁ = −1/5, x₂ = 2.
б) −t² = 5t − 14 ⇔ t² + 5t − 14 = 0
D = 5² − 4·1·(−14) = 25 + 56 = 81 > 0, t = (−5 ± 9)/2, t₁ = −7, t₂ = 2.
в) 6x + 9 = x² ⇔ x² − 6x − 9 = 0
D = (−6)² − 4·1·(−9) = 36 + 36 = 72 > 0, √D = 6√2, x = (6 ± 6√2)/2, x₁ = 3 − 3√2, x₂ = 3 + 3√2.
г) z − 5 = z² − 25 ⇔ z² − z − 20 = 0
D = (−1)² − 4·1·(−20) = 1 + 80 = 81 > 0, z = (1 ± 9)/2, z₁ = −4, z₂ = 5.
д) y² = 52y − 576 ⇔ y² − 52y + 576 = 0
D = (−52)² − 4·1·576 = 2704 − 2304 = 400 > 0, y = (52 ± 20)/2, y₁ = 16, y₂ = 36.
е) 15y² − 30 = 22y + 7 ⇔ 15y² − 22y − 37 = 0
D = (−22)² − 4·15·(−37) = 484 + 2220 = 2704 > 0, y = (22 ± 52)/30, y₁ = −1, y₂ = 37/15.
ж) 25p² = 10p − 1 ⇔ 25p² − 10p + 1 = 0
D = (−10)² − 4·25·1 = 100 − 100 = 0, один корень: p = 1/5.
з) 299x² + 100x = 500 − 101x² ⇔ 400x² + 100x − 500 = 0 ⇔ 4x² + x − 5 = 0
D = 1² − 4·4·(−5) = 1 + 80 = 81 > 0, x = (−1 ± 9)/8, x₁ = −5/4, x₂ = 1.
Ответ: а) x₁ = −1/5, x₂ = 2; б) t₁ = −7, t₂ = 2; в) x₁ = 3 − 3√2, x₂ = 3 + 3√2; г) z₁ = −4, z₂ = 5; д) y₁ = 16, y₂ = 36; е) y₁ = −1, y₂ = 37/15; ж) p = 1/5; з) x₁ = −5/4, x₂ = 1.
541. Решите уравнение: а) 25 = 26x − x²; б) 3t² = 10 − 29t; в) y² = 4y + 96; г) 3p² + 3 = 10p; д) x² − 20x = 20x + 100; е) 25x² − 13x = 10x² − 7.
Приводим к виду ax² + bx + c = 0.
а) 25 = 26x − x² ⇔ x² − 26x + 25 = 0
D = (−26)² − 4·1·25 = 676 − 100 = 576 > 0, x = (26 ± 24)/2, x₁ = 1, x₂ = 25.
б) 3t² = 10 − 29t ⇔ 3t² + 29t − 10 = 0
D = 29² − 4·3·(−10) = 841 + 120 = 961 > 0, t = (−29 ± 31)/6, t₁ = −10, t₂ = 1/3.
в) y² = 4y + 96 ⇔ y² − 4y − 96 = 0
D = (−4)² − 4·1·(−96) = 16 + 384 = 400 > 0, y = (4 ± 20)/2, y₁ = −8, y₂ = 12.
г) 3p² + 3 = 10p ⇔ 3p² − 10p + 3 = 0
D = (−10)² − 4·3·3 = 100 − 36 = 64 > 0, p = (10 ± 8)/6, p₁ = 1/3, p₂ = 3.
д) x² − 20x = 20x + 100 ⇔ x² − 40x − 100 = 0
D = (−40)² − 4·1·(−100) = 1600 + 400 = 2000 > 0, √D = 20√5, x = (40 ± 20√5)/2, x₁ = 20 − 10√5, x₂ = 20 + 10√5.
е) 25x² − 13x = 10x² − 7 ⇔ 15x² − 13x + 7 = 0
D = (−13)² − 4·15·7 = 169 − 420 = −251 < 0, корней нет.
Ответ: а) x₁ = 1, x₂ = 25; б) t₁ = −10, t₂ = 1/3; в) y₁ = −8, y₂ = 12; г) p₁ = 1/3, p₂ = 3; д) x₁ = 20 − 10√5, x₂ = 20 + 10√5; е) корней нет.
а) 25 = 26x − x² ⇔ x² − 26x + 25 = 0
D = (−26)² − 4·1·25 = 676 − 100 = 576 > 0, x = (26 ± 24)/2, x₁ = 1, x₂ = 25.
б) 3t² = 10 − 29t ⇔ 3t² + 29t − 10 = 0
D = 29² − 4·3·(−10) = 841 + 120 = 961 > 0, t = (−29 ± 31)/6, t₁ = −10, t₂ = 1/3.
в) y² = 4y + 96 ⇔ y² − 4y − 96 = 0
D = (−4)² − 4·1·(−96) = 16 + 384 = 400 > 0, y = (4 ± 20)/2, y₁ = −8, y₂ = 12.
г) 3p² + 3 = 10p ⇔ 3p² − 10p + 3 = 0
D = (−10)² − 4·3·3 = 100 − 36 = 64 > 0, p = (10 ± 8)/6, p₁ = 1/3, p₂ = 3.
д) x² − 20x = 20x + 100 ⇔ x² − 40x − 100 = 0
D = (−40)² − 4·1·(−100) = 1600 + 400 = 2000 > 0, √D = 20√5, x = (40 ± 20√5)/2, x₁ = 20 − 10√5, x₂ = 20 + 10√5.
е) 25x² − 13x = 10x² − 7 ⇔ 15x² − 13x + 7 = 0
D = (−13)² − 4·15·7 = 169 − 420 = −251 < 0, корней нет.
Ответ: а) x₁ = 1, x₂ = 25; б) t₁ = −10, t₂ = 1/3; в) y₁ = −8, y₂ = 12; г) p₁ = 1/3, p₂ = 3; д) x₁ = 20 − 10√5, x₂ = 20 + 10√5; е) корней нет.
542. Найдите корни уравнения: а) (2x − 3)(5x + 1) = 2x + 2/5; б) (3y − 1)(y + 3) = y(1 + 6y); в) (t − 1)(t + 1) = 2(5t − 10 1/2); г) −z(z + 7) = (z − 2)(z + 2).
а) Раскроем скобки: 10x² + 2x − 15x − 3 = 2x + 2/5, то есть 10x² − 13x − 3 = 2x + 2/5. Умножим на 5 и перенесём всё влево: 50x² − 65x − 15 − 10x − 2 = 0, 50x² − 75x − 17 = 0.
D = (−75)² − 4·50·(−17) = 5625 + 3400 = 9025 = 95², x = (75 ± 95)/100, x₁ = −1/5, x₂ = 17/10.
б) 3y² + 9y − y − 3 = y + 6y², то есть 3y² + 8y − 3 = 6y² + y. Отсюда 3y² − 7y + 3 = 0. D = 49 − 36 = 13, y = (7 ± √13)/6.
в) t² − 1 = 10t − 21, откуда t² − 10t + 20 = 0 (2·10 1/2 = 21). D₁ = 25 − 20 = 5, t = 5 ± √5.
г) −z² − 7z = z² − 4, откуда 2z² + 7z − 4 = 0. D = 49 + 32 = 81, z = (−7 ± 9)/4, z₁ = −4, z₂ = 1/2.
Ответ: а) −1/5 и 17/10; б) (7 − √13)/6 и (7 + √13)/6; в) 5 − √5 и 5 + √5; г) −4 и 1/2.
D = (−75)² − 4·50·(−17) = 5625 + 3400 = 9025 = 95², x = (75 ± 95)/100, x₁ = −1/5, x₂ = 17/10.
б) 3y² + 9y − y − 3 = y + 6y², то есть 3y² + 8y − 3 = 6y² + y. Отсюда 3y² − 7y + 3 = 0. D = 49 − 36 = 13, y = (7 ± √13)/6.
в) t² − 1 = 10t − 21, откуда t² − 10t + 20 = 0 (2·10 1/2 = 21). D₁ = 25 − 20 = 5, t = 5 ± √5.
г) −z² − 7z = z² − 4, откуда 2z² + 7z − 4 = 0. D = 49 + 32 = 81, z = (−7 ± 9)/4, z₁ = −4, z₂ = 1/2.
Ответ: а) −1/5 и 17/10; б) (7 − √13)/6 и (7 + √13)/6; в) 5 − √5 и 5 + √5; г) −4 и 1/2.
543. Решите уравнение: а) (x + 4)² = 3x + 40; б) (2p − 3)² = 11p − 19; в) 3(x + 4)² = 10x + 32; г) 15y² + 17 = 15(y + 1)²; д) (x + 1)² = 7918 − 2x; е) (m + 2)² = 3131 − 2m; ж) (x + 1)² = (2x − 1)²; з) (n − 2)² + 48 = (2 − 3n)².
а) x² + 8x + 16 = 3x + 40, x² + 5x − 24 = 0. D = 25 + 96 = 121, x = (−5 ± 11)/2, x₁ = −8, x₂ = 3.
б) 4p² − 12p + 9 = 11p − 19, 4p² − 23p + 28 = 0. D = 529 − 448 = 81, p = (23 ± 9)/8, p₁ = 7/4, p₂ = 4.
в) 3x² + 24x + 48 = 10x + 32, 3x² + 14x + 16 = 0. D₁ = 49 − 48 = 1, x = (−7 ± 1)/3, x₁ = −8/3, x₂ = −2.
г) 15y² + 17 = 15y² + 30y + 15, откуда 30y = 2, y = 1/15 (уравнение линейное, один корень).
д) x² + 2x + 1 = 7918 − 2x, x² + 4x − 7917 = 0. D₁ = 4 + 7917 = 7921 = 89², x = −2 ± 89, x₁ = −91, x₂ = 87.
е) m² + 4m + 4 = 3131 − 2m, m² + 6m − 3127 = 0. D₁ = 9 + 3127 = 3136 = 56², m = −3 ± 56, m₁ = −59, m₂ = 53.
ж) x² + 2x + 1 = 4x² − 4x + 1, 3x² − 6x = 0, 3x(x − 2) = 0, x = 0 или x = 2.
з) n² − 4n + 4 + 48 = 4 − 12n + 9n², 8n² − 8n − 48 = 0, n² − n − 6 = 0. D = 1 + 24 = 25, n = (1 ± 5)/2, n₁ = −2, n₂ = 3.
Ответ: а) −8 и 3; б) 7/4 и 4; в) −8/3 и −2; г) 1/15; д) −91 и 87; е) −59 и 53; ж) 0 и 2; з) −2 и 3.
б) 4p² − 12p + 9 = 11p − 19, 4p² − 23p + 28 = 0. D = 529 − 448 = 81, p = (23 ± 9)/8, p₁ = 7/4, p₂ = 4.
в) 3x² + 24x + 48 = 10x + 32, 3x² + 14x + 16 = 0. D₁ = 49 − 48 = 1, x = (−7 ± 1)/3, x₁ = −8/3, x₂ = −2.
г) 15y² + 17 = 15y² + 30y + 15, откуда 30y = 2, y = 1/15 (уравнение линейное, один корень).
д) x² + 2x + 1 = 7918 − 2x, x² + 4x − 7917 = 0. D₁ = 4 + 7917 = 7921 = 89², x = −2 ± 89, x₁ = −91, x₂ = 87.
е) m² + 4m + 4 = 3131 − 2m, m² + 6m − 3127 = 0. D₁ = 9 + 3127 = 3136 = 56², m = −3 ± 56, m₁ = −59, m₂ = 53.
ж) x² + 2x + 1 = 4x² − 4x + 1, 3x² − 6x = 0, 3x(x − 2) = 0, x = 0 или x = 2.
з) n² − 4n + 4 + 48 = 4 − 12n + 9n², 8n² − 8n − 48 = 0, n² − n − 6 = 0. D = 1 + 24 = 25, n = (1 ± 5)/2, n₁ = −2, n₂ = 3.
Ответ: а) −8 и 3; б) 7/4 и 4; в) −8/3 и −2; г) 1/15; д) −91 и 87; е) −59 и 53; ж) 0 и 2; з) −2 и 3.
544. Решите уравнение: а) (x² − 1)/2 − 11x = 11; б) (x² + x)/2 = (8x − 7)/3; в) (4x² − 1)/3 = x(10x − 9); г) (3/4)x² − (2/5)x = (4/5)x² + 3/4.
а) Умножим обе части на 2: x² − 1 − 22x = 22, x² − 22x − 23 = 0. D₁ = 121 + 23 = 144, x = 11 ± 12, x₁ = −1, x₂ = 23.
б) Умножим на 6: 3(x² + x) = 2(8x − 7), 3x² + 3x = 16x − 14, 3x² − 13x + 14 = 0. D = 169 − 168 = 1, x = (13 ± 1)/6, x₁ = 2, x₂ = 7/3.
в) Умножим на 3: 4x² − 1 = 30x² − 27x, 26x² − 27x + 1 = 0. D = 729 − 104 = 625, x = (27 ± 25)/52, x₁ = 1/26, x₂ = 1.
г) Умножим на 20: 15x² − 8x = 16x² + 15, x² + 8x + 15 = 0. D₁ = 16 − 15 = 1, x = −4 ± 1, x₁ = −5, x₂ = −3.
Ответ: а) −1 и 23; б) 2 и 7/3; в) 1/26 и 1; г) −5 и −3.
б) Умножим на 6: 3(x² + x) = 2(8x − 7), 3x² + 3x = 16x − 14, 3x² − 13x + 14 = 0. D = 169 − 168 = 1, x = (13 ± 1)/6, x₁ = 2, x₂ = 7/3.
в) Умножим на 3: 4x² − 1 = 30x² − 27x, 26x² − 27x + 1 = 0. D = 729 − 104 = 625, x = (27 ± 25)/52, x₁ = 1/26, x₂ = 1.
г) Умножим на 20: 15x² − 8x = 16x² + 15, x² + 8x + 15 = 0. D₁ = 16 − 15 = 1, x = −4 ± 1, x₁ = −5, x₂ = −3.
Ответ: а) −1 и 23; б) 2 и 7/3; в) 1/26 и 1; г) −5 и −3.
545. Найдите корни уравнения и укажите их приближённые значения в виде десятичных дробей с точностью до 0,01: а) 5x² − x − 1 = 0; б) 2x² + 7x + 4 = 0; в) 3(y² − 2) − y = 0; г) y² + 8(y − 1) = 3.
а) D = 1 + 20 = 21, x = (1 ± √21)/10. √21 ≈ 4,583, x₁ ≈ (1 − 4,583)/10 ≈ −0,36, x₂ ≈ (1 + 4,583)/10 ≈ 0,56.
б) D = 49 − 32 = 17, x = (−7 ± √17)/4. √17 ≈ 4,123, x₁ ≈ (−7 − 4,123)/4 ≈ −2,78, x₂ ≈ (−7 + 4,123)/4 ≈ −0,72.
в) 3y² − 6 − y = 0, то есть 3y² − y − 6 = 0. D = 1 + 72 = 73, y = (1 ± √73)/6. √73 ≈ 8,544, y₁ ≈ (1 − 8,544)/6 ≈ −1,26, y₂ ≈ (1 + 8,544)/6 ≈ 1,59.
г) y² + 8y − 8 = 3, то есть y² + 8y − 11 = 0. D₁ = 16 + 11 = 27, y = −4 ± 3√3. 3√3 ≈ 5,196, y₁ ≈ −9,20, y₂ ≈ 1,20.
Ответ: а) (1 ± √21)/10 ≈ −0,36 и 0,56; б) (−7 ± √17)/4 ≈ −2,78 и −0,72; в) (1 ± √73)/6 ≈ −1,26 и 1,59; г) −4 ± 3√3 ≈ −9,20 и 1,20.
б) D = 49 − 32 = 17, x = (−7 ± √17)/4. √17 ≈ 4,123, x₁ ≈ (−7 − 4,123)/4 ≈ −2,78, x₂ ≈ (−7 + 4,123)/4 ≈ −0,72.
в) 3y² − 6 − y = 0, то есть 3y² − y − 6 = 0. D = 1 + 72 = 73, y = (1 ± √73)/6. √73 ≈ 8,544, y₁ ≈ (1 − 8,544)/6 ≈ −1,26, y₂ ≈ (1 + 8,544)/6 ≈ 1,59.
г) y² + 8y − 8 = 3, то есть y² + 8y − 11 = 0. D₁ = 16 + 11 = 27, y = −4 ± 3√3. 3√3 ≈ 5,196, y₁ ≈ −9,20, y₂ ≈ 1,20.
Ответ: а) (1 ± √21)/10 ≈ −0,36 и 0,56; б) (−7 ± √17)/4 ≈ −2,78 и −0,72; в) (1 ± √73)/6 ≈ −1,26 и 1,59; г) −4 ± 3√3 ≈ −9,20 и 1,20.
546. (Для работы в парах.) Решите графически уравнение: а) x² − 2x − 1 = 0; б) x² − 4x + 2 = 0.
1. Обсудите друг с другом, в каком виде удобно представить уравнение.
2. Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3. Найдите корни каждого из уравнений с помощью формулы корней квадратного уравнения и сравните их со значениями, найденными при графическом решении.
1) Удобно записать уравнение в виде x² = kx + m: слева стоит парабола y = x² (одна и та же для обоих заданий), справа — прямая. Абсциссы точек пересечения и есть корни.
2) а) x² − 2x − 1 = 0 ⇔ x² = 2x + 1. Строим параболу y = x² и прямую y = 2x + 1 (точки (0; 1) и (1; 3)). Абсциссы точек пересечения приближённо равны −0,4 и 2,4.
б) x² − 4x + 2 = 0 ⇔ x² = 4x − 2. Строим ту же параболу и прямую y = 4x − 2 (точки (0; −2) и (1; 2)). Абсциссы точек пересечения приближённо равны 0,6 и 3,4.
3) а) D₁ = 1 + 1 = 2, x = 1 ± √2 ≈ −0,41 и 2,41. б) D₁ = 4 − 2 = 2, x = 2 ± √2 ≈ 0,59 и 3,41. Значения, найденные по графику, совпадают с точными с точностью до 0,1; графический способ даёт лишь приближённые значения.
Ответ: а) 1 − √2 и 1 + √2; б) 2 − √2 и 2 + √2.
2) а) x² − 2x − 1 = 0 ⇔ x² = 2x + 1. Строим параболу y = x² и прямую y = 2x + 1 (точки (0; 1) и (1; 3)). Абсциссы точек пересечения приближённо равны −0,4 и 2,4.
б) x² − 4x + 2 = 0 ⇔ x² = 4x − 2. Строим ту же параболу и прямую y = 4x − 2 (точки (0; −2) и (1; 2)). Абсциссы точек пересечения приближённо равны 0,6 и 3,4.
3) а) D₁ = 1 + 1 = 2, x = 1 ± √2 ≈ −0,41 и 2,41. б) D₁ = 4 − 2 = 2, x = 2 ± √2 ≈ 0,59 и 3,41. Значения, найденные по графику, совпадают с точными с точностью до 0,1; графический способ даёт лишь приближённые значения.
Ответ: а) 1 − √2 и 1 + √2; б) 2 − √2 и 2 + √2.
547. Решите уравнение x² = 0,5x + 3 сначала графически, а затем с помощью формулы корней.
Графически. Строим в одной системе координат параболу y = x² и прямую y = 0,5x + 3 (точки (0; 3) и (2; 4)). Они пересекаются в двух точках, абсциссы которых равны −1,5 и 2.
По формуле. x² = 0,5x + 3 ⇔ x² − 0,5x − 3 = 0, умножим на 2: 2x² − x − 6 = 0. D = 1 + 48 = 49, x = (1 ± 7)/4, x₁ = −3/2 = −1,5, x₂ = 2.
Оба способа дают один результат.
Ответ: −1,5 и 2.
По формуле. x² = 0,5x + 3 ⇔ x² − 0,5x − 3 = 0, умножим на 2: 2x² − x − 6 = 0. D = 1 + 48 = 49, x = (1 ± 7)/4, x₁ = −3/2 = −1,5, x₂ = 2.
Оба способа дают один результат.
Ответ: −1,5 и 2.