Глава III. §7. п.21 Формула корней квадратного уравнения — с. 125
531. Вычислите дискриминант квадратного уравнения и укажите число его корней: а) 2x² + 3x + 1 = 0; б) 2x² + x + 2 = 0; в) 9x² + 6x + 1 = 0; г) x² + 5x − 6 = 0.
Дискриминант D = b² − 4ac. Если D > 0, уравнение имеет два корня, если D = 0 — один, если D < 0 — корней нет.
а) 2x² + 3x + 1 = 0: D = 3² − 4·2·1 = 9 − 8 = 1 > 0, два корня.
б) 2x² + x + 2 = 0: D = 1² − 4·2·2 = 1 − 16 = −15 < 0, корней нет.
в) 9x² + 6x + 1 = 0: D = 6² − 4·9·1 = 36 − 36 = 0, один корень.
г) x² + 5x − 6 = 0: D = 5² − 4·1·(−6) = 25 + 24 = 49 > 0, два корня.
Ответ: а) D = 1, два корня; б) D = −15, корней нет; в) D = 0, один корень; г) D = 49, два корня.
а) 2x² + 3x + 1 = 0: D = 3² − 4·2·1 = 9 − 8 = 1 > 0, два корня.
б) 2x² + x + 2 = 0: D = 1² − 4·2·2 = 1 − 16 = −15 < 0, корней нет.
в) 9x² + 6x + 1 = 0: D = 6² − 4·9·1 = 36 − 36 = 0, один корень.
г) x² + 5x − 6 = 0: D = 5² − 4·1·(−6) = 25 + 24 = 49 > 0, два корня.
Ответ: а) D = 1, два корня; б) D = −15, корней нет; в) D = 0, один корень; г) D = 49, два корня.
532. Решите уравнение: а) 3x² − 7x + 4 = 0; б) 5x² − 8x + 3 = 0; в) 3x² − 13x + 14 = 0; г) 2y² − 9y + 10 = 0; д) 5y² − 6y + 1 = 0; е) 4x² + x − 33 = 0; ж) y² − 10y − 24 = 0; з) p² + p − 90 = 0.
Применяем формулу корней x = (−b ± √D)/(2a), где D = b² − 4ac.
а) 3x² − 7x + 4 = 0
D = (−7)² − 4·3·4 = 49 − 48 = 1 > 0, x = (7 ± 1)/6, x₁ = 1, x₂ = 4/3.
б) 5x² − 8x + 3 = 0
D = (−8)² − 4·5·3 = 64 − 60 = 4 > 0, x = (8 ± 2)/10, x₁ = 3/5, x₂ = 1.
в) 3x² − 13x + 14 = 0
D = (−13)² − 4·3·14 = 169 − 168 = 1 > 0, x = (13 ± 1)/6, x₁ = 2, x₂ = 7/3.
г) 2y² − 9y + 10 = 0
D = (−9)² − 4·2·10 = 81 − 80 = 1 > 0, y = (9 ± 1)/4, y₁ = 2, y₂ = 5/2.
д) 5y² − 6y + 1 = 0
D = (−6)² − 4·5·1 = 36 − 20 = 16 > 0, y = (6 ± 4)/10, y₁ = 1/5, y₂ = 1.
е) 4x² + x − 33 = 0
D = 1² − 4·4·(−33) = 1 + 528 = 529 > 0, x = (−1 ± 23)/8, x₁ = −3, x₂ = 11/4.
ж) y² − 10y − 24 = 0
D = (−10)² − 4·1·(−24) = 100 + 96 = 196 > 0, y = (10 ± 14)/2, y₁ = −2, y₂ = 12.
з) p² + p − 90 = 0
D = 1² − 4·1·(−90) = 1 + 360 = 361 > 0, p = (−1 ± 19)/2, p₁ = −10, p₂ = 9.
Ответ: а) x₁ = 1, x₂ = 4/3; б) x₁ = 3/5, x₂ = 1; в) x₁ = 2, x₂ = 7/3; г) y₁ = 2, y₂ = 5/2; д) y₁ = 1/5, y₂ = 1; е) x₁ = −3, x₂ = 11/4; ж) y₁ = −2, y₂ = 12; з) p₁ = −10, p₂ = 9.
а) 3x² − 7x + 4 = 0
D = (−7)² − 4·3·4 = 49 − 48 = 1 > 0, x = (7 ± 1)/6, x₁ = 1, x₂ = 4/3.
б) 5x² − 8x + 3 = 0
D = (−8)² − 4·5·3 = 64 − 60 = 4 > 0, x = (8 ± 2)/10, x₁ = 3/5, x₂ = 1.
в) 3x² − 13x + 14 = 0
D = (−13)² − 4·3·14 = 169 − 168 = 1 > 0, x = (13 ± 1)/6, x₁ = 2, x₂ = 7/3.
г) 2y² − 9y + 10 = 0
D = (−9)² − 4·2·10 = 81 − 80 = 1 > 0, y = (9 ± 1)/4, y₁ = 2, y₂ = 5/2.
д) 5y² − 6y + 1 = 0
D = (−6)² − 4·5·1 = 36 − 20 = 16 > 0, y = (6 ± 4)/10, y₁ = 1/5, y₂ = 1.
е) 4x² + x − 33 = 0
D = 1² − 4·4·(−33) = 1 + 528 = 529 > 0, x = (−1 ± 23)/8, x₁ = −3, x₂ = 11/4.
ж) y² − 10y − 24 = 0
D = (−10)² − 4·1·(−24) = 100 + 96 = 196 > 0, y = (10 ± 14)/2, y₁ = −2, y₂ = 12.
з) p² + p − 90 = 0
D = 1² − 4·1·(−90) = 1 + 360 = 361 > 0, p = (−1 ± 19)/2, p₁ = −10, p₂ = 9.
Ответ: а) x₁ = 1, x₂ = 4/3; б) x₁ = 3/5, x₂ = 1; в) x₁ = 2, x₂ = 7/3; г) y₁ = 2, y₂ = 5/2; д) y₁ = 1/5, y₂ = 1; е) x₁ = −3, x₂ = 11/4; ж) y₁ = −2, y₂ = 12; з) p₁ = −10, p₂ = 9.
533. Решите уравнение: а) 14x² − 5x − 1 = 0; б) −y² + 3y + 5 = 0; в) 2x² + x + 67 = 0; г) 1 − 18p + 81p² = 0; д) −11y + y² − 152 = 0; е) 18 + 3x² − x = 0.
Приводим каждое уравнение к виду ax² + bx + c = 0 и применяем формулу корней.
а) 14x² − 5x − 1 = 0
D = (−5)² − 4·14·(−1) = 25 + 56 = 81 > 0, x = (5 ± 9)/28, x₁ = −1/7, x₂ = 1/2.
б) умножим обе части на −1: y² − 3y − 5 = 0
D = (−3)² − 4·1·(−5) = 9 + 20 = 29 > 0, √D = √29, y = (3 ± √29)/2, y₁ = (3 − √29)/2, y₂ = (3 + √29)/2.
в) 2x² + x + 67 = 0
D = 1² − 4·2·67 = 1 − 536 = −535 < 0, корней нет.
г) расположим члены по степеням: 81p² − 18p + 1 = 0
D = (−18)² − 4·81·1 = 324 − 324 = 0, один корень: p = 1/9.
д) расположим члены по степеням: y² − 11y − 152 = 0
D = (−11)² − 4·1·(−152) = 121 + 608 = 729 > 0, y = (11 ± 27)/2, y₁ = −8, y₂ = 19.
е) расположим члены по степеням: 3x² − x + 18 = 0
D = (−1)² − 4·3·18 = 1 − 216 = −215 < 0, корней нет.
Ответ: а) x₁ = −1/7, x₂ = 1/2; б) y₁ = (3 − √29)/2, y₂ = (3 + √29)/2; в) корней нет; г) p = 1/9; д) y₁ = −8, y₂ = 19; е) корней нет.
а) 14x² − 5x − 1 = 0
D = (−5)² − 4·14·(−1) = 25 + 56 = 81 > 0, x = (5 ± 9)/28, x₁ = −1/7, x₂ = 1/2.
б) умножим обе части на −1: y² − 3y − 5 = 0
D = (−3)² − 4·1·(−5) = 9 + 20 = 29 > 0, √D = √29, y = (3 ± √29)/2, y₁ = (3 − √29)/2, y₂ = (3 + √29)/2.
в) 2x² + x + 67 = 0
D = 1² − 4·2·67 = 1 − 536 = −535 < 0, корней нет.
г) расположим члены по степеням: 81p² − 18p + 1 = 0
D = (−18)² − 4·81·1 = 324 − 324 = 0, один корень: p = 1/9.
д) расположим члены по степеням: y² − 11y − 152 = 0
D = (−11)² − 4·1·(−152) = 121 + 608 = 729 > 0, y = (11 ± 27)/2, y₁ = −8, y₂ = 19.
е) расположим члены по степеням: 3x² − x + 18 = 0
D = (−1)² − 4·3·18 = 1 − 216 = −215 < 0, корней нет.
Ответ: а) x₁ = −1/7, x₂ = 1/2; б) y₁ = (3 − √29)/2, y₂ = (3 + √29)/2; в) корней нет; г) p = 1/9; д) y₁ = −8, y₂ = 19; е) корней нет.
534. Найдите корни уравнения: а) 5x² − 11x + 2 = 0; б) 2p² + 7p − 30 = 0; в) 9y² − 30y + 25 = 0; г) 35x² + 2x − 1 = 0; д) 2y² − y − 5 = 0; е) 16x² − 8x + 1 = 0.
а) 5x² − 11x + 2 = 0
D = (−11)² − 4·5·2 = 121 − 40 = 81 > 0, x = (11 ± 9)/10, x₁ = 1/5, x₂ = 2.
б) 2p² + 7p − 30 = 0
D = 7² − 4·2·(−30) = 49 + 240 = 289 > 0, p = (−7 ± 17)/4, p₁ = −6, p₂ = 5/2.
в) 9y² − 30y + 25 = 0
D = (−30)² − 4·9·25 = 900 − 900 = 0, один корень: y = 5/3.
г) 35x² + 2x − 1 = 0
D = 2² − 4·35·(−1) = 4 + 140 = 144 > 0, x = (−2 ± 12)/70, x₁ = −1/5, x₂ = 1/7.
д) 2y² − y − 5 = 0
D = (−1)² − 4·2·(−5) = 1 + 40 = 41 > 0, √D = √41, y = (1 ± √41)/4, y₁ = (1 − √41)/4, y₂ = (1 + √41)/4.
е) 16x² − 8x + 1 = 0
D = (−8)² − 4·16·1 = 64 − 64 = 0, один корень: x = 1/4.
Ответ: а) x₁ = 1/5, x₂ = 2; б) p₁ = −6, p₂ = 5/2; в) y = 5/3; г) x₁ = −1/5, x₂ = 1/7; д) y₁ = (1 − √41)/4, y₂ = (1 + √41)/4; е) x = 1/4.
D = (−11)² − 4·5·2 = 121 − 40 = 81 > 0, x = (11 ± 9)/10, x₁ = 1/5, x₂ = 2.
б) 2p² + 7p − 30 = 0
D = 7² − 4·2·(−30) = 49 + 240 = 289 > 0, p = (−7 ± 17)/4, p₁ = −6, p₂ = 5/2.
в) 9y² − 30y + 25 = 0
D = (−30)² − 4·9·25 = 900 − 900 = 0, один корень: y = 5/3.
г) 35x² + 2x − 1 = 0
D = 2² − 4·35·(−1) = 4 + 140 = 144 > 0, x = (−2 ± 12)/70, x₁ = −1/5, x₂ = 1/7.
д) 2y² − y − 5 = 0
D = (−1)² − 4·2·(−5) = 1 + 40 = 41 > 0, √D = √41, y = (1 ± √41)/4, y₁ = (1 − √41)/4, y₂ = (1 + √41)/4.
е) 16x² − 8x + 1 = 0
D = (−8)² − 4·16·1 = 64 − 64 = 0, один корень: x = 1/4.
Ответ: а) x₁ = 1/5, x₂ = 2; б) p₁ = −6, p₂ = 5/2; в) y = 5/3; г) x₁ = −1/5, x₂ = 1/7; д) y₁ = (1 − √41)/4, y₂ = (1 + √41)/4; е) x = 1/4.
535. При каких значениях x: а) трёхчлен x² − 11x + 31 принимает значение, равное 1; б) значения многочленов x² − 5x − 3 и 2x − 5 равны; в) двучлен 7x + 1 равен трёхчлену 3x² − 2x + 1; г) трёхчлен −2x² + 5x + 6 равен двучлену 4x² + 5x?
а) x² − 11x + 31 = 1, откуда x² − 11x + 30 = 0. D = 121 − 120 = 1, x = (11 ± 1)/2, x₁ = 5, x₂ = 6.
б) x² − 5x − 3 = 2x − 5, откуда x² − 7x + 2 = 0. D = 49 − 8 = 41, x = (7 ± √41)/2.
в) 7x + 1 = 3x² − 2x + 1, откуда 3x² − 9x = 0, 3x(x − 3) = 0, x = 0 или x = 3.
г) −2x² + 5x + 6 = 4x² + 5x, откуда 6x² = 6, x² = 1, x = 1 или x = −1.
Ответ: а) 5 и 6; б) (7 − √41)/2 и (7 + √41)/2; в) 0 и 3; г) −1 и 1.
б) x² − 5x − 3 = 2x − 5, откуда x² − 7x + 2 = 0. D = 49 − 8 = 41, x = (7 ± √41)/2.
в) 7x + 1 = 3x² − 2x + 1, откуда 3x² − 9x = 0, 3x(x − 3) = 0, x = 0 или x = 3.
г) −2x² + 5x + 6 = 4x² + 5x, откуда 6x² = 6, x² = 1, x = 1 или x = −1.
Ответ: а) 5 и 6; б) (7 − √41)/2 и (7 + √41)/2; в) 0 и 3; г) −1 и 1.
536. При каких значениях x принимают равные значения: а) двучлены x² − 6x и 5x − 18; б) трёхчлены 3x² − 4x + 3 и x² + x + 1?
а) x² − 6x = 5x − 18, откуда x² − 11x + 18 = 0. D = 121 − 72 = 49, x = (11 ± 7)/2, x₁ = 2, x₂ = 9.
б) 3x² − 4x + 3 = x² + x + 1, откуда 2x² − 5x + 2 = 0. D = 25 − 16 = 9, x = (5 ± 3)/4, x₁ = 1/2, x₂ = 2.
Ответ: а) 2 и 9; б) 1/2 и 2.
б) 3x² − 4x + 3 = x² + x + 1, откуда 2x² − 5x + 2 = 0. D = 25 − 16 = 9, x = (5 ± 3)/4, x₁ = 1/2, x₂ = 2.
Ответ: а) 2 и 9; б) 1/2 и 2.
537. Решите уравнение, используя формулу (II): а) 3x² − 14x + 16 = 0; б) 5p² − 16p + 3 = 0; в) d² + 2d − 80 = 0; г) x² − 22x − 23 = 0; д) 4t² − 36t + 77 = 0; е) 15y² − 22y − 37 = 0; ж) 7z² − 20z + 14 = 0; з) y² − 10y − 25 = 0.
Коэффициент b чётный, b = 2k, поэтому используем формулу (II): D₁ = k² − ac, x = (−k ± √D₁)/a.
а) 3x² − 14x + 16 = 0
D₁ = (−7)² − 3·16 = 49 − 48 = 1 > 0, x = (7 ± 1)/3, x₁ = 2, x₂ = 8/3.
б) 5p² − 16p + 3 = 0
D₁ = (−8)² − 5·3 = 64 − 15 = 49 > 0, p = (8 ± 7)/5, p₁ = 1/5, p₂ = 3.
в) d² + 2d − 80 = 0
D₁ = 1² − 1·(−80) = 1 + 80 = 81 > 0, d = −1 ± 9, d₁ = −10, d₂ = 8.
г) x² − 22x − 23 = 0
D₁ = (−11)² − 1·(−23) = 121 + 23 = 144 > 0, x = 11 ± 12, x₁ = −1, x₂ = 23.
д) 4t² − 36t + 77 = 0
D₁ = (−18)² − 4·77 = 324 − 308 = 16 > 0, t = (18 ± 4)/4, t₁ = 7/2, t₂ = 11/2.
е) 15y² − 22y − 37 = 0
D₁ = (−11)² − 15·(−37) = 121 + 555 = 676 > 0, y = (11 ± 26)/15, y₁ = −1, y₂ = 37/15.
ж) 7z² − 20z + 14 = 0
D₁ = (−10)² − 7·14 = 100 − 98 = 2 > 0, √D₁ = √2, z = (10 ± √2)/7, z₁ = (10 − √2)/7, z₂ = (10 + √2)/7.
з) y² − 10y − 25 = 0
D₁ = (−5)² − 1·(−25) = 25 + 25 = 50 > 0, √D₁ = 5√2, y = 5 ± 5√2, y₁ = 5 − 5√2, y₂ = 5 + 5√2.
Ответ: а) x₁ = 2, x₂ = 8/3; б) p₁ = 1/5, p₂ = 3; в) d₁ = −10, d₂ = 8; г) x₁ = −1, x₂ = 23; д) t₁ = 7/2, t₂ = 11/2; е) y₁ = −1, y₂ = 37/15; ж) z₁ = (10 − √2)/7, z₂ = (10 + √2)/7; з) y₁ = 5 − 5√2, y₂ = 5 + 5√2.
а) 3x² − 14x + 16 = 0
D₁ = (−7)² − 3·16 = 49 − 48 = 1 > 0, x = (7 ± 1)/3, x₁ = 2, x₂ = 8/3.
б) 5p² − 16p + 3 = 0
D₁ = (−8)² − 5·3 = 64 − 15 = 49 > 0, p = (8 ± 7)/5, p₁ = 1/5, p₂ = 3.
в) d² + 2d − 80 = 0
D₁ = 1² − 1·(−80) = 1 + 80 = 81 > 0, d = −1 ± 9, d₁ = −10, d₂ = 8.
г) x² − 22x − 23 = 0
D₁ = (−11)² − 1·(−23) = 121 + 23 = 144 > 0, x = 11 ± 12, x₁ = −1, x₂ = 23.
д) 4t² − 36t + 77 = 0
D₁ = (−18)² − 4·77 = 324 − 308 = 16 > 0, t = (18 ± 4)/4, t₁ = 7/2, t₂ = 11/2.
е) 15y² − 22y − 37 = 0
D₁ = (−11)² − 15·(−37) = 121 + 555 = 676 > 0, y = (11 ± 26)/15, y₁ = −1, y₂ = 37/15.
ж) 7z² − 20z + 14 = 0
D₁ = (−10)² − 7·14 = 100 − 98 = 2 > 0, √D₁ = √2, z = (10 ± √2)/7, z₁ = (10 − √2)/7, z₂ = (10 + √2)/7.
з) y² − 10y − 25 = 0
D₁ = (−5)² − 1·(−25) = 25 + 25 = 50 > 0, √D₁ = 5√2, y = 5 ± 5√2, y₁ = 5 − 5√2, y₂ = 5 + 5√2.
Ответ: а) x₁ = 2, x₂ = 8/3; б) p₁ = 1/5, p₂ = 3; в) d₁ = −10, d₂ = 8; г) x₁ = −1, x₂ = 23; д) t₁ = 7/2, t₂ = 11/2; е) y₁ = −1, y₂ = 37/15; ж) z₁ = (10 − √2)/7, z₂ = (10 + √2)/7; з) y₁ = 5 − 5√2, y₂ = 5 + 5√2.
538. Решите уравнение: а) 8x² − 14x + 5 = 0; б) 12t² + 16t − 3 = 0; в) 4p² + 4p + 1 = 0; г) x² − 8x − 84 = 0; д) m² + 6m − 19 = 0; е) 5y² + 26y − 24 = 0; ж) z² − 34z + 289 = 0; з) 3x² + 32x + 80 = 0.
Во всех уравнениях b чётно, пользуемся формулой D₁ = k² − ac, где k = b/2.
а) 8x² − 14x + 5 = 0
D₁ = (−7)² − 8·5 = 49 − 40 = 9 > 0, x = (7 ± 3)/8, x₁ = 1/2, x₂ = 5/4.
б) 12t² + 16t − 3 = 0
D₁ = 8² − 12·(−3) = 64 + 36 = 100 > 0, t = (−8 ± 10)/12, t₁ = −3/2, t₂ = 1/6.
в) 4p² + 4p + 1 = 0
D₁ = 2² − 4·1 = 4 − 4 = 0, один корень: p = −1/2.
г) x² − 8x − 84 = 0
D₁ = (−4)² − 1·(−84) = 16 + 84 = 100 > 0, x = 4 ± 10, x₁ = −6, x₂ = 14.
д) m² + 6m − 19 = 0
D₁ = 3² − 1·(−19) = 9 + 19 = 28 > 0, √D₁ = 2√7, m = −3 ± 2√7, m₁ = −3 − 2√7, m₂ = −3 + 2√7.
е) 5y² + 26y − 24 = 0
D₁ = 13² − 5·(−24) = 169 + 120 = 289 > 0, y = (−13 ± 17)/5, y₁ = −6, y₂ = 4/5.
ж) z² − 34z + 289 = 0
D₁ = (−17)² − 1·289 = 289 − 289 = 0, один корень: z = 17.
з) 3x² + 32x + 80 = 0
D₁ = 16² − 3·80 = 256 − 240 = 16 > 0, x = (−16 ± 4)/3, x₁ = −20/3, x₂ = −4.
Ответ: а) x₁ = 1/2, x₂ = 5/4; б) t₁ = −3/2, t₂ = 1/6; в) p = −1/2; г) x₁ = −6, x₂ = 14; д) m₁ = −3 − 2√7, m₂ = −3 + 2√7; е) y₁ = −6, y₂ = 4/5; ж) z = 17; з) x₁ = −20/3, x₂ = −4.
а) 8x² − 14x + 5 = 0
D₁ = (−7)² − 8·5 = 49 − 40 = 9 > 0, x = (7 ± 3)/8, x₁ = 1/2, x₂ = 5/4.
б) 12t² + 16t − 3 = 0
D₁ = 8² − 12·(−3) = 64 + 36 = 100 > 0, t = (−8 ± 10)/12, t₁ = −3/2, t₂ = 1/6.
в) 4p² + 4p + 1 = 0
D₁ = 2² − 4·1 = 4 − 4 = 0, один корень: p = −1/2.
г) x² − 8x − 84 = 0
D₁ = (−4)² − 1·(−84) = 16 + 84 = 100 > 0, x = 4 ± 10, x₁ = −6, x₂ = 14.
д) m² + 6m − 19 = 0
D₁ = 3² − 1·(−19) = 9 + 19 = 28 > 0, √D₁ = 2√7, m = −3 ± 2√7, m₁ = −3 − 2√7, m₂ = −3 + 2√7.
е) 5y² + 26y − 24 = 0
D₁ = 13² − 5·(−24) = 169 + 120 = 289 > 0, y = (−13 ± 17)/5, y₁ = −6, y₂ = 4/5.
ж) z² − 34z + 289 = 0
D₁ = (−17)² − 1·289 = 289 − 289 = 0, один корень: z = 17.
з) 3x² + 32x + 80 = 0
D₁ = 16² − 3·80 = 256 − 240 = 16 > 0, x = (−16 ± 4)/3, x₁ = −20/3, x₂ = −4.
Ответ: а) x₁ = 1/2, x₂ = 5/4; б) t₁ = −3/2, t₂ = 1/6; в) p = −1/2; г) x₁ = −6, x₂ = 14; д) m₁ = −3 − 2√7, m₂ = −3 + 2√7; е) y₁ = −6, y₂ = 4/5; ж) z = 17; з) x₁ = −20/3, x₂ = −4.
539. Решите уравнение: а) 2x² − 5x − 3 = 0; б) 3x² − 8x + 5 = 0; в) 5x² + 9x + 4 = 0; г) 36y² − 12y + 1 = 0; д) 3t² − 3t + 1 = 0; е) x² + 9x − 22 = 0; ж) y² − 12y + 32 = 0; з) 100x² − 160x + 63 = 0.
а) 2x² − 5x − 3 = 0
D = (−5)² − 4·2·(−3) = 25 + 24 = 49 > 0, x = (5 ± 7)/4, x₁ = −1/2, x₂ = 3.
б) 3x² − 8x + 5 = 0
D = (−8)² − 4·3·5 = 64 − 60 = 4 > 0, x = (8 ± 2)/6, x₁ = 1, x₂ = 5/3.
в) 5x² + 9x + 4 = 0
D = 9² − 4·5·4 = 81 − 80 = 1 > 0, x = (−9 ± 1)/10, x₁ = −1, x₂ = −4/5.
г) 36y² − 12y + 1 = 0
D = (−12)² − 4·36·1 = 144 − 144 = 0, один корень: y = 1/6.
д) 3t² − 3t + 1 = 0
D = (−3)² − 4·3·1 = 9 − 12 = −3 < 0, корней нет.
е) x² + 9x − 22 = 0
D = 9² − 4·1·(−22) = 81 + 88 = 169 > 0, x = (−9 ± 13)/2, x₁ = −11, x₂ = 2.
ж) y² − 12y + 32 = 0
D = (−12)² − 4·1·32 = 144 − 128 = 16 > 0, y = (12 ± 4)/2, y₁ = 4, y₂ = 8.
з) 100x² − 160x + 63 = 0
D = (−160)² − 4·100·63 = 25600 − 25200 = 400 > 0, x = (160 ± 20)/200, x₁ = 7/10, x₂ = 9/10.
Ответ: а) x₁ = −1/2, x₂ = 3; б) x₁ = 1, x₂ = 5/3; в) x₁ = −1, x₂ = −4/5; г) y = 1/6; д) корней нет; е) x₁ = −11, x₂ = 2; ж) y₁ = 4, y₂ = 8; з) x₁ = 7/10, x₂ = 9/10.
D = (−5)² − 4·2·(−3) = 25 + 24 = 49 > 0, x = (5 ± 7)/4, x₁ = −1/2, x₂ = 3.
б) 3x² − 8x + 5 = 0
D = (−8)² − 4·3·5 = 64 − 60 = 4 > 0, x = (8 ± 2)/6, x₁ = 1, x₂ = 5/3.
в) 5x² + 9x + 4 = 0
D = 9² − 4·5·4 = 81 − 80 = 1 > 0, x = (−9 ± 1)/10, x₁ = −1, x₂ = −4/5.
г) 36y² − 12y + 1 = 0
D = (−12)² − 4·36·1 = 144 − 144 = 0, один корень: y = 1/6.
д) 3t² − 3t + 1 = 0
D = (−3)² − 4·3·1 = 9 − 12 = −3 < 0, корней нет.
е) x² + 9x − 22 = 0
D = 9² − 4·1·(−22) = 81 + 88 = 169 > 0, x = (−9 ± 13)/2, x₁ = −11, x₂ = 2.
ж) y² − 12y + 32 = 0
D = (−12)² − 4·1·32 = 144 − 128 = 16 > 0, y = (12 ± 4)/2, y₁ = 4, y₂ = 8.
з) 100x² − 160x + 63 = 0
D = (−160)² − 4·100·63 = 25600 − 25200 = 400 > 0, x = (160 ± 20)/200, x₁ = 7/10, x₂ = 9/10.
Ответ: а) x₁ = −1/2, x₂ = 3; б) x₁ = 1, x₂ = 5/3; в) x₁ = −1, x₂ = −4/5; г) y = 1/6; д) корней нет; е) x₁ = −11, x₂ = 2; ж) y₁ = 4, y₂ = 8; з) x₁ = 7/10, x₂ = 9/10.