Глава III. §7. п.21 Формула корней квадратного уравнения — с. 127
548. Найдите корни уравнения и укажите их приближённые значения в виде десятичных дробей с точностью до 0,01 (воспользуйтесь калькулятором): а) x² − 8x + 9 = 0; б) 2y² − 8y + 5 = 0.
а) D₁ = 16 − 9 = 7, x = 4 ± √7. √7 ≈ 2,6458, поэтому x₁ ≈ 4 − 2,6458 ≈ 1,35, x₂ ≈ 4 + 2,6458 ≈ 6,65.
б) D₁ = 16 − 10 = 6, y = (4 ± √6)/2. √6 ≈ 2,4495, поэтому y₁ ≈ (4 − 2,4495)/2 ≈ 0,78, y₂ ≈ (4 + 2,4495)/2 ≈ 3,22.
Ответ: а) 4 − √7 ≈ 1,35 и 4 + √7 ≈ 6,65; б) (4 − √6)/2 ≈ 0,78 и (4 + √6)/2 ≈ 3,22.
б) D₁ = 16 − 10 = 6, y = (4 ± √6)/2. √6 ≈ 2,4495, поэтому y₁ ≈ (4 − 2,4495)/2 ≈ 0,78, y₂ ≈ (4 + 2,4495)/2 ≈ 3,22.
Ответ: а) 4 − √7 ≈ 1,35 и 4 + √7 ≈ 6,65; б) (4 − √6)/2 ≈ 0,78 и (4 + √6)/2 ≈ 3,22.
549. Решите уравнение: а) 0,7x² = 1,3x + 2; б) 7 = 0,4y + (1/5)y²; в) x² − 1,6x − 0,36 = 0; г) z² − 2z + 2,91 = 0; д) 0,2y² − 10y + 125 = 0; е) (1/3)x² + 2x − 9 = 0.
а) Умножим на 10: 7x² = 13x + 20, 7x² − 13x − 20 = 0. D = 169 + 560 = 729 = 27², x = (13 ± 27)/14, x₁ = −1, x₂ = 20/7.
б) Умножим на 5: 35 = 2y + y², y² + 2y − 35 = 0. D₁ = 1 + 35 = 36, y = −1 ± 6, y₁ = −7, y₂ = 5.
в) Умножим на 100: 100x² − 160x − 36 = 0, разделим на 4: 25x² − 40x − 9 = 0. D₁ = 400 + 225 = 625, x = (20 ± 25)/25, x₁ = −1/5 = −0,2, x₂ = 9/5 = 1,8.
г) D₁ = 1 − 2,91 = −1,91 < 0, корней нет.
д) Умножим на 5: y² − 50y + 625 = 0, то есть (y − 25)² = 0, y = 25.
е) Умножим на 3: x² + 6x − 27 = 0. D₁ = 9 + 27 = 36, x = −3 ± 6, x₁ = −9, x₂ = 3.
Ответ: а) −1 и 20/7; б) −7 и 5; в) −0,2 и 1,8; г) корней нет; д) 25; е) −9 и 3.
б) Умножим на 5: 35 = 2y + y², y² + 2y − 35 = 0. D₁ = 1 + 35 = 36, y = −1 ± 6, y₁ = −7, y₂ = 5.
в) Умножим на 100: 100x² − 160x − 36 = 0, разделим на 4: 25x² − 40x − 9 = 0. D₁ = 400 + 225 = 625, x = (20 ± 25)/25, x₁ = −1/5 = −0,2, x₂ = 9/5 = 1,8.
г) D₁ = 1 − 2,91 = −1,91 < 0, корней нет.
д) Умножим на 5: y² − 50y + 625 = 0, то есть (y − 25)² = 0, y = 25.
е) Умножим на 3: x² + 6x − 27 = 0. D₁ = 9 + 27 = 36, x = −3 ± 6, x₁ = −9, x₂ = 3.
Ответ: а) −1 и 20/7; б) −7 и 5; в) −0,2 и 1,8; г) корней нет; д) 25; е) −9 и 3.
550. При каких значениях x верно равенство: а) (1/7)x² = 2x − 7; б) x² + 6/5 = 2,6x; в) 4x² = 7x + 7,5; г) 6x² − 2 = x?
а) Умножим на 7: x² = 14x − 49, x² − 14x + 49 = 0, (x − 7)² = 0, x = 7.
б) Умножим на 5: 5x² + 6 = 13x, 5x² − 13x + 6 = 0. D = 169 − 120 = 49, x = (13 ± 7)/10, x₁ = 0,6, x₂ = 2.
в) Умножим на 2: 8x² = 14x + 15, 8x² − 14x − 15 = 0. D₁ = 49 + 120 = 169, x = (7 ± 13)/8, x₁ = −3/4 = −0,75, x₂ = 20/8 = 2,5.
г) 6x² − x − 2 = 0. D = 1 + 48 = 49, x = (1 ± 7)/12, x₁ = −1/2, x₂ = 2/3.
Ответ: а) 7; б) 0,6 и 2; в) −0,75 и 2,5; г) −1/2 и 2/3.
б) Умножим на 5: 5x² + 6 = 13x, 5x² − 13x + 6 = 0. D = 169 − 120 = 49, x = (13 ± 7)/10, x₁ = 0,6, x₂ = 2.
в) Умножим на 2: 8x² = 14x + 15, 8x² − 14x − 15 = 0. D₁ = 49 + 120 = 169, x = (7 ± 13)/8, x₁ = −3/4 = −0,75, x₂ = 20/8 = 2,5.
г) 6x² − x − 2 = 0. D = 1 + 48 = 49, x = (1 ± 7)/12, x₁ = −1/2, x₂ = 2/3.
Ответ: а) 7; б) 0,6 и 2; в) −0,75 и 2,5; г) −1/2 и 2/3.
551. Существует ли такое значение a, при котором верно равенство (если существует, то найдите его): а) 3a + 0,6 = 9a² + 0,36; б) 0,4a + 1,2 = 0,16a² + 1,44?
а) Перенесём всё в одну часть: 9a² − 3a − 0,24 = 0. Умножим на 100 и разделим на 12: 75a² − 25a − 2 = 0. D = 625 + 600 = 1225 = 35², a = (25 ± 35)/150, a₁ = −1/15, a₂ = 2/5 = 0,4. Проверка: при a = 0,4 слева 1,2 + 0,6 = 1,8, справа 9·0,16 + 0,36 = 1,8.
б) 0,16a² − 0,4a + 0,24 = 0. Умножим на 100 и разделим на 8: 2a² − 5a + 3 = 0. D = 25 − 24 = 1, a = (5 ± 1)/4, a₁ = 1, a₂ = 1,5. Проверка: при a = 1 слева 1,6, справа 0,16 + 1,44 = 1,6.
Ответ: в обоих случаях такие значения существуют: а) a = −1/15 и a = 0,4; б) a = 1 и a = 1,5.
б) 0,16a² − 0,4a + 0,24 = 0. Умножим на 100 и разделим на 8: 2a² − 5a + 3 = 0. D = 25 − 24 = 1, a = (5 ± 1)/4, a₁ = 1, a₂ = 1,5. Проверка: при a = 1 слева 1,6, справа 0,16 + 1,44 = 1,6.
Ответ: в обоих случаях такие значения существуют: а) a = −1/15 и a = 0,4; б) a = 1 и a = 1,5.
552. (Задача-исследование.) Решите уравнения: а) x² − 5x + 6 = 0 и 6x² − 5x + 1 = 0; б) 2x² − 13x + 6 = 0 и 6x² − 13x + 2 = 0.
1. Пусть одна группа учащихся выполнит задание а), а другая — задание б).
2. Сравните результаты и выскажите предположение о соотношении между корнями уравнений ax² + bx + c = 0 и cx² + bx + a = 0.
3. Докажите, что ваше предположение верно.
1) а) x² − 5x + 6 = 0: D = 25 − 24 = 1, x = (5 ± 1)/2, x₁ = 2, x₂ = 3. 6x² − 5x + 1 = 0: D = 25 − 24 = 1, x = (5 ± 1)/12, x₁ = 1/3, x₂ = 1/2.
б) 2x² − 13x + 6 = 0: D = 169 − 48 = 121, x = (13 ± 11)/4, x₁ = 1/2, x₂ = 6. 6x² − 13x + 2 = 0: D = 169 − 48 = 121, x = (13 ± 11)/12, x₁ = 1/6, x₂ = 2.
2) Корни второго уравнения обратны корням первого: 1/2 и 1/3 для 2 и 3; 1/6 и 2 для 6 и 1/2. Предположение: корни уравнения cx² + bx + a = 0 — числа, обратные корням уравнения ax² + bx + c = 0.
3) Пусть x₀ — корень уравнения ax² + bx + c = 0 и c ≠ 0 (тогда x₀ ≠ 0, так как при x₀ = 0 получилось бы c = 0). Тогда ax₀² + bx₀ + c = 0. Разделим обе части на x₀²: a + b/x₀ + c/x₀² = 0, то есть c·(1/x₀)² + b·(1/x₀) + a = 0. Значит, число 1/x₀ является корнем уравнения cx² + bx + a = 0. Обратно, все корни второго уравнения получаются так же, поэтому корни уравнений взаимно обратны. Что и требовалось доказать.
Ответ: корни уравнений ax² + bx + c = 0 и cx² + bx + a = 0 (при c ≠ 0 и a ≠ 0) являются взаимно обратными числами.
б) 2x² − 13x + 6 = 0: D = 169 − 48 = 121, x = (13 ± 11)/4, x₁ = 1/2, x₂ = 6. 6x² − 13x + 2 = 0: D = 169 − 48 = 121, x = (13 ± 11)/12, x₁ = 1/6, x₂ = 2.
2) Корни второго уравнения обратны корням первого: 1/2 и 1/3 для 2 и 3; 1/6 и 2 для 6 и 1/2. Предположение: корни уравнения cx² + bx + a = 0 — числа, обратные корням уравнения ax² + bx + c = 0.
3) Пусть x₀ — корень уравнения ax² + bx + c = 0 и c ≠ 0 (тогда x₀ ≠ 0, так как при x₀ = 0 получилось бы c = 0). Тогда ax₀² + bx₀ + c = 0. Разделим обе части на x₀²: a + b/x₀ + c/x₀² = 0, то есть c·(1/x₀)² + b·(1/x₀) + a = 0. Значит, число 1/x₀ является корнем уравнения cx² + bx + a = 0. Обратно, все корни второго уравнения получаются так же, поэтому корни уравнений взаимно обратны. Что и требовалось доказать.
Ответ: корни уравнений ax² + bx + c = 0 и cx² + bx + a = 0 (при c ≠ 0 и a ≠ 0) являются взаимно обратными числами.
553. Существует ли такое значение a, при котором уравнение x² − ax + a − 4 = 0: а) не имеет корней; б) имеет один корень; в) имеет два корня?
Найдём дискриминант: D = (−a)² − 4(a − 4) = a² − 4a + 16 = (a − 2)² + 12.
Так как (a − 2)² ≥ 0, то D ≥ 12 > 0 при любом значении a.
а) D < 0 невозможно: таких значений a нет.
б) D = 0 невозможно: таких значений a нет.
в) D > 0 при любом a, значит, уравнение имеет два корня при любом значении a.
Ответ: а) нет; б) нет; в) да, при любом a.
Так как (a − 2)² ≥ 0, то D ≥ 12 > 0 при любом значении a.
а) D < 0 невозможно: таких значений a нет.
б) D = 0 невозможно: таких значений a нет.
в) D > 0 при любом a, значит, уравнение имеет два корня при любом значении a.
Ответ: а) нет; б) нет; в) да, при любом a.