Глава III. §7. п.22 Решение задач — с. 131
570. При розыгрыше первенства школы по футболу было сыграно 36 матчей, причём каждая команда сыграла с каждой по одному разу. Сколько команд участвовало в розыгрыше?
Пусть команд n. Каждая играет с n − 1 соперниками, всего пар n(n − 1)/2 (матч каждой пары учитывается один раз). Тогда n(n − 1)/2 = 36, n² − n − 72 = 0.
D = 1 + 288 = 289 = 17², n = (1 ± 17)/2, n₁ = −8 (не подходит), n₂ = 9.
Ответ: 9 команд.
D = 1 + 288 = 289 = 17², n = (1 ± 17)/2, n₁ = −8 (не подходит), n₂ = 9.
Ответ: 9 команд.
571. В шахматном турнире было сыграно 45 партий. Определите число участников турнира, если известно, что каждый участник сыграл с каждым по одной партии.
Пусть участников n. Число партий n(n − 1)/2 = 45, откуда n² − n − 90 = 0.
D = 1 + 360 = 361 = 19², n = (1 ± 19)/2, n₁ = −9 (не подходит), n₂ = 10.
Ответ: 10 участников.
D = 1 + 360 = 361 = 19², n = (1 ± 19)/2, n₁ = −9 (не подходит), n₂ = 10.
Ответ: 10 участников.
572. От прямоугольного листа картона, длина которого равна 60 см, а ширина — 40 см, отрезали по углам равные квадраты и из оставшейся части склеили открытую коробку. Найдите сторону квадрата, если известно, что площадь основания коробки равна 800 см². [рисунок: лист 60 × 40 с вырезанными по углам квадратами со стороной x и открытая коробка]
Пусть сторона квадрата x см. Основание коробки — прямоугольник со сторонами 60 − 2x и 40 − 2x см. По условию (60 − 2x)(40 − 2x) = 800.
2400 − 120x − 80x + 4x² = 800, 4x² − 200x + 1600 = 0, x² − 50x + 400 = 0. D₁ = 625 − 400 = 225, x = 25 ± 15, x₁ = 10, x₂ = 40.
Сторона квадрата должна быть меньше половины ширины листа, то есть x < 20, поэтому x = 40 не подходит. При x = 10 основание 40 × 20 см, площадь 800 см².
Ответ: 10 см.
2400 − 120x − 80x + 4x² = 800, 4x² − 200x + 1600 = 0, x² − 50x + 400 = 0. D₁ = 625 − 400 = 225, x = 25 ± 15, x₁ = 10, x₂ = 40.
Сторона квадрата должна быть меньше половины ширины листа, то есть x < 20, поэтому x = 40 не подходит. При x = 10 основание 40 × 20 см, площадь 800 см².
Ответ: 10 см.
573. Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 869.
Пусть среднее число равно n, тогда числа n − 1, n, n + 1. (n − 1)² + n² + (n + 1)² = 869, 3n² + 2 = 869, n² = 289, n = 17 или n = −17.
При n = 17 числа 16, 17, 18 (256 + 289 + 324 = 869). При n = −17 числа −18, −17, −16.
Ответ: 16, 17, 18 или −18, −17, −16.
При n = 17 числа 16, 17, 18 (256 + 289 + 324 = 869). При n = −17 числа −18, −17, −16.
Ответ: 16, 17, 18 или −18, −17, −16.
574. Сократите дробь: а) (8a³ − 27)/(9 − 12a + 4a²); б) (ax − 2x − 4a + 8)/(3a − 6 − ax + 2x).
а) Числитель: 8a³ − 27 = (2a)³ − 3³ = (2a − 3)(4a² + 6a + 9). Знаменатель: 9 − 12a + 4a² = (2a − 3)². Сокращаем на 2a − 3: (4a² + 6a + 9)/(2a − 3) (при a ≠ 3/2).
б) Числитель: ax − 2x − 4a + 8 = x(a − 2) − 4(a − 2) = (a − 2)(x − 4). Знаменатель: 3a − 6 − ax + 2x = 3(a − 2) − x(a − 2) = (a − 2)(3 − x). Сокращаем на a − 2: (x − 4)/(3 − x) (при a ≠ 2, x ≠ 3).
Ответ: а) (4a² + 6a + 9)/(2a − 3); б) (x − 4)/(3 − x).
б) Числитель: ax − 2x − 4a + 8 = x(a − 2) − 4(a − 2) = (a − 2)(x − 4). Знаменатель: 3a − 6 − ax + 2x = 3(a − 2) − x(a − 2) = (a − 2)(3 − x). Сокращаем на a − 2: (x − 4)/(3 − x) (при a ≠ 2, x ≠ 3).
Ответ: а) (4a² + 6a + 9)/(2a − 3); б) (x − 4)/(3 − x).
575. Найдите значение выражения: ((√a + √b)² − b)/(2√(ab) + 2b + 1) при a = 5, b = 2.
Числитель: (√5 + √2)² − 2 = 5 + 2√10 + 2 − 2 = 5 + 2√10.
Знаменатель: 2√(5·2) + 2·2 + 1 = 2√10 + 5.
Дробь равна (5 + 2√10)/(5 + 2√10) = 1.
Ответ: 1.
Знаменатель: 2√(5·2) + 2·2 + 1 = 2√10 + 5.
Дробь равна (5 + 2√10)/(5 + 2√10) = 1.
Ответ: 1.
576. Решите уравнение: а) x(x − 3)/6 − x/2 = 0; б) x(x + 1)/3 + (8 − x)/4 = 2; в) (2/5)x + (9 − x)/4 + (9 − x)/6 = 3 41/60; г) 1 + (x − 3,5)/5 + 1/2 = x/3,5 − 1.
а) Умножим на 6: x(x − 3) − 3x = 0, x² − 6x = 0, x(x − 6) = 0, x = 0 или x = 6.
б) Умножим на 12: 4x(x + 1) + 3(8 − x) = 24, 4x² + 4x + 24 − 3x = 24, 4x² + x = 0, x(4x + 1) = 0, x = 0 или x = −1/4.
в) 3 41/60 = 221/60. Умножим на 60: 24x + 15(9 − x) + 10(9 − x) = 221, 24x + 135 − 15x + 90 − 10x = 221, −x + 225 = 221, x = 4.
г) x/3,5 = 2x/7. Умножим на 70: 70 + 14(x − 3,5) + 35 = 20x − 70, 70 + 14x − 49 + 35 = 20x − 70, 14x + 56 = 20x − 70, 6x = 126, x = 21. Проверка: слева 1 + 3,5 + 0,5 = 5, справа 6 − 1 = 5.
Ответ: а) 0 и 6; б) 0 и −1/4; в) 4; г) 21.
Оговорка: в ответах учебника для б) указано −1 3/4 и 0; такой результат получается, если в условии вместо (8 − x)/4 стоит (8 + x)/4. Для уравнения в написании, как оно напечатано в задании, верен приведённый выше ответ.
б) Умножим на 12: 4x(x + 1) + 3(8 − x) = 24, 4x² + 4x + 24 − 3x = 24, 4x² + x = 0, x(4x + 1) = 0, x = 0 или x = −1/4.
в) 3 41/60 = 221/60. Умножим на 60: 24x + 15(9 − x) + 10(9 − x) = 221, 24x + 135 − 15x + 90 − 10x = 221, −x + 225 = 221, x = 4.
г) x/3,5 = 2x/7. Умножим на 70: 70 + 14(x − 3,5) + 35 = 20x − 70, 70 + 14x − 49 + 35 = 20x − 70, 14x + 56 = 20x − 70, 6x = 126, x = 21. Проверка: слева 1 + 3,5 + 0,5 = 5, справа 6 − 1 = 5.
Ответ: а) 0 и 6; б) 0 и −1/4; в) 4; г) 21.
Оговорка: в ответах учебника для б) указано −1 3/4 и 0; такой результат получается, если в условии вместо (8 − x)/4 стоит (8 + x)/4. Для уравнения в написании, как оно напечатано в задании, верен приведённый выше ответ.
577. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции y = 13x − 2,6 с осью x и осью y.
С осью x: y = 0, 13x − 2,6 = 0, x = 2,6 : 13 = 0,2. Точка (0,2; 0).
С осью y: x = 0, y = −2,6. Точка (0; −2,6).
Ответ: (0,2; 0) и (0; −2,6).
С осью y: x = 0, y = −2,6. Точка (0; −2,6).
Ответ: (0,2; 0) и (0; −2,6).