Глава III. §8. п.24 Квадратный трёхчлен и его корни — с. 139
598. Какие из чисел −2, −1, 0, 2, 3 являются корнями многочлена x³ − 3x² − 4x + 12?
Разложим многочлен на множители группировкой: x³ − 3x² − 4x + 12 = x²(x − 3) − 4(x − 3) = (x − 3)(x² − 4) = (x − 3)(x − 2)(x + 2).
Многочлен равен нулю при x = 3, x = 2, x = −2. Из данных чисел корнями являются −2, 2 и 3.
Проверка для остальных: при x = −1 получаем −1 − 3 + 4 + 12 = 12 ≠ 0; при x = 0 получаем 12 ≠ 0.
Ответ: −2; 2; 3.
Многочлен равен нулю при x = 3, x = 2, x = −2. Из данных чисел корнями являются −2, 2 и 3.
Проверка для остальных: при x = −1 получаем −1 − 3 + 4 + 12 = 12 ≠ 0; при x = 0 получаем 12 ≠ 0.
Ответ: −2; 2; 3.
599. Найдите корни многочлена: а) x² − 7x; б) 2x − 5; в) y³ − 4y; г) y⁴ − 16.
Корни многочлена — значения переменной, при которых он равен нулю.
а) x² − 7x = x(x − 7) = 0, откуда x = 0 или x = 7.
б) 2x − 5 = 0, откуда x = 2,5.
в) y³ − 4y = y(y² − 4) = y(y − 2)(y + 2) = 0, откуда y = 0, y = 2 или y = −2.
г) y⁴ − 16 = (y² − 4)(y² + 4) = (y − 2)(y + 2)(y² + 4). Множитель y² + 4 всегда положителен, поэтому y = 2 или y = −2.
Ответ: а) 0; 7; б) 2,5; в) −2; 0; 2; г) −2; 2.
а) x² − 7x = x(x − 7) = 0, откуда x = 0 или x = 7.
б) 2x − 5 = 0, откуда x = 2,5.
в) y³ − 4y = y(y² − 4) = y(y − 2)(y + 2) = 0, откуда y = 0, y = 2 или y = −2.
г) y⁴ − 16 = (y² − 4)(y² + 4) = (y − 2)(y + 2)(y² + 4). Множитель y² + 4 всегда положителен, поэтому y = 2 или y = −2.
Ответ: а) 0; 7; б) 2,5; в) −2; 0; 2; г) −2; 2.
600. Имеет ли корни многочлен: а) x² + 1; б) x³ − 27; в) −2y⁶ − 1; г) y⁴ + 3y² + 7?
а) x² ≥ 0, поэтому x² + 1 ≥ 1 > 0 при любом x. Корней нет.
б) x³ − 27 = 0 при x³ = 27, то есть x = 3. Корень есть (один).
в) y⁶ ≥ 0, поэтому −2y⁶ − 1 ≤ −1 < 0 при любом y. Корней нет.
г) y⁴ ≥ 0 и y² ≥ 0, поэтому y⁴ + 3y² + 7 ≥ 7 > 0. Корней нет.
Ответ: а) нет; б) да, x = 3; в) нет; г) нет.
б) x³ − 27 = 0 при x³ = 27, то есть x = 3. Корень есть (один).
в) y⁶ ≥ 0, поэтому −2y⁶ − 1 ≤ −1 < 0 при любом y. Корней нет.
г) y⁴ ≥ 0 и y² ≥ 0, поэтому y⁴ + 3y² + 7 ≥ 7 > 0. Корней нет.
Ответ: а) нет; б) да, x = 3; в) нет; г) нет.
601. Какие из чисел 1, 2, 3 − √2, −7 + √2 являются корнями квадратного трёхчлена x² − 6x + 7?
Найдём корни трёхчлена. D/4 = 3² − 7 = 2, x = 3 ± √2. Корни: 3 − √2 и 3 + √2.
Проверка по данным числам: при x = 1 получаем 1 − 6 + 7 = 2 ≠ 0; при x = 2 получаем 4 − 12 + 7 = −1 ≠ 0; число −7 + √2 отрицательно (≈ −5,59), а корни положительны, поэтому оно не подходит.
Проверим 3 − √2: (3 − √2)² − 6(3 − √2) + 7 = 9 − 6√2 + 2 − 18 + 6√2 + 7 = 0.
Ответ: корнем является только число 3 − √2.
Проверка по данным числам: при x = 1 получаем 1 − 6 + 7 = 2 ≠ 0; при x = 2 получаем 4 − 12 + 7 = −1 ≠ 0; число −7 + √2 отрицательно (≈ −5,59), а корни положительны, поэтому оно не подходит.
Проверим 3 − √2: (3 − √2)² − 6(3 − √2) + 7 = 9 − 6√2 + 2 − 18 + 6√2 + 7 = 0.
Ответ: корнем является только число 3 − √2.
602. Найдите корни квадратного трёхчлена: а) x² + x − 6; б) 9x² − 9x + 2; в) 0,2x² + 3x − 20; г) −2x² − x − 0,125; д) 0,1x² + 0,4; е) −0,3x² + 1,5x.
Решаем уравнение «трёхчлен = 0».
а) D = 1 + 24 = 25, x = (−1 ± 5)/2, x₁ = 2, x₂ = −3.
б) D = 81 − 72 = 9, x = (9 ± 3)/18, x₁ = 2/3, x₂ = 1/3.
в) Умножим на 5: x² + 15x − 100 = 0, D = 225 + 400 = 625, x = (−15 ± 25)/2, x₁ = 5, x₂ = −20.
г) Умножим на −8: 16x² + 8x + 1 = 0, то есть (4x + 1)² = 0, x = −1/4 (один корень).
д) 0,1x² + 0,4 ≥ 0,4 > 0 при любом x, корней нет.
е) −0,3x² + 1,5x = −0,3x(x − 5) = 0, x = 0 или x = 5.
Ответ: а) −3; 2; б) 1/3; 2/3; в) −20; 5; г) −1/4; д) корней нет; е) 0; 5.
а) D = 1 + 24 = 25, x = (−1 ± 5)/2, x₁ = 2, x₂ = −3.
б) D = 81 − 72 = 9, x = (9 ± 3)/18, x₁ = 2/3, x₂ = 1/3.
в) Умножим на 5: x² + 15x − 100 = 0, D = 225 + 400 = 625, x = (−15 ± 25)/2, x₁ = 5, x₂ = −20.
г) Умножим на −8: 16x² + 8x + 1 = 0, то есть (4x + 1)² = 0, x = −1/4 (один корень).
д) 0,1x² + 0,4 ≥ 0,4 > 0 при любом x, корней нет.
е) −0,3x² + 1,5x = −0,3x(x − 5) = 0, x = 0 или x = 5.
Ответ: а) −3; 2; б) 1/3; 2/3; в) −20; 5; г) −1/4; д) корней нет; е) 0; 5.
603. Найдите корни квадратного трёхчлена: а) 10x² + 5x − 5; б) −2x² + 12x − 18; в) x² − 2x − 4; г) 12x² − 12.
а) Разделим на 5: 2x² + x − 1 = 0, D = 1 + 8 = 9, x = (−1 ± 3)/4, x₁ = 1/2, x₂ = −1.
б) −2x² + 12x − 18 = −2(x² − 6x + 9) = −2(x − 3)², корень x = 3.
в) D/4 = 1 + 4 = 5, x = 1 ± √5.
г) 12x² − 12 = 12(x² − 1) = 12(x − 1)(x + 1), корни x = 1 и x = −1.
Ответ: а) −1; 1/2; б) 3; в) 1 − √5; 1 + √5; г) −1; 1.
б) −2x² + 12x − 18 = −2(x² − 6x + 9) = −2(x − 3)², корень x = 3.
в) D/4 = 1 + 4 = 5, x = 1 ± √5.
г) 12x² − 12 = 12(x² − 1) = 12(x − 1)(x + 1), корни x = 1 и x = −1.
Ответ: а) −1; 1/2; б) 3; в) 1 − √5; 1 + √5; г) −1; 1.