Глава III. §8. п.24 Квадратный трёхчлен и его корни — с. 141
614. С башни выпустили вверх стрелу из лука. Если начальная скорость стрелы равна 50 м/с, высота башни 20 м и t (с) — время полёта стрелы, то расстояние h (м) стрелы от поверхности земли в момент времени t (с) можно найти по формуле h = −5t² + 50t + 20 (приближённое значение ускорения свободного падения считается равным 10 м/с²). Какой наибольшей высоты достигнет стрела?
Выделим квадрат двучлена: h = −5t² + 50t + 20 = −5(t² − 10t) + 20 = −5(t² − 10t + 25 − 25) + 20 = −5(t − 5)² + 125 + 20 = −5(t − 5)² + 145.
Так как −5(t − 5)² ≤ 0, наибольшее значение h достигается при t = 5 с и равно 145 м.
Ответ: 145 м.
Так как −5(t − 5)² ≤ 0, наибольшее значение h достигается при t = 5 с и равно 145 м.
Ответ: 145 м.
615. Решите уравнение: а) 3(x + 4)² = 10x + 32; б) 31x + 77 = 15(x + 1)².
а) 3(x² + 8x + 16) = 10x + 32; 3x² + 24x + 48 − 10x − 32 = 0; 3x² + 14x + 16 = 0. D = 196 − 192 = 4, x = (−14 ± 2)/6, x₁ = −2, x₂ = −8/3 = −2 2/3.
б) 31x + 77 = 15x² + 30x + 15; 15x² − x − 62 = 0. D = 1 + 3720 = 3721 = 61², x = (1 ± 61)/30, x₁ = 62/30 = 2 1/15, x₂ = −2.
Ответ: а) −2 2/3; −2; б) −2; 2 1/15.
б) 31x + 77 = 15x² + 30x + 15; 15x² − x − 62 = 0. D = 1 + 3720 = 3721 = 61², x = (1 ± 61)/30, x₁ = 62/30 = 2 1/15, x₂ = −2.
Ответ: а) −2 2/3; −2; б) −2; 2 1/15.
616. Разложите на множители многочлен: а) ab + 3b − 5a − 15; б) 2xy − y + 8x − 4.
Применим способ группировки.
а) ab + 3b − 5a − 15 = b(a + 3) − 5(a + 3) = (a + 3)(b − 5).
б) 2xy − y + 8x − 4 = y(2x − 1) + 4(2x − 1) = (2x − 1)(y + 4).
а) ab + 3b − 5a − 15 = b(a + 3) − 5(a + 3) = (a + 3)(b − 5).
б) 2xy − y + 8x − 4 = y(2x − 1) + 4(2x − 1) = (2x − 1)(y + 4).