Глава III. §9. п.27 Решение задач — с. 154
659. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде 15 км/ч, прошла по течению реки 35 км, а против течения — 25 км. По течению она шла столько же времени, сколько против течения. Какова скорость течения реки?
Пусть скорость течения x км/ч. Скорость по течению 15 + x, против течения 15 − x. Время по течению 35/(15 + x), против течения 25/(15 − x), и они равны: 35/(15 + x) = 25/(15 − x).
По свойству пропорции 35(15 − x) = 25(15 + x), 525 − 35x = 375 + 25x, 150 = 60x, x = 2,5.
Ответ: 2,5 км/ч.
По свойству пропорции 35(15 − x) = 25(15 + x), 525 − 35x = 375 + 25x, 150 = 60x, x = 2,5.
Ответ: 2,5 км/ч.
660. Катер, развивающий в стоячей воде скорость 20 км/ч, прошёл 36 км против течения и 22 км по течению, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость течения реки.
Пусть скорость течения x км/ч (0 < x < 20). Против течения катер шёл со скоростью 20 − x, по течению 20 + x. Время: 36/(20 − x) + 22/(20 + x) = 3.
Умножаем на (20 − x)(20 + x): 36(20 + x) + 22(20 − x) = 3(400 − x²), 1160 + 14x = 1200 − 3x², 3x² + 14x − 40 = 0, D = 196 + 480 = 676 = 26², x = (−14 ± 26)/6, x = 2 или x = −20/3. Подходит x = 2.
Ответ: 2 км/ч.
Умножаем на (20 − x)(20 + x): 36(20 + x) + 22(20 − x) = 3(400 − x²), 1160 + 14x = 1200 − 3x², 3x² + 14x − 40 = 0, D = 196 + 480 = 676 = 26², x = (−14 ± 26)/6, x = 2 или x = −20/3. Подходит x = 2.
Ответ: 2 км/ч.
661. В водный раствор соли добавили 100 г воды. В результате концентрация соли в растворе понизилась на 1%. Определите первоначальную массу раствора, если известно, что в нём содержалось 30 г соли.
Пусть первоначальная масса раствора x г. Концентрация соли была 30/x · 100%, после добавления 100 г воды масса раствора x + 100 г и концентрация 30/(x + 100) · 100%. Она понизилась на 1%: 3000/x − 3000/(x + 100) = 1.
Умножаем на x(x + 100): 3000(x + 100) − 3000x = x(x + 100), 300 000 = x² + 100x, x² + 100x − 300 000 = 0, D = 10 000 + 1 200 000 = 1 210 000 = 1100², x = (−100 ± 1100)/2, x = 500 или x = −600. Подходит x = 500.
Ответ: 500 г.
Умножаем на x(x + 100): 3000(x + 100) − 3000x = x(x + 100), 300 000 = x² + 100x, x² + 100x − 300 000 = 0, D = 10 000 + 1 200 000 = 1 210 000 = 1100², x = (−100 ± 1100)/2, x = 500 или x = −600. Подходит x = 500.
Ответ: 500 г.
662. Сплав золота и серебра содержал 40 г золота. После того как к нему добавили 50 г золота, получили новый сплав, в котором содержание золота возросло на 20%. Сколько серебра было в сплаве?
Пусть в сплаве было x г серебра. Тогда масса сплава x + 40 г, доля золота 40/(x + 40). После добавления 50 г золота масса x + 90 г, золота 90 г, доля 90/(x + 90). Содержание возросло на 20% = 0,2: 90/(x + 90) − 40/(x + 40) = 0,2.
Умножаем на (x + 90)(x + 40): 90(x + 40) − 40(x + 90) = 0,2(x + 90)(x + 40), 50x = 0,2(x² + 130x + 3600), 250x = x² + 130x + 3600, x² − 120x + 3600 = 0, (x − 60)² = 0, x = 60.
Ответ: 60 г.
Умножаем на (x + 90)(x + 40): 90(x + 40) − 40(x + 90) = 0,2(x + 90)(x + 40), 50x = 0,2(x² + 130x + 3600), 250x = x² + 130x + 3600, x² − 120x + 3600 = 0, (x − 60)² = 0, x = 60.
Ответ: 60 г.
663. При совместной работе двух кранов разгрузку баржи закончили за 6 ч. Сколько времени потребовалось бы каждому крану отдельно для разгрузки баржи, если известно, что первому крану для этого требуется на 5 ч больше, чем второму?
Пусть второму крану нужно x ч, тогда первому x + 5 ч. За 1 ч краны разгружают 1/x и 1/(x + 5) баржи, вместе за 6 ч — всю баржу: 6(1/x + 1/(x + 5)) = 1, то есть 1/x + 1/(x + 5) = 1/6.
Умножаем на 6x(x + 5): 6(x + 5) + 6x = x(x + 5), 12x + 30 = x² + 5x, x² − 7x − 30 = 0, D = 49 + 120 = 169, x = (7 ± 13)/2, x = 10 или x = −3. Подходит x = 10, первому крану нужно 15 ч.
Ответ: первому крану 15 ч, второму 10 ч.
Умножаем на 6x(x + 5): 6(x + 5) + 6x = x(x + 5), 12x + 30 = x² + 5x, x² − 7x − 30 = 0, D = 49 + 120 = 169, x = (7 ± 13)/2, x = 10 или x = −3. Подходит x = 10, первому крану нужно 15 ч.
Ответ: первому крану 15 ч, второму 10 ч.
664. Два 3D-принтера разной мощности изготовили за 2 ч 55 мин некоторое количество деталей. За какое время это количество деталей мог бы изготовить первый 3D-принтер, если известно, что ему для этого потребуется на 2 ч больше, чем второму 3D-принтеру?
2 ч 55 мин = 2 55/60 ч = 35/12 ч. Пусть второму принтеру нужно x ч, тогда первому x + 2 ч. Производительности 1/x и 1/(x + 2), вместе они справились за 35/12 ч: 1/x + 1/(x + 2) = 12/35.
Умножаем на 35x(x + 2): 35(x + 2) + 35x = 12x(x + 2), 70x + 70 = 12x² + 24x, 12x² − 46x − 70 = 0, 6x² − 23x − 35 = 0, D = 529 + 840 = 1369 = 37², x = (23 ± 37)/12, x = 5 или x = −7/6. Подходит x = 5, первому принтеру нужно 5 + 2 = 7 ч.
Ответ: 7 ч.
Умножаем на 35x(x + 2): 35(x + 2) + 35x = 12x(x + 2), 70x + 70 = 12x² + 24x, 12x² − 46x − 70 = 0, 6x² − 23x − 35 = 0, D = 529 + 840 = 1369 = 37², x = (23 ± 37)/12, x = 5 или x = −7/6. Подходит x = 5, первому принтеру нужно 5 + 2 = 7 ч.
Ответ: 7 ч.
665. Велосипедист проехал из посёлка до станции с некоторой постоянной скоростью, а возвращался со скоростью, на 5 км/ч большей. Какова была первоначальная скорость велосипедиста, если известно, что его средняя скорость на всём пути следования составляла 12 км/ч?
Пусть первоначальная скорость x км/ч, на обратном пути x + 5 км/ч, расстояние от посёлка до станции s км. Время туда s/x, обратно s/(x + 5), весь путь 2s. Средняя скорость 2s/(s/x + s/(x + 5)) = 12. Сокращаем на s: 2/(1/x + 1/(x + 5)) = 12, откуда 1/x + 1/(x + 5) = 1/6.
Умножаем на 6x(x + 5): 6(x + 5) + 6x = x(x + 5), x² − 7x − 30 = 0, x = 10 или x = −3. Подходит x = 10.
Проверка: время туда s/10, обратно s/15, всего s/6, средняя скорость 2s : (s/6) = 12.
Ответ: 10 км/ч.
Умножаем на 6x(x + 5): 6(x + 5) + 6x = x(x + 5), x² − 7x − 30 = 0, x = 10 или x = −3. Подходит x = 10.
Проверка: время туда s/10, обратно s/15, всего s/6, средняя скорость 2s : (s/6) = 12.
Ответ: 10 км/ч.
666. Мотоциклист половину пути проехал с некоторой постоянной скоростью, а затем снизил скорость на 20 км/ч. Какова была скорость мотоциклиста на первой половине пути, если известно, что средняя скорость на всём пути составила 37,5 км/ч?
Пусть скорость на первой половине пути x км/ч (x > 20), на второй x − 20 км/ч, а каждая половина пути равна s км. Время s/x + s/(x − 20), весь путь 2s, средняя скорость 2s/(s/x + s/(x − 20)) = 37,5. Сокращаем на s: 2/(1/x + 1/(x − 20)) = 37,5, то есть 1/x + 1/(x − 20) = 2/37,5 = 4/75.
Умножаем на 75x(x − 20): 75(x − 20) + 75x = 4x(x − 20), 150x − 1500 = 4x² − 80x, 4x² − 230x + 1500 = 0, 2x² − 115x + 750 = 0, D = 13 225 − 6000 = 7225 = 85², x = (115 ± 85)/4, x = 50 или x = 7,5. Условию x > 20 удовлетворяет только x = 50.
Ответ: 50 км/ч.
Умножаем на 75x(x − 20): 75(x − 20) + 75x = 4x(x − 20), 150x − 1500 = 4x² − 80x, 4x² − 230x + 1500 = 0, 2x² − 115x + 750 = 0, D = 13 225 − 6000 = 7225 = 85², x = (115 ± 85)/4, x = 50 или x = 7,5. Условию x > 20 удовлетворяет только x = 50.
Ответ: 50 км/ч.
667. Докажите, что: а) 1/(11 + 2√30) + 1/(11 − 2√30) = 22; б) (√5 + 2)/(√5 − 2) + (√5 − 2)/(√5 + 2) = 18.
а) Приводим к общему знаменателю: (11 − 2√30 + 11 + 2√30)/((11 + 2√30)(11 − 2√30)) = 22/(121 − 4 · 30) = 22/(121 − 120) = 22/1 = 22. Равенство доказано.
б) Общий знаменатель (√5 − 2)(√5 + 2) = 5 − 4 = 1. Числитель: (√5 + 2)² + (√5 − 2)² = (5 + 4√5 + 4) + (5 − 4√5 + 4) = 18. Значит, сумма равна 18/1 = 18. Равенство доказано.
б) Общий знаменатель (√5 − 2)(√5 + 2) = 5 − 4 = 1. Числитель: (√5 + 2)² + (√5 − 2)² = (5 + 4√5 + 4) + (5 − 4√5 + 4) = 18. Значит, сумма равна 18/1 = 18. Равенство доказано.