Глава III. §10. п.28 Уравнение с двумя переменными и его график — с. 157
671. Является ли пара чисел (−1; 3) решением уравнения: а) x² − y + 2 = 0; б) xy + y = 6; в) x² + y² = 10; г) x² − y² + 8 = 0?
Подставляем x = −1, y = 3.
а) (−1)² − 3 + 2 = 1 − 3 + 2 = 0 — верно, является.
б) (−1) · 3 + 3 = −3 + 3 = 0 ≠ 6 — неверно, не является.
в) (−1)² + 3² = 1 + 9 = 10 — верно, является.
г) (−1)² − 3² + 8 = 1 − 9 + 8 = 0 — верно, является.
Ответ: а), в), г) — да; б) — нет.
а) (−1)² − 3 + 2 = 1 − 3 + 2 = 0 — верно, является.
б) (−1) · 3 + 3 = −3 + 3 = 0 ≠ 6 — неверно, не является.
в) (−1)² + 3² = 1 + 9 = 10 — верно, является.
г) (−1)² − 3² + 8 = 1 − 9 + 8 = 0 — верно, является.
Ответ: а), в), г) — да; б) — нет.
672. Найдите три каких-нибудь решения уравнения: а) x − 2y = 8; б) x + 0y = 10; в) x − xy = 12; г) (x + y)(y − 2) = 0.
а) Выразим x = 8 + 2y. При y = 0: x = 8; при y = 1: x = 10; при y = −4: x = 0. Решения: (8; 0), (10; 1), (0; −4).
б) Уравнение сводится к x = 10, y — любое. Решения: (10; 0), (10; 1), (10; −3).
в) x(1 − y) = 12. При y = 0: x = 12; при y = −1: 2x = 12, x = 6; при y = −2: 3x = 12, x = 4. Решения: (12; 0), (6; −1), (4; −2). Проверка: 6 − 6 · (−1) = 12.
г) Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: y = 2 (x любое) или y = −x. Решения: (0; 2), (5; 2), (1; −1) — проверка: (1 − 1)(−1 − 2) = 0.
Оговорка: решений бесконечно много, приведены какие-либо три.
б) Уравнение сводится к x = 10, y — любое. Решения: (10; 0), (10; 1), (10; −3).
в) x(1 − y) = 12. При y = 0: x = 12; при y = −1: 2x = 12, x = 6; при y = −2: 3x = 12, x = 4. Решения: (12; 0), (6; −1), (4; −2). Проверка: 6 − 6 · (−1) = 12.
г) Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: y = 2 (x любое) или y = −x. Решения: (0; 2), (5; 2), (1; −1) — проверка: (1 − 1)(−1 − 2) = 0.
Оговорка: решений бесконечно много, приведены какие-либо три.
673. Определите степень уравнения: а) x + 4xy = 5; б) x⁵ + 8x³y³ = 1; в) 8x⁶ − y² = 2x⁴(4x² − y); г) (x − 2y)² − x² = 4y(y − x) + 5x.
Приводим уравнение к виду «многочлен стандартного вида = 0» и берём степень многочлена.
а) x + 4xy − 5 = 0; степень одночлена 4xy равна 2, остальные меньше. Степень уравнения 2.
б) x⁵ + 8x³y³ − 1 = 0; степень 8x³y³ равна 3 + 3 = 6. Степень уравнения 6.
в) 8x⁶ − y² = 8x⁶ − 2x⁴y, откуда −y² + 2x⁴y = 0; степень 2x⁴y равна 5. Степень уравнения 5.
г) (x − 2y)² − x² = x² − 4xy + 4y² − x² = −4xy + 4y²; правая часть 4y² − 4xy + 5x. Переносим: −4xy + 4y² − 4y² + 4xy − 5x = 0, то есть −5x = 0. Степень уравнения 1.
Ответ: а) 2; б) 6; в) 5; г) 1.
а) x + 4xy − 5 = 0; степень одночлена 4xy равна 2, остальные меньше. Степень уравнения 2.
б) x⁵ + 8x³y³ − 1 = 0; степень 8x³y³ равна 3 + 3 = 6. Степень уравнения 6.
в) 8x⁶ − y² = 8x⁶ − 2x⁴y, откуда −y² + 2x⁴y = 0; степень 2x⁴y равна 5. Степень уравнения 5.
г) (x − 2y)² − x² = x² − 4xy + 4y² − x² = −4xy + 4y²; правая часть 4y² − 4xy + 5x. Переносим: −4xy + 4y² − 4y² + 4xy − 5x = 0, то есть −5x = 0. Степень уравнения 1.
Ответ: а) 2; б) 6; в) 5; г) 1.