Глава III. §10. п.28 Уравнение с двумя переменными и его график — с. 159
680. Составьте уравнение с двумя переменными, график которого изображён на рисунке 29. [рисунок 29: на каждом из четырёх рисунков единичному отрезку соответствуют две клетки; а) вертикальная прямая x = 3 и горизонтальная прямая y = 3; б) вертикальная прямая x = −2 и горизонтальная прямая y = −2; в) две горизонтальные прямые y = 2 и y = −2; г) две вертикальные прямые x = −2 и x = 4]
График состоит из двух прямых, поэтому уравнение — произведение двух выражений, равных нулю на этих прямых, приравненное к нулю.
а) Прямые x = 3 и y = 3: (x − 3)(y − 3) = 0.
б) Прямые x = −2 и y = −2: (x + 2)(y + 2) = 0.
в) Прямые y = 2 и y = −2: (y − 2)(y + 2) = 0, или y² − 4 = 0.
г) Прямые x = −2 и x = 4: (x + 2)(x − 4) = 0.
Ответ: а) (x − 3)(y − 3) = 0; б) (x + 2)(y + 2) = 0; в) (y + 2)(y − 2) = 0; г) (x − 4)(x + 2) = 0.
а) Прямые x = 3 и y = 3: (x − 3)(y − 3) = 0.
б) Прямые x = −2 и y = −2: (x + 2)(y + 2) = 0.
в) Прямые y = 2 и y = −2: (y − 2)(y + 2) = 0, или y² − 4 = 0.
г) Прямые x = −2 и x = 4: (x + 2)(x − 4) = 0.
Ответ: а) (x − 3)(y − 3) = 0; б) (x + 2)(y + 2) = 0; в) (y + 2)(y − 2) = 0; г) (x − 4)(x + 2) = 0.
681. Постройте график уравнения: а) y − x² = 0; б) y − x³ = 0; в) 0,5xy + 1,5 = 0; г) y + x³ = 0.
Выразим y через x и составим таблицы значений.
а) y = x² — парабола с вершиной в начале координат, ветви направлены вверх. Таблица: x: −2, −1, 0, 1, 2; y: 4, 1, 0, 1, 4.
б) y = x³ — кубическая парабола, проходит через начало координат, при x > 0 возрастает от 0, при x < 0 расположена в III четверти. Таблица: x: −1,5; −1; 0; 1; 1,5; y: −3,375; −1; 0; 1; 3,375.
в) 0,5xy = −1,5, откуда xy = −3 и y = −3/x (x ≠ 0) — гипербола, ветви которой расположены во II и IV четвертях. Таблица: x: −3, −1, 1, 3; y: 1, 3, −3, −1.
г) y = −x³ — график симметричен графику y = x³ относительно оси x: проходит через начало координат, при x > 0 убывает, лежит в IV четверти, при x < 0 — во II четверти. Таблица: x: −1,5; −1; 0; 1; 1,5; y: 3,375; 1; 0; −1; −3,375.
Графики построены на рисунке.
а) y = x² — парабола с вершиной в начале координат, ветви направлены вверх. Таблица: x: −2, −1, 0, 1, 2; y: 4, 1, 0, 1, 4.
б) y = x³ — кубическая парабола, проходит через начало координат, при x > 0 возрастает от 0, при x < 0 расположена в III четверти. Таблица: x: −1,5; −1; 0; 1; 1,5; y: −3,375; −1; 0; 1; 3,375.
в) 0,5xy = −1,5, откуда xy = −3 и y = −3/x (x ≠ 0) — гипербола, ветви которой расположены во II и IV четвертях. Таблица: x: −3, −1, 1, 3; y: 1, 3, −3, −1.
г) y = −x³ — график симметричен графику y = x³ относительно оси x: проходит через начало координат, при x > 0 убывает, лежит в IV четверти, при x < 0 — во II четверти. Таблица: x: −1,5; −1; 0; 1; 1,5; y: 3,375; 1; 0; −1; −3,375.
Графики построены на рисунке.