Глава III. §10. п.31 Алгебраический способ решения систем уравнений — с. 168
705. Решите систему уравнений: а) {x + y = 8; xy = −20}; б) {x − y = 0,8; xy = 2,4}; в) {x² − y² = 8; x − y = 4}; г) {x² + y² = 5; x + y = −3}.
а) y = 8 − x, x(8 − x) = −20, x² − 8x − 20 = 0, x = 10 или x = −2; y = −2 или y = 10.
б) x = y + 0,8, (y + 0,8)y = 2,4, y² + 0,8y − 2,4 = 0, D = 0,64 + 9,6 = 10,24 = 3,2², y = (−0,8 ± 3,2)/2, то есть y = 1,2 или y = −2; x = 2 или x = −1,2.
в) (x − y)(x + y) = 8 и x − y = 4, поэтому x + y = 2. Сложив уравнения x − y = 4 и x + y = 2, получаем x = 3, y = −1.
г) y = −3 − x, x² + (3 + x)² = 5, 2x² + 6x + 4 = 0, x² + 3x + 2 = 0, x = −1 или x = −2; y = −2 или y = −1.
Ответ: а) (10; −2), (−2; 10); б) (2; 1,2), (−1,2; −2); в) (3; −1); г) (−1; −2), (−2; −1).
б) x = y + 0,8, (y + 0,8)y = 2,4, y² + 0,8y − 2,4 = 0, D = 0,64 + 9,6 = 10,24 = 3,2², y = (−0,8 ± 3,2)/2, то есть y = 1,2 или y = −2; x = 2 или x = −1,2.
в) (x − y)(x + y) = 8 и x − y = 4, поэтому x + y = 2. Сложив уравнения x − y = 4 и x + y = 2, получаем x = 3, y = −1.
г) y = −3 − x, x² + (3 + x)² = 5, 2x² + 6x + 4 = 0, x² + 3x + 2 = 0, x = −1 или x = −2; y = −2 или y = −1.
Ответ: а) (10; −2), (−2; 10); б) (2; 1,2), (−1,2; −2); в) (3; −1); г) (−1; −2), (−2; −1).
706. Решите систему уравнений: а) {y − 2x = 2; 5x² − y = 1}; б) {x − 2y² = 2; 3x + y = 7}; в) {3x² − 2y = 1; 2x² − y² = 1}; г) {3x² + 2y² = 11; x + 2y = 3}; д) {x² + y² = 100; 3x = 4y}; е) {2x² − y² = 32; 2x − y = 8}.
а) y = 2x + 2, 5x² − 2x − 2 = 1, 5x² − 2x − 3 = 0, D = 64, x = (2 ± 8)/10, x = 1 или x = −0,6; y = 4 или y = 0,8.
б) y = 7 − 3x, x − 2(7 − 3x)² = 2, 18x² − 85x + 100 = 0, D = 25, x = (85 ± 5)/36, x = 2,5 или x = 20/9; y = −0,5 или y = 1/3.
в) Из первого уравнения y = (3x² − 1)/2. Подставим во второе: 2x² − (3x² − 1)²/4 = 1, 8x² − 9x⁴ + 6x² − 1 = 4, 9x⁴ − 14x² + 5 = 0. Пусть t = x²: 9t² − 14t + 5 = 0, D = 16, t = 1 или t = 5/9. При x² = 1: x = ±1, y = 1. При x² = 5/9: x = ±√5/3, y = (5/3 − 1)/2 = 1/3.
г) x = 3 − 2y, 3(3 − 2y)² + 2y² = 11, 14y² − 36y + 16 = 0, 7y² − 18y + 8 = 0, D = 100, y = 2 или y = 4/7; x = −1 или x = 13/7.
д) x = 4y/3, 16y²/9 + y² = 100, 25y² = 900, y² = 36, y = ±6; x = ±8.
е) y = 2x − 8, 2x² − (2x − 8)² = 32, −2x² + 32x − 96 = 0, x² − 16x + 48 = 0, x = 4 или x = 12; y = 0 или y = 16.
Ответ: а) (1; 4), (−0,6; 0,8); б) (2,5; −0,5), (2 2/9; 1/3); в) (1; 1), (−1; 1), (√5/3; 1/3), (−√5/3; 1/3); г) (−1; 2), (1 6/7; 4/7); д) (8; 6), (−8; −6); е) (4; 0), (12; 16).
Оговорка: для пункта в) в ответах учебника указаны другие пары; подстановкой проверено: (1; 1) даёт 3 − 2 = 1 и 2 − 1 = 1, (√5/3; 1/3) даёт 5/3 − 2/3 = 1 и 10/9 − 1/9 = 1. Пункты д) и е) в ответах учебника не приведены.
б) y = 7 − 3x, x − 2(7 − 3x)² = 2, 18x² − 85x + 100 = 0, D = 25, x = (85 ± 5)/36, x = 2,5 или x = 20/9; y = −0,5 или y = 1/3.
в) Из первого уравнения y = (3x² − 1)/2. Подставим во второе: 2x² − (3x² − 1)²/4 = 1, 8x² − 9x⁴ + 6x² − 1 = 4, 9x⁴ − 14x² + 5 = 0. Пусть t = x²: 9t² − 14t + 5 = 0, D = 16, t = 1 или t = 5/9. При x² = 1: x = ±1, y = 1. При x² = 5/9: x = ±√5/3, y = (5/3 − 1)/2 = 1/3.
г) x = 3 − 2y, 3(3 − 2y)² + 2y² = 11, 14y² − 36y + 16 = 0, 7y² − 18y + 8 = 0, D = 100, y = 2 или y = 4/7; x = −1 или x = 13/7.
д) x = 4y/3, 16y²/9 + y² = 100, 25y² = 900, y² = 36, y = ±6; x = ±8.
е) y = 2x − 8, 2x² − (2x − 8)² = 32, −2x² + 32x − 96 = 0, x² − 16x + 48 = 0, x = 4 или x = 12; y = 0 или y = 16.
Ответ: а) (1; 4), (−0,6; 0,8); б) (2,5; −0,5), (2 2/9; 1/3); в) (1; 1), (−1; 1), (√5/3; 1/3), (−√5/3; 1/3); г) (−1; 2), (1 6/7; 4/7); д) (8; 6), (−8; −6); е) (4; 0), (12; 16).
Оговорка: для пункта в) в ответах учебника указаны другие пары; подстановкой проверено: (1; 1) даёт 3 − 2 = 1 и 2 − 1 = 1, (√5/3; 1/3) даёт 5/3 − 2/3 = 1 и 10/9 − 1/9 = 1. Пункты д) и е) в ответах учебника не приведены.
707. Решите систему уравнений, используя способ сложения или подстановки: а) {2x² + y² = 9; x² − y² = 3}; б) {2x² − xy = 33; 4x − y = 17}; в) {3x² − 2y = 1; 2x² − y² = 1}; г) {x − y − 4 = 0; x² + y² = 8,5}; д) {x² + 4y = 10; x − 2y = −5}; е) {x − 2y + 1 = 0; 5xy + y² = 16}.
а) Сложим уравнения: 3x² = 12, x² = 4, x = ±2. Из второго y² = x² − 3 = 1, y = ±1. Четыре решения.
б) y = 4x − 17, 2x² − x(4x − 17) = 33, −2x² + 17x − 33 = 0, 2x² − 17x + 33 = 0, D = 25, x = (17 ± 5)/4, x = 5,5 или x = 3; y = 5 или y = −5.
в) Это та же система, что в задании 706 в): y = (3x² − 1)/2, затем 9x⁴ − 14x² + 5 = 0, x² = 1 или x² = 5/9; решения (±1; 1), (±√5/3; 1/3).
г) x = y + 4, (y + 4)² + y² = 8,5, 2y² + 8y + 7,5 = 0, 4y² + 16y + 15 = 0, D = 16, y = (−16 ± 4)/8, y = −1,5 или y = −2,5; x = 2,5 или x = 1,5.
д) x = 2y − 5, (2y − 5)² + 4y = 10, 4y² − 16y + 15 = 0, D = 16, y = (16 ± 4)/8, y = 2,5 или y = 1,5; x = 0 или x = −2.
е) x = 2y − 1, 5y(2y − 1) + y² = 16, 11y² − 5y − 16 = 0, D = 729, y = (5 ± 27)/22, y = 16/11 или y = −1; x = 21/11 или x = −3.
Ответ: а) (2; 1), (2; −1), (−2; 1), (−2; −1); б) (5,5; 5), (3; −5); в) (1; 1), (−1; 1), (√5/3; 1/3), (−√5/3; 1/3); г) (2,5; −1,5), (1,5; −2,5); д) (0; 2,5), (−2; 1,5); е) (21/11; 16/11), (−3; −1).
б) y = 4x − 17, 2x² − x(4x − 17) = 33, −2x² + 17x − 33 = 0, 2x² − 17x + 33 = 0, D = 25, x = (17 ± 5)/4, x = 5,5 или x = 3; y = 5 или y = −5.
в) Это та же система, что в задании 706 в): y = (3x² − 1)/2, затем 9x⁴ − 14x² + 5 = 0, x² = 1 или x² = 5/9; решения (±1; 1), (±√5/3; 1/3).
г) x = y + 4, (y + 4)² + y² = 8,5, 2y² + 8y + 7,5 = 0, 4y² + 16y + 15 = 0, D = 16, y = (−16 ± 4)/8, y = −1,5 или y = −2,5; x = 2,5 или x = 1,5.
д) x = 2y − 5, (2y − 5)² + 4y = 10, 4y² − 16y + 15 = 0, D = 16, y = (16 ± 4)/8, y = 2,5 или y = 1,5; x = 0 или x = −2.
е) x = 2y − 1, 5y(2y − 1) + y² = 16, 11y² − 5y − 16 = 0, D = 729, y = (5 ± 27)/22, y = 16/11 или y = −1; x = 21/11 или x = −3.
Ответ: а) (2; 1), (2; −1), (−2; 1), (−2; −1); б) (5,5; 5), (3; −5); в) (1; 1), (−1; 1), (√5/3; 1/3), (−√5/3; 1/3); г) (2,5; −1,5), (1,5; −2,5); д) (0; 2,5), (−2; 1,5); е) (21/11; 16/11), (−3; −1).
708. Решите систему уравнений: а) {2x + 4y = 5(x − y); x² − y² = 6}; б) {u − v = 6(u + v); u² − v² = 6}.
а) Упростим первое уравнение: 2x + 4y = 5x − 5y, 9y = 3x, x = 3y. Подставим во второе: 9y² − y² = 6, 8y² = 6, y² = 3/4, y = ±√3/2, тогда x = ±3√3/2.
б) Первое уравнение: u − v = 6u + 6v, −5u = 7v, u = −7v/5. Подставим во второе: 49v²/25 − v² = 6, 24v²/25 = 6, v² = 25/4, v = ±2,5, тогда u = ∓3,5. Проверка: при v = 2,5, u = −3,5: u − v = −6, 6(u + v) = 6·(−1) = −6; u² − v² = 12,25 − 6,25 = 6.
Ответ: а) (3√3/2; √3/2), (−3√3/2; −√3/2); б) (−3,5; 2,5), (3,5; −2,5).
б) Первое уравнение: u − v = 6u + 6v, −5u = 7v, u = −7v/5. Подставим во второе: 49v²/25 − v² = 6, 24v²/25 = 6, v² = 25/4, v = ±2,5, тогда u = ∓3,5. Проверка: при v = 2,5, u = −3,5: u − v = −6, 6(u + v) = 6·(−1) = −6; u² − v² = 12,25 − 6,25 = 6.
Ответ: а) (3√3/2; √3/2), (−3√3/2; −√3/2); б) (−3,5; 2,5), (3,5; −2,5).
709. Решите систему уравнений {y = 0,5x² − 2; y − x = 2} сначала графическим способом, а затем аналитическим.
Графический способ. Строим параболу y = 0,5x² − 2 (вершина (0; −2), точки (±2; 0), (±4; 6)) и прямую y = x + 2 (точки (0; 2) и (−2; 0)). Графики пересекаются в точках (−2; 0) и (4; 6).
Аналитический способ. Из второго уравнения y = x + 2. Подставим в первое: x + 2 = 0,5x² − 2, 0,5x² − x − 4 = 0, x² − 2x − 8 = 0, x = 4 или x = −2. Тогда y = 6 или y = 0.
Оба способа дают один результат.
Ответ: (−2; 0), (4; 6).
Аналитический способ. Из второго уравнения y = x + 2. Подставим в первое: x + 2 = 0,5x² − 2, 0,5x² − x − 4 = 0, x² − 2x − 8 = 0, x = 4 или x = −2. Тогда y = 6 или y = 0.
Оба способа дают один результат.
Ответ: (−2; 0), (4; 6).
710. Решите систему уравнений: а) {x² + y² + 3xy = −1; x + 2y = 0}; б) {u + 2v = 4; u² + uv − v = −5}.
а) x = −2y. Тогда 4y² + y² − 6y² = −1, −y² = −1, y² = 1, y = ±1, x = ∓2. Проверка: при x = −2, y = 1: 4 + 1 − 6 = −1.
б) u = 4 − 2v. Тогда (4 − 2v)² + (4 − 2v)v − v = −5, 16 − 16v + 4v² + 4v − 2v² − v + 5 = 0, 2v² − 13v + 21 = 0, D = 1, v = (13 ± 1)/4, v = 3,5 или v = 3. Тогда u = −3 или u = −2.
Ответ: а) (−2; 1), (2; −1); б) (−3; 3,5), (−2; 3).
б) u = 4 − 2v. Тогда (4 − 2v)² + (4 − 2v)v − v = −5, 16 − 16v + 4v² + 4v − 2v² − v + 5 = 0, 2v² − 13v + 21 = 0, D = 1, v = (13 ± 1)/4, v = 3,5 или v = 3. Тогда u = −3 или u = −2.
Ответ: а) (−2; 1), (2; −1); б) (−3; 3,5), (−2; 3).
711. Решите систему уравнений: а) {x − y = 5; 1/x + 1/y = 1/6}; б) {x + y = 6; 1/x − 1/y = 1/4}; в) {3x + y = 1; 1/x + 1/y = −2,5}; г) {1/y − 1/x = 1/3; x − 2y = 2}.
Во всех пунктах x ≠ 0 и y ≠ 0; дроби складываем и вычитаем, затем подставляем линейное уравнение.
а) 1/x + 1/y = (x + y)/(xy) = 1/6, то есть xy = 6(x + y). Подставим x = y + 5: y(y + 5) = 6(2y + 5), y² − 7y − 30 = 0, y = 10 или y = −3; x = 15 или x = 2.
б) 1/x − 1/y = (y − x)/(xy) = 1/4, то есть xy = 4(y − x). Подставим y = 6 − x: x(6 − x) = 4(6 − 2x), x² − 14x + 24 = 0, x = 12 или x = 2; y = −6 или y = 4.
в) (x + y)/(xy) = −2,5, то есть 2(x + y) = −5xy. Подставим y = 1 − 3x: 2(1 − 2x) = −5x(1 − 3x), 15x² − x − 2 = 0, D = 121, x = (1 ± 11)/30, x = 0,4 или x = −1/3; y = −0,2 или y = 2.
г) 1/y − 1/x = (x − y)/(xy) = 1/3, то есть xy = 3(x − y). Подставим x = 2y + 2: (2y + 2)y = 3(y + 2), 2y² − y − 6 = 0, D = 49, y = (1 ± 7)/4, y = 2 или y = −1,5; x = 6 или x = −1.
Проверка (пункт а): 1/15 + 1/10 = 1/6; 1/2 − 1/3 = 1/6.
Ответ: а) (15; 10), (2; −3); б) (12; −6), (2; 4); в) (0,4; −0,2), (−1/3; 2); г) (6; 2), (−1; −1,5).
Оговорка: в печатном издании пункты нумерованы а), б), б), г); здесь они названы а), б), в), г) в порядке, соответствующем ответам учебника: б) — система с x + y = 6, в) — система с 3x + y = 1.
а) 1/x + 1/y = (x + y)/(xy) = 1/6, то есть xy = 6(x + y). Подставим x = y + 5: y(y + 5) = 6(2y + 5), y² − 7y − 30 = 0, y = 10 или y = −3; x = 15 или x = 2.
б) 1/x − 1/y = (y − x)/(xy) = 1/4, то есть xy = 4(y − x). Подставим y = 6 − x: x(6 − x) = 4(6 − 2x), x² − 14x + 24 = 0, x = 12 или x = 2; y = −6 или y = 4.
в) (x + y)/(xy) = −2,5, то есть 2(x + y) = −5xy. Подставим y = 1 − 3x: 2(1 − 2x) = −5x(1 − 3x), 15x² − x − 2 = 0, D = 121, x = (1 ± 11)/30, x = 0,4 или x = −1/3; y = −0,2 или y = 2.
г) 1/y − 1/x = (x − y)/(xy) = 1/3, то есть xy = 3(x − y). Подставим x = 2y + 2: (2y + 2)y = 3(y + 2), 2y² − y − 6 = 0, D = 49, y = (1 ± 7)/4, y = 2 или y = −1,5; x = 6 или x = −1.
Проверка (пункт а): 1/15 + 1/10 = 1/6; 1/2 − 1/3 = 1/6.
Ответ: а) (15; 10), (2; −3); б) (12; −6), (2; 4); в) (0,4; −0,2), (−1/3; 2); г) (6; 2), (−1; −1,5).
Оговорка: в печатном издании пункты нумерованы а), б), б), г); здесь они названы а), б), в), г) в порядке, соответствующем ответам учебника: б) — система с x + y = 6, в) — система с 3x + y = 1.