Глава III. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфу 7 — с. 176
754. Найдите три последовательных чётных числа, если известно, что сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего числа.
Пусть числа 2n, 2n + 2, 2n + 4 (n — целое). Тогда (2n)² + (2n + 2)² = (2n + 4)².
4n² + 4n² + 8n + 4 = 4n² + 16n + 16; 4n² − 8n − 12 = 0; n² − 2n − 3 = 0; n = 3 или n = −1.
При n = 3: 6, 8, 10 (36 + 64 = 100). При n = −1: −2, 0, 2 (4 + 0 = 4).
Ответ: 6, 8, 10 или −2, 0, 2.
4n² + 4n² + 8n + 4 = 4n² + 16n + 16; 4n² − 8n − 12 = 0; n² − 2n − 3 = 0; n = 3 или n = −1.
При n = 3: 6, 8, 10 (36 + 64 = 100). При n = −1: −2, 0, 2 (4 + 0 = 4).
Ответ: 6, 8, 10 или −2, 0, 2.
755. Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 112. Найдите эти числа.
Пусть числа n и n + 1. Тогда (n + n + 1)² − (n² + (n + 1)²) = 112.
4n² + 4n + 1 − 2n² − 2n − 1 = 112; 2n² + 2n − 112 = 0; n² + n − 56 = 0; n = 7 или n = −8 (не натуральное).
Числа 7 и 8. Проверка: 15² = 225, 49 + 64 = 113, 225 − 113 = 112.
Ответ: 7 и 8.
4n² + 4n + 1 − 2n² − 2n − 1 = 112; 2n² + 2n − 112 = 0; n² + n − 56 = 0; n = 7 или n = −8 (не натуральное).
Числа 7 и 8. Проверка: 15² = 225, 49 + 64 = 113, 225 − 113 = 112.
Ответ: 7 и 8.
756. Периметр прямоугольника равен 28 см, а сумма площадей квадратов, построенных на двух смежных сторонах прямоугольника, равна 116 см². Найдите стороны прямоугольника.
Пусть смежные стороны a и b см. Полупериметр a + b = 14, a² + b² = 116.
(a + b)² = a² + b² + 2ab, откуда 196 = 116 + 2ab, ab = 40.
Числа a и b — корни уравнения t² − 14t + 40 = 0: t = 4 или t = 10.
Проверка: 16 + 100 = 116.
Ответ: 4 см и 10 см.
(a + b)² = a² + b² + 2ab, откуда 196 = 116 + 2ab, ab = 40.
Числа a и b — корни уравнения t² − 14t + 40 = 0: t = 4 или t = 10.
Проверка: 16 + 100 = 116.
Ответ: 4 см и 10 см.
757. Фотографическая карточка размером 12 × 18 см наклеена на лист так, что получилась рамка одинаковой ширины. Определите ширину рамки, если известно, что фотокарточка вместе с рамкой занимает площадь 280 см².
Пусть ширина рамки x см. Размеры карточки с рамкой (12 + 2x) см и (18 + 2x) см.
(12 + 2x)(18 + 2x) = 280; 216 + 60x + 4x² = 280; 4x² + 60x − 64 = 0; x² + 15x − 16 = 0; x = 1 или x = −16 (не подходит).
Ответ: 1 см.
(12 + 2x)(18 + 2x) = 280; 216 + 60x + 4x² = 280; 4x² + 60x − 64 = 0; x² + 15x − 16 = 0; x = 1 или x = −16 (не подходит).
Ответ: 1 см.
758. Цветочная клумба, имеющая форму прямоугольника, окружена дерновым бордюром, ширина которого всюду одинакова. Клумба вместе с бордюром образует прямоугольник, длина которого 4,5 м, а ширина 2,5 м. Найдите ширину бордюра, если известно, что его площадь равна 3,25 м².
Пусть ширина бордюра x м. Клумба — прямоугольник (4,5 − 2x) на (2,5 − 2x).
Площадь бордюра равна разности площадей: 4,5·2,5 − (4,5 − 2x)(2,5 − 2x) = 3,25.
11,25 − (11,25 − 14x + 4x²) = 3,25; 14x − 4x² = 3,25; 16x² − 56x + 13 = 0.
D = 3136 − 832 = 2304 = 48²; x = (56 ± 48)/32; x = 0,25 или x = 3,25. Значение 3,25 не подходит, так как 2x < 2,5.
Ответ: 0,25 м.
Площадь бордюра равна разности площадей: 4,5·2,5 − (4,5 − 2x)(2,5 − 2x) = 3,25.
11,25 − (11,25 − 14x + 4x²) = 3,25; 14x − 4x² = 3,25; 16x² − 56x + 13 = 0.
D = 3136 − 832 = 2304 = 48²; x = (56 ± 48)/32; x = 0,25 или x = 3,25. Значение 3,25 не подходит, так как 2x < 2,5.
Ответ: 0,25 м.
759. Старинная задача. Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал её за 24 пистоля. При этом он потерял столько процентов, сколько стоила сама лошадь. Спрашивается: за какую сумму он её купил?
Пусть лошадь куплена за x пистолей. Потеря составила x процентов от x, т. е. x·x/100 = x²/100 пистолей.
Продал за x − x²/100 = 24; x² − 100x + 2400 = 0; D₁ = 2500 − 2400 = 100; x = 50 ± 10; x = 60 или x = 40.
Проверка: при 60: потеря 60·60/100 = 36, 60 − 36 = 24; при 40: потеря 16, 40 − 16 = 24.
Ответ: за 60 или за 40 пистолей.
Продал за x − x²/100 = 24; x² − 100x + 2400 = 0; D₁ = 2500 − 2400 = 100; x = 50 ± 10; x = 60 или x = 40.
Проверка: при 60: потеря 60·60/100 = 36, 60 − 36 = 24; при 40: потеря 16, 40 − 16 = 24.
Ответ: за 60 или за 40 пистолей.
760. Дно ящика — прямоугольник, ширина которого в 2 раза меньше его длины. Высота ящика 0,5 м. Найдите объём ящика, если известно, что площадь его дна на 1,08 м² меньше площади боковых стенок.
Пусть ширина дна x м, длина 2x м. Площадь дна 2x² м². Площадь боковых стенок: периметр дна 2(x + 2x) = 6x, умножаем на высоту 0,5: 3x м².
3x − 2x² = 1,08; 2x² − 3x + 1,08 = 0; D = 9 − 8,64 = 0,36; x = (3 ± 0,6)/4; x = 0,9 или x = 0,6.
Объём V = 2x²·0,5 = x². При x = 0,9: V = 0,81 м³; при x = 0,6: V = 0,36 м³.
Ответ: 0,81 м³ или 0,36 м³.
3x − 2x² = 1,08; 2x² − 3x + 1,08 = 0; D = 9 − 8,64 = 0,36; x = (3 ± 0,6)/4; x = 0,9 или x = 0,6.
Объём V = 2x²·0,5 = x². При x = 0,9: V = 0,81 м³; при x = 0,6: V = 0,36 м³.
Ответ: 0,81 м³ или 0,36 м³.
761. Имеется лист картона прямоугольной формы, длина которого в 1,5 раза больше его ширины. Из него можно изготовить открытую коробку объёмом 6080 см³, вырезав по углам картона квадраты со стороной 8 см. Найдите размеры — длину и ширину листа картона.
Пусть ширина листа x см, длина 1,5x см. Коробка имеет основание (1,5x − 16) на (x − 16) и высоту 8 см.
8(1,5x − 16)(x − 16) = 6080; (1,5x − 16)(x − 16) = 760; 1,5x² − 40x + 256 = 760; 3x² − 80x − 1008 = 0.
D₁ = 1600 + 3024 = 4624 = 68²; x = (40 ± 68)/3; x = 36 или x = −28/3 (не подходит).
Ширина 36 см, длина 1,5·36 = 54 см.
Ответ: 54 см и 36 см.
8(1,5x − 16)(x − 16) = 6080; (1,5x − 16)(x − 16) = 760; 1,5x² − 40x + 256 = 760; 3x² − 80x − 1008 = 0.
D₁ = 1600 + 3024 = 4624 = 68²; x = (40 ± 68)/3; x = 36 или x = −28/3 (не подходит).
Ширина 36 см, длина 1,5·36 = 54 см.
Ответ: 54 см и 36 см.
762. Разность кубов двух последовательных натуральных чисел равна 919. Найдите эти числа.
Пусть числа n и n + 1. Тогда (n + 1)³ − n³ = 919; 3n² + 3n + 1 = 919; n² + n − 306 = 0.
D = 1 + 1224 = 1225 = 35²; n = (−1 ± 35)/2; n = 17 (второй корень −18 не натуральный).
Числа 17 и 18. Проверка: 5832 − 4913 = 919.
Ответ: 17 и 18.
D = 1 + 1224 = 1225 = 35²; n = (−1 ± 35)/2; n = 17 (второй корень −18 не натуральный).
Числа 17 и 18. Проверка: 5832 − 4913 = 919.
Ответ: 17 и 18.
763. Разность кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел равна 866. Найдите эти числа.
Пусть числа n и n + 2 (n нечётное). Тогда (n + 2)³ − n³ = 866; 6n² + 12n + 8 = 866; n² + 2n − 143 = 0.
D₁ = 1 + 143 = 144; n = −1 ± 12; n = 11 (−13 не натуральное).
Числа 11 и 13. Проверка: 2197 − 1331 = 866.
Ответ: 11 и 13.
D₁ = 1 + 143 = 144; n = −1 ± 12; n = 11 (−13 не натуральное).
Числа 11 и 13. Проверка: 2197 − 1331 = 866.
Ответ: 11 и 13.
764. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета: а) x² − 5√2·x + 12 = 0; б) x² + 2√3·x − 72 = 0; в) y² − 6y + 7 = 0; г) p² − 10p + 7 = 0.
а) D = 50 − 48 = 2; x = (5√2 ± √2)/2; x₁ = 3√2, x₂ = 2√2. Проверка: сумма 5√2, произведение 6·2 = 12 — совпадает с −b и c.
б) D₁ = 3 + 72 = 75; x = −√3 ± 5√3; x₁ = 4√3, x₂ = −6√3. Проверка: сумма −2√3, произведение −24·3 = −72 — верно.
в) D₁ = 9 − 7 = 2; y = 3 ± √2. Проверка: сумма 6, произведение 9 − 2 = 7 — верно.
г) D₁ = 25 − 7 = 18; p = 5 ± 3√2. Проверка: сумма 10, произведение 25 − 18 = 7 — верно.
Ответ: а) 2√2; 3√2; б) −6√3; 4√3; в) 3 − √2; 3 + √2; г) 5 − 3√2; 5 + 3√2.
б) D₁ = 3 + 72 = 75; x = −√3 ± 5√3; x₁ = 4√3, x₂ = −6√3. Проверка: сумма −2√3, произведение −24·3 = −72 — верно.
в) D₁ = 9 − 7 = 2; y = 3 ± √2. Проверка: сумма 6, произведение 9 − 2 = 7 — верно.
г) D₁ = 25 − 7 = 18; p = 5 ± 3√2. Проверка: сумма 10, произведение 25 − 18 = 7 — верно.
Ответ: а) 2√2; 3√2; б) −6√3; 4√3; в) 3 − √2; 3 + √2; г) 5 − 3√2; 5 + 3√2.