Глава III. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфу 7 — с. 178
781. Зная, что уравнение x² + px + q = 0 имеет корни x₁ и x₂, составьте квадратное уравнение, имеющее корни: а) 3x₁ и 3x₂; б) x₁ + 2 и x₂ + 2.
По теореме Виета x₁ + x₂ = −p, x₁x₂ = q. Приведённое уравнение с корнями u и v имеет вид x² − (u + v)x + uv = 0.
а) u + v = 3(x₁ + x₂) = −3p; uv = 9x₁x₂ = 9q. Уравнение x² + 3px + 9q = 0.
б) u + v = x₁ + x₂ + 4 = 4 − p; uv = (x₁ + 2)(x₂ + 2) = x₁x₂ + 2(x₁ + x₂) + 4 = q − 2p + 4. Уравнение x² − (4 − p)x + (q − 2p + 4) = 0, т. е. x² + (p − 4)x + (q − 2p + 4) = 0.
Ответ: а) x² + 3px + 9q = 0; б) x² + (p − 4)x + (q − 2p + 4) = 0.
а) u + v = 3(x₁ + x₂) = −3p; uv = 9x₁x₂ = 9q. Уравнение x² + 3px + 9q = 0.
б) u + v = x₁ + x₂ + 4 = 4 − p; uv = (x₁ + 2)(x₂ + 2) = x₁x₂ + 2(x₁ + x₂) + 4 = q − 2p + 4. Уравнение x² − (4 − p)x + (q − 2p + 4) = 0, т. е. x² + (p − 4)x + (q − 2p + 4) = 0.
Ответ: а) x² + 3px + 9q = 0; б) x² + (p − 4)x + (q − 2p + 4) = 0.
782. Известно, что уравнение x² + px + q = 0 имеет корни x₁ и x₂. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа x₁/x₂ и x₂/x₁.
Корни x₁, x₂ не равны нулю, значит, q = x₁x₂ ≠ 0. Найдём сумму и произведение новых корней.
Сумма: x₁/x₂ + x₂/x₁ = (x₁² + x₂²)/(x₁x₂) = ((x₁ + x₂)² − 2x₁x₂)/(x₁x₂) = (p² − 2q)/q.
Произведение: (x₁/x₂)·(x₂/x₁) = 1.
Уравнение: x² − ((p² − 2q)/q)·x + 1 = 0; умножив на q, получим qx² − (p² − 2q)x + q = 0.
Ответ: qx² − (p² − 2q)x + q = 0.
Сумма: x₁/x₂ + x₂/x₁ = (x₁² + x₂²)/(x₁x₂) = ((x₁ + x₂)² − 2x₁x₂)/(x₁x₂) = (p² − 2q)/q.
Произведение: (x₁/x₂)·(x₂/x₁) = 1.
Уравнение: x² − ((p² − 2q)/q)·x + 1 = 0; умножив на q, получим qx² − (p² − 2q)x + q = 0.
Ответ: qx² − (p² − 2q)x + q = 0.
783. Найдите корни квадратного трёхчлена: а) (1/6)x² + (2/3)x − 2; б) (1/2)x² − (1/3)x − 1/4; в) −x² + 4x − 2 2/4; г) 0,4x² − x + 0,2.
Приравняем трёхчлен к нулю и умножим на общий знаменатель.
а) Умножим на 6: x² + 4x − 12 = 0; x = −6 или x = 2 (сумма −4, произведение −12).
б) Умножим на 12: 6x² − 4x − 3 = 0; D₁ = 4 + 18 = 22; x = (2 ± √22)/6.
в) 2 2/4 = 2,5. −x² + 4x − 2,5 = 0, т. е. 2x² − 8x + 5 = 0; D₁ = 16 − 10 = 6; x = (4 ± √6)/2 = 2 ± √6/2.
г) Умножим на 5: 2x² − 5x + 1 = 0; D = 25 − 8 = 17; x = (5 ± √17)/4.
Ответ: а) −6; 2; б) (2 ± √22)/6; в) (4 ± √6)/2; г) (5 ± √17)/4.
а) Умножим на 6: x² + 4x − 12 = 0; x = −6 или x = 2 (сумма −4, произведение −12).
б) Умножим на 12: 6x² − 4x − 3 = 0; D₁ = 4 + 18 = 22; x = (2 ± √22)/6.
в) 2 2/4 = 2,5. −x² + 4x − 2,5 = 0, т. е. 2x² − 8x + 5 = 0; D₁ = 16 − 10 = 6; x = (4 ± √6)/2 = 2 ± √6/2.
г) Умножим на 5: 2x² − 5x + 1 = 0; D = 25 − 8 = 17; x = (5 ± √17)/4.
Ответ: а) −6; 2; б) (2 ± √22)/6; в) (4 ± √6)/2; г) (5 ± √17)/4.
784. Составьте какой-нибудь квадратный трёхчлен, корнями которого являются числа: а) −7 и 2; б) 3 − √2 и 3 + √2.
Трёхчлен с корнями x₁ и x₂: x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂ (или a(x − x₁)(x − x₂), a ≠ 0).
а) x₁ + x₂ = −5, x₁x₂ = −14. Трёхчлен x² + 5x − 14 = (x + 7)(x − 2).
б) x₁ + x₂ = 6, x₁x₂ = 9 − 2 = 7. Трёхчлен x² − 6x + 7.
Ответ: например, а) x² + 5x − 14; б) x² − 6x + 7.
а) x₁ + x₂ = −5, x₁x₂ = −14. Трёхчлен x² + 5x − 14 = (x + 7)(x − 2).
б) x₁ + x₂ = 6, x₁x₂ = 9 − 2 = 7. Трёхчлен x² − 6x + 7.
Ответ: например, а) x² + 5x − 14; б) x² − 6x + 7.
785. При каком значении p выражение 2px² − 2x − 2p − 3 становится квадратным трёхчленом, одним из корней которого является число нуль?
Найдите другой корень.
Число 0 — корень, значит, свободный член равен нулю: −2p − 3 = 0, p = −1,5. При этом p ≠ 0, и выражение действительно квадратное: −3x² − 2x.
−3x² − 2x = 0; −x(3x + 2) = 0; x = 0 или x = −2/3.
Ответ: p = −1,5; другой корень −2/3.
−3x² − 2x = 0; −x(3x + 2) = 0; x = 0 или x = −2/3.
Ответ: p = −1,5; другой корень −2/3.
786. Докажите, что квадратный трёхчлен имеет корни, и найдите их сумму и произведение: а) 2x² − 10x + 3; б) (1/3)x² + 7x − 2; в) 0,5x² + 6x + 1; г) −(1/2)x² + (1/3)x + 1/2.
Корни существуют при D ≥ 0. Сумма корней −b/a, произведение c/a.
а) D = 100 − 24 = 76 > 0. Сумма 10/2 = 5, произведение 3/2 = 1,5.
б) D = 49 + 4·(1/3)·2 = 49 + 8/3 > 0. Сумма −7 : (1/3) = −21, произведение −2 : (1/3) = −6.
в) D = 36 − 4·0,5·1 = 34 > 0. Сумма −6 : 0,5 = −12, произведение 1 : 0,5 = 2.
г) D = 1/9 + 4·(1/2)·(1/2) = 1/9 + 1 = 10/9 > 0. Сумма −(1/3) : (−1/2) = 2/3, произведение (1/2) : (−1/2) = −1.
Ответ: а) 5 и 3/2; б) −21 и −6; в) −12 и 2; г) 2/3 и −1.
а) D = 100 − 24 = 76 > 0. Сумма 10/2 = 5, произведение 3/2 = 1,5.
б) D = 49 + 4·(1/3)·2 = 49 + 8/3 > 0. Сумма −7 : (1/3) = −21, произведение −2 : (1/3) = −6.
в) D = 36 − 4·0,5·1 = 34 > 0. Сумма −6 : 0,5 = −12, произведение 1 : 0,5 = 2.
г) D = 1/9 + 4·(1/2)·(1/2) = 1/9 + 1 = 10/9 > 0. Сумма −(1/3) : (−1/2) = 2/3, произведение (1/2) : (−1/2) = −1.
Ответ: а) 5 и 3/2; б) −21 и −6; в) −12 и 2; г) 2/3 и −1.
787. Найдите трёхчлен вида x² + px + q, корнями которого являются не равные нулю числа p и q.
По теореме Виета: p + q = −p и pq = q.
Из второго равенства q(p − 1) = 0; так как q ≠ 0, то p = 1. Из первого q = −2p = −2.
Проверка: x² + x − 2 = (x − 1)(x + 2), корни 1 и −2 — это p и q.
Ответ: x² + x − 2.
Из второго равенства q(p − 1) = 0; так как q ≠ 0, то p = 1. Из первого q = −2p = −2.
Проверка: x² + x − 2 = (x − 1)(x + 2), корни 1 и −2 — это p и q.
Ответ: x² + x − 2.
788. Пусть a и b — корни трёхчлена x² + px + q, причём ab = 4 и √a + √b = 3. Чему равно a и чему равно b?
Так как √a и √b существуют, a ≥ 0 и b ≥ 0.
Возведём равенство √a + √b = 3 в квадрат: a + b + 2√(ab) = 9. Подставим ab = 4: a + b + 4 = 9, a + b = 5.
По теореме, обратной теореме Виета, a и b — корни уравнения t² − 5t + 4 = 0: t = 1 или t = 4.
Проверка: √1 + √4 = 1 + 2 = 3, 1·4 = 4.
Ответ: a = 1, b = 4 или a = 4, b = 1.
Возведём равенство √a + √b = 3 в квадрат: a + b + 2√(ab) = 9. Подставим ab = 4: a + b + 4 = 9, a + b = 5.
По теореме, обратной теореме Виета, a и b — корни уравнения t² − 5t + 4 = 0: t = 1 или t = 4.
Проверка: √1 + √4 = 1 + 2 = 3, 1·4 = 4.
Ответ: a = 1, b = 4 или a = 4, b = 1.
789. Выделите квадрат двучлена из квадратного трёхчлена: а) 2x² − 3x + 7; б) −3x² + 4x − 1; в) 5x² − 3x; г) −4x² + 8x.
а) 2x² − 3x + 7 = 2(x² − 1,5x) + 7 = 2(x − 3/4)² − 2·9/16 + 7 = 2(x − 3/4)² + 47/8.
б) −3x² + 4x − 1 = −3(x² − (4/3)x) − 1 = −3(x − 2/3)² + 3·4/9 − 1 = −3(x − 2/3)² + 1/3.
в) 5x² − 3x = 5(x² − 0,6x) = 5(x − 0,3)² − 5·0,09 = 5(x − 0,3)² − 0,45.
г) −4x² + 8x = −4(x² − 2x) = −4(x − 1)² + 4.
Ответ: а) 2(x − 3/4)² + 47/8; б) −3(x − 2/3)² + 1/3; в) 5(x − 0,3)² − 0,45; г) −4(x − 1)² + 4.
б) −3x² + 4x − 1 = −3(x² − (4/3)x) − 1 = −3(x − 2/3)² + 3·4/9 − 1 = −3(x − 2/3)² + 1/3.
в) 5x² − 3x = 5(x² − 0,6x) = 5(x − 0,3)² − 5·0,09 = 5(x − 0,3)² − 0,45.
г) −4x² + 8x = −4(x² − 2x) = −4(x − 1)² + 4.
Ответ: а) 2(x − 3/4)² + 47/8; б) −3(x − 2/3)² + 1/3; в) 5(x − 0,3)² − 0,45; г) −4(x − 1)² + 4.
790. Докажите, что квадратный трёхчлен: а) −x² + 20x − 103 не принимает положительных значений; б) x² − 16x + 65 не принимает отрицательных значений.
а) −x² + 20x − 103 = −(x² − 20x + 100) − 3 = −(x − 10)² − 3. Так как (x − 10)² ≥ 0, то значение ≤ −3 < 0 при любом x, положительных значений нет.
б) x² − 16x + 65 = (x² − 16x + 64) + 1 = (x − 8)² + 1 ≥ 1 > 0, отрицательных значений нет.
б) x² − 16x + 65 = (x² − 16x + 64) + 1 = (x − 8)² + 1 ≥ 1 > 0, отрицательных значений нет.
791. Найдите наибольшее или наименьшее значение квадратного трёхчлена: а) 3x² − 4x + 5; б) −3x² + 12x.
а) Старший коэффициент 3 > 0, ветви параболы вверх, есть наименьшее значение. 3x² − 4x + 5 = 3(x − 2/3)² + 5 − 4/3 = 3(x − 2/3)² + 11/3. Наименьшее значение 11/3 = 3 2/3 при x = 2/3.
б) Старший коэффициент −3 < 0, ветви вниз, есть наибольшее значение. −3x² + 12x = −3(x² − 4x) = −3(x − 2)² + 12. Наибольшее значение 12 при x = 2.
Ответ: а) наименьшее 11/3; б) наибольшее 12.
б) Старший коэффициент −3 < 0, ветви вниз, есть наибольшее значение. −3x² + 12x = −3(x² − 4x) = −3(x − 2)² + 12. Наибольшее значение 12 при x = 2.
Ответ: а) наименьшее 11/3; б) наибольшее 12.