Глава III. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфу 9 — с. 180
800. При каком значении x: а) значение функции y = (5x − 7)/(x² + 1) равно −6; 0; 0,8; 0,56; б) значение функции y = (x² − 2x + 6)/(x + 4) равно 1,5; 3; 7?
а) Знаменатель x² + 1 ≠ 0. Если y = c, то 5x − 7 = c(x² + 1), т. е. cx² − 5x + c + 7 = 0.
c = −6: 6x² + 5x − 1 = 0; D = 25 + 24 = 49; x = (−5 ± 7)/12; x = 1/6 или x = −1.
c = 0: 5x − 7 = 0; x = 1,4.
c = 0,8: 0,8x² − 5x + 7,8 = 0, т. е. 4x² − 25x + 39 = 0; D = 625 − 624 = 1; x = (25 ± 1)/8; x = 3,25 или x = 3.
c = 0,56: 0,56x² − 5x + 7,56 = 0, т. е. 14x² − 125x + 189 = 0; D = 15625 − 10584 = 5041 = 71²; x = (125 ± 71)/28; x = 7 или x = 27/14.
б) x ≠ −4. x² − 2x + 6 = c(x + 4); x² − (2 + c)x + 6 − 4c = 0.
c = 1,5: x² − 3,5x = 0; x = 0 или x = 3,5.
c = 3: x² − 5x − 6 = 0; x = 6 или x = −1.
c = 7: x² − 9x − 22 = 0; x = 11 или x = −2.
Ответ: а) y = −6 при x = 1/6; −1; y = 0 при x = 1,4; y = 0,8 при x = 3; 3,25; y = 0,56 при x = 7; 27/14; б) y = 1,5 при x = 0; 3,5; y = 3 при x = −1; 6; y = 7 при x = −2; 11.
c = −6: 6x² + 5x − 1 = 0; D = 25 + 24 = 49; x = (−5 ± 7)/12; x = 1/6 или x = −1.
c = 0: 5x − 7 = 0; x = 1,4.
c = 0,8: 0,8x² − 5x + 7,8 = 0, т. е. 4x² − 25x + 39 = 0; D = 625 − 624 = 1; x = (25 ± 1)/8; x = 3,25 или x = 3.
c = 0,56: 0,56x² − 5x + 7,56 = 0, т. е. 14x² − 125x + 189 = 0; D = 15625 − 10584 = 5041 = 71²; x = (125 ± 71)/28; x = 7 или x = 27/14.
б) x ≠ −4. x² − 2x + 6 = c(x + 4); x² − (2 + c)x + 6 − 4c = 0.
c = 1,5: x² − 3,5x = 0; x = 0 или x = 3,5.
c = 3: x² − 5x − 6 = 0; x = 6 или x = −1.
c = 7: x² − 9x − 22 = 0; x = 11 или x = −2.
Ответ: а) y = −6 при x = 1/6; −1; y = 0 при x = 1,4; y = 0,8 при x = 3; 3,25; y = 0,56 при x = 7; 27/14; б) y = 1,5 при x = 0; 3,5; y = 3 при x = −1; 6; y = 7 при x = −2; 11.
801. Найдите координаты точек пересечения графиков функций: а) y = 2x + 3 и y = 34/(x − 5); б) y = (x² − 5x)/(x + 3) и y = 2x.
Приравняем правые части и проверим допустимость значений.
а) 2x + 3 = 34/(x − 5), x ≠ 5. (2x + 3)(x − 5) = 34; 2x² − 7x − 15 − 34 = 0; 2x² − 7x − 49 = 0; D = 49 + 392 = 441; x = (7 ± 21)/4; x = 7 или x = −3,5. Тогда y = 2·7 + 3 = 17 и y = 2·(−3,5) + 3 = −4.
б) (x² − 5x)/(x + 3) = 2x, x ≠ −3. x² − 5x = 2x² + 6x; x² + 11x = 0; x = 0 или x = −11. Тогда y = 0 и y = −22.
Ответ: а) (7; 17) и (−3,5; −4); б) (0; 0) и (−11; −22).
а) 2x + 3 = 34/(x − 5), x ≠ 5. (2x + 3)(x − 5) = 34; 2x² − 7x − 15 − 34 = 0; 2x² − 7x − 49 = 0; D = 49 + 392 = 441; x = (7 ± 21)/4; x = 7 или x = −3,5. Тогда y = 2·7 + 3 = 17 и y = 2·(−3,5) + 3 = −4.
б) (x² − 5x)/(x + 3) = 2x, x ≠ −3. x² − 5x = 2x² + 6x; x² + 11x = 0; x = 0 или x = −11. Тогда y = 0 и y = −22.
Ответ: а) (7; 17) и (−3,5; −4); б) (0; 0) и (−11; −22).
802. Решите графически уравнение: а) 6/|x| = 1,5x − 2; б) 8/|x| = x²; в) 3/|x| = x + 1; г) x² = 5/|x|.
Корни уравнения f(x) = g(x) — абсциссы точек пересечения графиков y = f(x) и y = g(x). График y = k/|x| состоит из двух ветвей в верхней полуплоскости, симметричных относительно оси y. Построим в каждом пункте оба графика (см. рисунок).
а) Графики y = 6/|x| и y = 1,5x − 2 пересекаются в одной точке с абсциссой x ≈ 2,8 (при x < 0 прямая лежит ниже оси x, а ветвь выше неё). Проверка: при x > 0 получаем 3x² − 4x − 12 = 0, x = (2 + 2√10)/3 ≈ 2,77.
б) Графики пересекаются в точках (2; 4) и (−2; 4). Проверка: 8/2 = 4 = 2². Корни x = −2 и x = 2.
в) Прямая y = x + 1 пересекает правую ветвь y = 3/|x| в одной точке, x ≈ 1,3 (проверка: x² + x − 3 = 0, x = (−1 + √13)/2 ≈ 1,30). С левой ветвью пересечений нет.
г) Парабола y = x² и ветви y = 5/|x| пересекаются в двух симметричных точках с абсциссами x ≈ ±1,7 (проверка: |x|³ = 5, |x| = ∛5 ≈ 1,71).
Ответ: а) x ≈ 2,8; б) x = −2, x = 2; в) x ≈ 1,3; г) x ≈ −1,7, x ≈ 1,7.
а) Графики y = 6/|x| и y = 1,5x − 2 пересекаются в одной точке с абсциссой x ≈ 2,8 (при x < 0 прямая лежит ниже оси x, а ветвь выше неё). Проверка: при x > 0 получаем 3x² − 4x − 12 = 0, x = (2 + 2√10)/3 ≈ 2,77.
б) Графики пересекаются в точках (2; 4) и (−2; 4). Проверка: 8/2 = 4 = 2². Корни x = −2 и x = 2.
в) Прямая y = x + 1 пересекает правую ветвь y = 3/|x| в одной точке, x ≈ 1,3 (проверка: x² + x − 3 = 0, x = (−1 + √13)/2 ≈ 1,30). С левой ветвью пересечений нет.
г) Парабола y = x² и ветви y = 5/|x| пересекаются в двух симметричных точках с абсциссами x ≈ ±1,7 (проверка: |x|³ = 5, |x| = ∛5 ≈ 1,71).
Ответ: а) x ≈ 2,8; б) x = −2, x = 2; в) x ≈ 1,3; г) x ≈ −1,7, x ≈ 1,7.
803. Найдите корни уравнения: а) (x√3 + √2)/(x√3 − √2) + (x√3 − √2)/(x√3 + √2) = 10x/(3x² − 2); б) (1 − y√5)/(1 + y√5) + (1 + y√5)/(1 − y√5) = 9y/(1 − 5y²).
а) Знаменатели x√3 − √2 и x√3 + √2 в произведении дают 3x² − 2, поэтому x ≠ ±√(2/3). Общий знаменатель 3x² − 2. Числитель левой части: (x√3 + √2)² + (x√3 − √2)² = 2(3x² + 2) = 6x² + 4.
(6x² + 4)/(3x² − 2) = 10x/(3x² − 2); 6x² + 4 = 10x; 3x² − 5x + 2 = 0; D = 25 − 24 = 1; x = (5 ± 1)/6; x = 1 или x = 2/3. Оба значения допустимы (x² = 1 и x² = 4/9 не равны 2/3).
б) Знаменатели (1 + y√5)(1 − y√5) = 1 − 5y², y ≠ ±1/√5. Числитель: (1 − y√5)² + (1 + y√5)² = 2(1 + 5y²) = 2 + 10y².
2 + 10y² = 9y; 10y² − 9y + 2 = 0; D = 81 − 80 = 1; y = (9 ± 1)/20; y = 0,5 или y = 0,4. Оба допустимы (0,25 и 0,16 не равны 0,2).
Ответ: а) 2/3; 1; б) 0,4; 0,5.
(6x² + 4)/(3x² − 2) = 10x/(3x² − 2); 6x² + 4 = 10x; 3x² − 5x + 2 = 0; D = 25 − 24 = 1; x = (5 ± 1)/6; x = 1 или x = 2/3. Оба значения допустимы (x² = 1 и x² = 4/9 не равны 2/3).
б) Знаменатели (1 + y√5)(1 − y√5) = 1 − 5y², y ≠ ±1/√5. Числитель: (1 − y√5)² + (1 + y√5)² = 2(1 + 5y²) = 2 + 10y².
2 + 10y² = 9y; 10y² − 9y + 2 = 0; D = 81 − 80 = 1; y = (9 ± 1)/20; y = 0,5 или y = 0,4. Оба допустимы (0,25 и 0,16 не равны 0,2).
Ответ: а) 2/3; 1; б) 0,4; 0,5.
804. Решите уравнение: а) (2x + 1)/(2x − 1) − 3(2x − 1)/(7(2x + 1)) + 8/(1 − 4x²) = 0; б) y/(y² − 9) − 1/(y² + 3y) + 3/(6y + 2y²) = 0; в) (2y − 1)/(14y² + 7y) + 8/(12y² − 3) = (2y + 1)/(6y² − 3y); г) 3/(x² − 9) − 1/(9 − 6x + x²) = 3/(2x² + 6x); д) (9x + 12)/(x³ − 64) − 1/(x² + 4x + 16) = 1/(x − 4); е) 3/(8y³ + 1) − 1/(2y + 1) = (y + 3)/(4y² − 2y + 1); ж) 32/(x³ − 2x² − x + 2) + 1/((x − 1)(x − 2)) = 1/(x + 1); з) 1/(3(x − 4)) + 1/(2(x² + 3)) + 1/(x³ − 4x² + 3x − 12) = 0.
а) 1 − 4x² = −(2x − 1)(2x + 1); x ≠ ±1/2. Общий знаменатель 7(2x − 1)(2x + 1): 7(2x + 1)² − 3(2x − 1)² − 56 = 0; 28x² + 28x + 7 − 12x² + 12x − 3 − 56 = 0; 16x² + 40x − 52 = 0; 4x² + 10x − 13 = 0; D₁ = 25 + 52 = 77; x = (−5 ± √77)/4.
б) y² − 9 = (y − 3)(y + 3), y² + 3y = y(y + 3), 6y + 2y² = 2y(y + 3); y ≠ 0, ±3. Общий знаменатель 2y(y − 3)(y + 3): 2y² − 2(y − 3) + 3(y − 3) = 0; 2y² + y − 3 = 0; D = 25; y = (−1 ± 5)/4; y = 1 или y = −1,5.
в) 14y² + 7y = 7y(2y + 1), 12y² − 3 = 3(2y − 1)(2y + 1), 6y² − 3y = 3y(2y − 1); y ≠ 0, ±1/2. Общий знаменатель 21y(2y − 1)(2y + 1): 3(2y − 1)² + 56y = 7(2y + 1)²; 12y² + 44y + 3 = 28y² + 28y + 7; 16y² − 16y + 4 = 0; (2y − 1)² = 0; y = 1/2 — не входит в область допустимых значений. Корней нет.
г) x² − 9 = (x − 3)(x + 3), 9 − 6x + x² = (x − 3)², 2x² + 6x = 2x(x + 3); x ≠ 0, ±3. Общий знаменатель 2x(x − 3)²(x + 3): 6x(x − 3) − 2x(x + 3) = 3(x − 3)²; 4x² − 24x = 3x² − 18x + 27; x² − 6x − 27 = 0; x = 9 или x = −3. Значение −3 не подходит. x = 9.
д) x³ − 64 = (x − 4)(x² + 4x + 16); x ≠ 4. Умножим на (x − 4)(x² + 4x + 16): 9x + 12 − (x − 4) = x² + 4x + 16; 8x + 16 = x² + 4x + 16; x² − 4x = 0; x = 0 или x = 4. Значение 4 не подходит. x = 0.
е) 8y³ + 1 = (2y + 1)(4y² − 2y + 1); y ≠ −1/2. Умножим на (2y + 1)(4y² − 2y + 1): 3 − (4y² − 2y + 1) = (y + 3)(2y + 1); −4y² + 2y + 2 = 2y² + 7y + 3; 6y² + 5y + 1 = 0; D = 1; y = (−5 ± 1)/12; y = −1/3 или y = −1/2. Значение −1/2 не подходит. y = −1/3.
ж) x³ − 2x² − x + 2 = x²(x − 2) − (x − 2) = (x − 2)(x − 1)(x + 1); x ≠ 1, 2, −1. Умножим на (x − 2)(x − 1)(x + 1): 32 + (x + 1) = (x − 1)(x − 2); x + 33 = x² − 3x + 2; x² − 4x − 31 = 0; D₁ = 4 + 31 = 35; x = 2 ± √35. Оба значения допустимы.
з) x³ − 4x² + 3x − 12 = x²(x − 4) + 3(x − 4) = (x − 4)(x² + 3); x ≠ 4. Общий знаменатель 6(x − 4)(x² + 3): 2(x² + 3) + 3(x − 4) + 6 = 0; 2x² + 3x = 0; x(2x + 3) = 0; x = 0 или x = −1,5.
Ответ: а) (−5 − √77)/4; (−5 + √77)/4; б) −1,5; 1; в) корней нет; г) 9; д) 0; е) −1/3; ж) 2 − √35; 2 + √35; з) −1,5; 0.
б) y² − 9 = (y − 3)(y + 3), y² + 3y = y(y + 3), 6y + 2y² = 2y(y + 3); y ≠ 0, ±3. Общий знаменатель 2y(y − 3)(y + 3): 2y² − 2(y − 3) + 3(y − 3) = 0; 2y² + y − 3 = 0; D = 25; y = (−1 ± 5)/4; y = 1 или y = −1,5.
в) 14y² + 7y = 7y(2y + 1), 12y² − 3 = 3(2y − 1)(2y + 1), 6y² − 3y = 3y(2y − 1); y ≠ 0, ±1/2. Общий знаменатель 21y(2y − 1)(2y + 1): 3(2y − 1)² + 56y = 7(2y + 1)²; 12y² + 44y + 3 = 28y² + 28y + 7; 16y² − 16y + 4 = 0; (2y − 1)² = 0; y = 1/2 — не входит в область допустимых значений. Корней нет.
г) x² − 9 = (x − 3)(x + 3), 9 − 6x + x² = (x − 3)², 2x² + 6x = 2x(x + 3); x ≠ 0, ±3. Общий знаменатель 2x(x − 3)²(x + 3): 6x(x − 3) − 2x(x + 3) = 3(x − 3)²; 4x² − 24x = 3x² − 18x + 27; x² − 6x − 27 = 0; x = 9 или x = −3. Значение −3 не подходит. x = 9.
д) x³ − 64 = (x − 4)(x² + 4x + 16); x ≠ 4. Умножим на (x − 4)(x² + 4x + 16): 9x + 12 − (x − 4) = x² + 4x + 16; 8x + 16 = x² + 4x + 16; x² − 4x = 0; x = 0 или x = 4. Значение 4 не подходит. x = 0.
е) 8y³ + 1 = (2y + 1)(4y² − 2y + 1); y ≠ −1/2. Умножим на (2y + 1)(4y² − 2y + 1): 3 − (4y² − 2y + 1) = (y + 3)(2y + 1); −4y² + 2y + 2 = 2y² + 7y + 3; 6y² + 5y + 1 = 0; D = 1; y = (−5 ± 1)/12; y = −1/3 или y = −1/2. Значение −1/2 не подходит. y = −1/3.
ж) x³ − 2x² − x + 2 = x²(x − 2) − (x − 2) = (x − 2)(x − 1)(x + 1); x ≠ 1, 2, −1. Умножим на (x − 2)(x − 1)(x + 1): 32 + (x + 1) = (x − 1)(x − 2); x + 33 = x² − 3x + 2; x² − 4x − 31 = 0; D₁ = 4 + 31 = 35; x = 2 ± √35. Оба значения допустимы.
з) x³ − 4x² + 3x − 12 = x²(x − 4) + 3(x − 4) = (x − 4)(x² + 3); x ≠ 4. Общий знаменатель 6(x − 4)(x² + 3): 2(x² + 3) + 3(x − 4) + 6 = 0; 2x² + 3x = 0; x(2x + 3) = 0; x = 0 или x = −1,5.
Ответ: а) (−5 − √77)/4; (−5 + √77)/4; б) −1,5; 1; в) корней нет; г) 9; д) 0; е) −1/3; ж) 2 − √35; 2 + √35; з) −1,5; 0.