Глава III. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфу 9 — с. 183
821. Мотоциклист проехал расстояние от пункта M до пункта N за 5 ч. На обратном пути он первые 36 км ехал с той же скоростью, а остальную часть пути — со скоростью, на 3 км/ч большей. С какой скоростью ехал мотоциклист первоначально, если на обратный путь он затратил на 15 мин меньше, чем на путь из пункта M в пункт N?
Пусть скорость v км/ч; MN = 5v км. Обратно: 36 км со скоростью v, остальные 5v − 36 км со скоростью v + 3; время 5 − 1/4 = 4,75 ч.
36/v + (5v − 36)/(v + 3) = 4,75; 36(v + 3) + v(5v − 36) = 4,75v(v + 3); 5v² + 108 = 4,75v² + 14,25v; 0,25v² − 14,25v + 108 = 0; v² − 57v + 432 = 0; D = 3249 − 1728 = 1521 = 39²; v = (57 ± 39)/2; v = 48 или v = 9. Оба подходят (5v > 36).
Проверка: v = 48: путь 240 км, обратно 36/48 + 204/51 = 0,75 + 4 = 4,75 ч. v = 9: путь 45 км, обратно 36/9 + 9/12 = 4 + 0,75 = 4,75 ч.
Ответ: 48 км/ч или 9 км/ч.
36/v + (5v − 36)/(v + 3) = 4,75; 36(v + 3) + v(5v − 36) = 4,75v(v + 3); 5v² + 108 = 4,75v² + 14,25v; 0,25v² − 14,25v + 108 = 0; v² − 57v + 432 = 0; D = 3249 − 1728 = 1521 = 39²; v = (57 ± 39)/2; v = 48 или v = 9. Оба подходят (5v > 36).
Проверка: v = 48: путь 240 км, обратно 36/48 + 204/51 = 0,75 + 4 = 4,75 ч. v = 9: путь 45 км, обратно 36/9 + 9/12 = 4 + 0,75 = 4,75 ч.
Ответ: 48 км/ч или 9 км/ч.
822. Отец и сын прошли 240 м, при этом отец сделал на 100 шагов меньше, чем сын. Найдите длину шага каждого из них, если шаг отца длиннее шага сына на 20 см.
Пусть шаг сына x м, шаг отца x + 0,2 м. Число шагов сына 240/x, отца 240/(x + 0,2).
240/x − 240/(x + 0,2) = 100; 240·0,2 = 100x(x + 0,2); x² + 0,2x − 0,48 = 0; D₁ = 0,01 + 0,48 = 0,49; x = −0,1 + 0,7 = 0,6.
Шаг сына 0,6 м = 60 см, шаг отца 0,8 м = 80 см. Проверка: 240/0,6 = 400 шагов, 240/0,8 = 300 шагов, разница 100.
Ответ: 60 см и 80 см.
240/x − 240/(x + 0,2) = 100; 240·0,2 = 100x(x + 0,2); x² + 0,2x − 0,48 = 0; D₁ = 0,01 + 0,48 = 0,49; x = −0,1 + 0,7 = 0,6.
Шаг сына 0,6 м = 60 см, шаг отца 0,8 м = 80 см. Проверка: 240/0,6 = 400 шагов, 240/0,8 = 300 шагов, разница 100.
Ответ: 60 см и 80 см.
823. Первая мастерская должна была сшить 160 костюмов, а вторая за тот же срок — на 25% меньше. Первая мастерская шила в день на 10 костюмов больше, чем вторая, и выполнила задание за 2 дня до намеченного срока. Сколько костюмов в день шила вторая мастерская, если ей для выполнения задания понадобилось дополнительно 2 дня?
Вторая мастерская должна была сшить 160 − 0,25·160 = 120 костюмов. Пусть она шила x костюмов в день, тогда первая — x + 10. Пусть срок T дней.
Вторая работала на 2 дня дольше срока: 120/x = T + 2. Первая — на 2 дня меньше: 160/(x + 10) = T − 2.
Вычтем: 120/x − 160/(x + 10) = 4; 120(x + 10) − 160x = 4x(x + 10); 1200 − 40x = 4x² + 40x; x² + 20x − 300 = 0; x = 10 или x = −30 (не подходит).
Проверка: T + 2 = 12, T = 10; первая 160/20 = 8 = T − 2.
Ответ: 10 костюмов в день.
Вторая работала на 2 дня дольше срока: 120/x = T + 2. Первая — на 2 дня меньше: 160/(x + 10) = T − 2.
Вычтем: 120/x − 160/(x + 10) = 4; 120(x + 10) − 160x = 4x(x + 10); 1200 − 40x = 4x² + 40x; x² + 20x − 300 = 0; x = 10 или x = −30 (не подходит).
Проверка: T + 2 = 12, T = 10; первая 160/20 = 8 = T − 2.
Ответ: 10 костюмов в день.
824. Бригада рабочих должна была за определённый срок изготовить 768 пылесосов. Первые 5 дней бригада выполняла ежедневно установленную норму, а затем каждый день изготовляла на 6 пылесосов больше, поэтому уже за день до срока было изготовлено 844 пылесоса. Сколько пылесосов в день должна была изготовлять бригада по плану?
Пусть по плану x пылесосов в день; срок 768/x дней. Первые 5 дней сделано 5x штук, затем до дня «срок − 1» работали 768/x − 6 дней по x + 6 штук.
5x + (768/x − 6)(x + 6) = 844; 5x + 768 + 4608/x − 6x − 36 = 844; −x + 4608/x − 112 = 0; x² + 112x − 4608 = 0; D₁ = 3136 + 4608 = 7744 = 88²; x = −56 + 88 = 32.
Проверка: срок 24 дня; 5·32 = 160; 18 дней по 38 = 684; 160 + 684 = 844.
Ответ: 32 пылесоса в день.
5x + (768/x − 6)(x + 6) = 844; 5x + 768 + 4608/x − 6x − 36 = 844; −x + 4608/x − 112 = 0; x² + 112x − 4608 = 0; D₁ = 3136 + 4608 = 7744 = 88²; x = −56 + 88 = 32.
Проверка: срок 24 дня; 5·32 = 160; 18 дней по 38 = 684; 160 + 684 = 844.
Ответ: 32 пылесоса в день.
825. Масса двух сплавов меди и олова равна 60 кг. Первый сплав содержит 6 кг меди, а второй — 3,6 кг меди. Найдите массу каждого сплава, если известно, что содержание меди в первом сплаве на 15% больше, чем во втором.
Пусть масса первого сплава m кг, второго 60 − m кг. Процентное содержание меди: в первом 600/m %, во втором 360/(60 − m) %. Разность 15 процентных пунктов.
600/m − 360/(60 − m) = 15; 40/m − 24/(60 − m) = 1; 40(60 − m) − 24m = m(60 − m); 2400 − 64m = 60m − m²; m² − 124m + 2400 = 0; D₁ = 3844 − 2400 = 1444 = 38²; m = 62 ± 38; m = 24 или m = 100. Значение 100 больше 60 и не подходит.
Первый сплав 24 кг, второй 36 кг. Проверка: 6/24 = 25%, 3,6/36 = 10%; 25 − 10 = 15.
Ответ: 24 кг и 36 кг.
600/m − 360/(60 − m) = 15; 40/m − 24/(60 − m) = 1; 40(60 − m) − 24m = m(60 − m); 2400 − 64m = 60m − m²; m² − 124m + 2400 = 0; D₁ = 3844 − 2400 = 1444 = 38²; m = 62 ± 38; m = 24 или m = 100. Значение 100 больше 60 и не подходит.
Первый сплав 24 кг, второй 36 кг. Проверка: 6/24 = 25%, 3,6/36 = 10%; 25 − 10 = 15.
Ответ: 24 кг и 36 кг.
826. Сплав меди с цинком, содержащий 6 кг цинка, сплавили с 13 кг цинка. В результате содержание меди в сплаве понизилось на 26%. Какова была первоначальная масса сплава?
Пусть первоначальная масса m кг; меди в нём m − 6 кг. Доля меди сначала (m − 6)/m, после (m − 6)/(m + 13). Доля уменьшилась на 26% = 0,26.
(m − 6)/m − (m − 6)/(m + 13) = 0,26; (m − 6)·13 = 0,26m(m + 13); 50(m − 6) = m(m + 13); m² − 37m + 300 = 0; D = 1369 − 1200 = 169; m = (37 ± 13)/2; m = 25 или m = 12. Оба значения больше 6.
Проверка: m = 25: меди 19 кг, 76% и 19/38 = 50%, разность 26%. m = 12: меди 6 кг, 50% и 6/25 = 24%, разность 26%.
Ответ: 25 кг или 12 кг.
(m − 6)/m − (m − 6)/(m + 13) = 0,26; (m − 6)·13 = 0,26m(m + 13); 50(m − 6) = m(m + 13); m² − 37m + 300 = 0; D = 1369 − 1200 = 169; m = (37 ± 13)/2; m = 25 или m = 12. Оба значения больше 6.
Проверка: m = 25: меди 19 кг, 76% и 19/38 = 50%, разность 26%. m = 12: меди 6 кг, 50% и 6/25 = 24%, разность 26%.
Ответ: 25 кг или 12 кг.
827. За 4 дня совместной работы двумя тракторами было вспахано 2/3 поля. За сколько дней можно было бы вспахать всё поле каждым трактором, если первым его можно вспахать на 5 дней быстрее, чем вторым? [фотография: два трактора на вспаханном поле]
Вместе тракторы пашут 2/3 поля за 4 дня, т. е. всё поле за 4 : (2/3) = 6 дней. Пусть первый вспашет поле за x дней, второй за x + 5 дней.
1/x + 1/(x + 5) = 1/6; 6(2x + 5) = x(x + 5); x² − 7x − 30 = 0; x = 10 или x = −3 (не подходит).
Первый трактор: 10 дней, второй: 15 дней. Проверка: 1/10 + 1/15 = 1/6.
Ответ: 10 дней и 15 дней.
1/x + 1/(x + 5) = 1/6; 6(2x + 5) = x(x + 5); x² − 7x − 30 = 0; x = 10 или x = −3 (не подходит).
Первый трактор: 10 дней, второй: 15 дней. Проверка: 1/10 + 1/15 = 1/6.
Ответ: 10 дней и 15 дней.
828. Два хлопкоуборочных комбайна могут собрать хлопок с поля на 9 дней быстрее, чем один первый комбайн, и на 4 дня быстрее, чем один второй. За сколько дней каждый комбайн может собрать весь хлопок?
Пусть вместе комбайны собирают хлопок за t дней; первый один — за t + 9, второй один — за t + 4 дня.
1/(t + 9) + 1/(t + 4) = 1/t; t(2t + 13) = (t + 9)(t + 4); 2t² + 13t = t² + 13t + 36; t² = 36; t = 6.
Первый комбайн: 15 дней, второй: 10 дней. Проверка: 1/15 + 1/10 = 1/6.
Ответ: 15 дней и 10 дней.
1/(t + 9) + 1/(t + 4) = 1/t; t(2t + 13) = (t + 9)(t + 4); 2t² + 13t = t² + 13t + 36; t² = 36; t = 6.
Первый комбайн: 15 дней, второй: 10 дней. Проверка: 1/15 + 1/10 = 1/6.
Ответ: 15 дней и 10 дней.
829. Для наполнения бассейна через первую трубу потребуется на 9 ч больше времени, чем при наполнении через первую и вторую трубы, и на 7 ч меньше, чем через одну вторую трубу. За сколько часов наполнится бассейн через обе трубы?
Пусть через обе трубы бассейн наполняется за t ч. Через первую — за t + 9 ч, через вторую — за (t + 9) + 7 = t + 16 ч.
1/(t + 9) + 1/(t + 16) = 1/t; t(2t + 25) = (t + 9)(t + 16); 2t² + 25t = t² + 25t + 144; t² = 144; t = 12.
Проверка: через первую 21 ч, через вторую 28 ч; 1/21 + 1/28 = 4/84 + 3/84 = 7/84 = 1/12.
Ответ: 12 ч.
1/(t + 9) + 1/(t + 16) = 1/t; t(2t + 25) = (t + 9)(t + 16); 2t² + 25t = t² + 25t + 144; t² = 144; t = 12.
Проверка: через первую 21 ч, через вторую 28 ч; 1/21 + 1/28 = 4/84 + 3/84 = 7/84 = 1/12.
Ответ: 12 ч.