Глава IV. §12. п.37 Пересечение и объединение множеств — с. 202
902. На рисунке 36 изображены отрезки AB и CD. Какая фигура является: а) пересечением этих отрезков; б) объединением этих отрезков? [рисунок 36: на прямой слева направо точки A, C, B, D]
По рисунку точки расположены в порядке A, C, B, D. Отрезок AB содержит точки от A до B, отрезок CD — от C до D. Общая часть отрезков — от C до B.
а) Пересечение — отрезок CB.
б) Объединение — все точки от A до D, то есть отрезок AD.
Ответ: а) отрезок CB; б) отрезок AD.
а) Пересечение — отрезок CB.
б) Объединение — все точки от A до D, то есть отрезок AD.
Ответ: а) отрезок CB; б) отрезок AD.
903. Множеством каких фигур является пересечение: а) множества прямоугольников и множества ромбов; б) множества равнобедренных треугольников и множества прямоугольных треугольников?
а) Фигуры, которые одновременно прямоугольники и ромбы, — это параллелограммы с прямым углом и равными сторонами, то есть квадраты. Пересечение — множество квадратов.
б) Фигуры, которые одновременно равнобедренные и прямоугольные треугольники, — это равнобедренные прямоугольные треугольники.
Ответ: а) множество квадратов; б) множество равнобедренных прямоугольных треугольников.
б) Фигуры, которые одновременно равнобедренные и прямоугольные треугольники, — это равнобедренные прямоугольные треугольники.
Ответ: а) множество квадратов; б) множество равнобедренных прямоугольных треугольников.
904. Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множеством N натуральных чисел, множеством Z целых чисел, множеством Q рациональных чисел. Найдите пересечение и объединение: а) множества натуральных и множества целых чисел; б) множества целых и множества рациональных чисел; в) множества рациональных и множества иррациональных чисел.
Каждое натуральное число целое, а каждое целое число рационально, поэтому N ⊂ Z ⊂ Q: круг N лежит внутри круга Z, а тот — внутри круга Q (рисунок).
а) Все натуральные числа входят в множество целых: N ∩ Z = N; N ∪ Z = Z.
б) Все целые числа входят в множество рациональных: Z ∩ Q = Z; Z ∪ Q = Q.
в) Рациональные и иррациональные числа не имеют общих элементов, поэтому Q ∩ I = ∅. Вместе они образуют множество всех действительных чисел: Q ∪ I = R.
а) Все натуральные числа входят в множество целых: N ∩ Z = N; N ∪ Z = Z.
б) Все целые числа входят в множество рациональных: Z ∩ Q = Z; Z ∪ Q = Q.
в) Рациональные и иррациональные числа не имеют общих элементов, поэтому Q ∩ I = ∅. Вместе они образуют множество всех действительных чисел: Q ∪ I = R.
905. Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множеством чисел, кратных 4, и множеством чисел, кратных 3. Какое множество изображает общая часть этих кругов?
Одни числа кратны только 4 (например, 8), другие — только 3 (например, 9), а некоторые кратны и 4, и 3 (например, 12, 24). Поэтому круги пересекаются (рисунок).
Число делится и на 3, и на 4 тогда и только тогда, когда оно делится на их наименьшее общее кратное 12 (числа 3 и 4 взаимно простые). Значит, общая часть кругов изображает множество чисел, кратных 12.
Ответ: множество чисел, кратных 12.
Число делится и на 3, и на 4 тогда и только тогда, когда оно делится на их наименьшее общее кратное 12 (числа 3 и 4 взаимно простые). Значит, общая часть кругов изображает множество чисел, кратных 12.
Ответ: множество чисел, кратных 12.
906. (Для работы в парах.) Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множествами A и B и найдите пересечение и объединение этих множеств, если: а) A — множество целых чисел, кратных 3, B — множество целых чисел, кратных 5; б) A — множество целых чисел, кратных 3, B — множество целых чисел, кратных 15.
1) Распределите, кто выполняет задания для случая а), а кто — для случая б), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга, верно ли выполнен рисунок и правильно ли найдены пересечение и объединение множеств A и B.
3) Исправьте ошибки, если они допущены.
1) Распределите, кто выполняет задания для случая а), а кто — для случая б), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга, верно ли выполнен рисунок и правильно ли найдены пересечение и объединение множеств A и B.
3) Исправьте ошибки, если они допущены.
а) Есть числа, кратные только 3 (например, 3), только 5 (например, 5) и обоим числам (например, 15, 30): круги пересекаются. Числа 3 и 5 взаимно простые, поэтому число кратно и 3, и 5 тогда и только тогда, когда оно кратно 15.
A ∩ B — множество целых чисел, кратных 15. A ∪ B — множество целых чисел, кратных 3 или 5 (хотя бы одному из них).
б) Каждое число, кратное 15, кратно и 3, поэтому B ⊂ A: круг B лежит внутри круга A.
A ∩ B = B — целые числа, кратные 15. A ∪ B = A — целые числа, кратные 3.
2)–3) Проверка: в случае а) на рисунке круги пересекаются, в случае б) один круг целиком внутри другого; найденные множества должны совпадать с записанными выше.
A ∩ B — множество целых чисел, кратных 15. A ∪ B — множество целых чисел, кратных 3 или 5 (хотя бы одному из них).
б) Каждое число, кратное 15, кратно и 3, поэтому B ⊂ A: круг B лежит внутри круга A.
A ∩ B = B — целые числа, кратные 15. A ∪ B = A — целые числа, кратные 3.
2)–3) Проверка: в случае а) на рисунке круги пересекаются, в случае б) один круг целиком внутри другого; найденные множества должны совпадать с записанными выше.
907. Найдите пересечение и объединение множеств X и Y, если: а) X — множество простых чисел, Y — множество составных чисел; б) X — множество целых чисел, кратных 5, Y — множество целых чисел, кратных 15.
а) Простое число имеет ровно два натуральных делителя, составное — больше двух. Число не может быть одновременно простым и составным, поэтому X ∩ Y = ∅. Объединение состоит из всех простых и составных чисел, то есть из всех натуральных чисел, больших 1 (число 1 не простое и не составное): X ∪ Y = {2, 3, 4, 5, …}.
б) Каждое число, кратное 15, кратно 5, значит Y ⊂ X. Поэтому X ∩ Y = Y — целые числа, кратные 15; X ∪ Y = X — целые числа, кратные 5.
б) Каждое число, кратное 15, кратно 5, значит Y ⊂ X. Поэтому X ∩ Y = Y — целые числа, кратные 15; X ∪ Y = X — целые числа, кратные 5.
908. Доказать, что функция, заданная формулой y = (x − 8)² − (x + 8)², является прямой пропорциональностью.
Преобразуем по формуле разности квадратов: y = ((x − 8) − (x + 8))((x − 8) + (x + 8)) = (−16) · (2x) = −32x.
Формула имеет вид y = kx, где k = −32 ≠ 0, значит, функция — прямая пропорциональность.
Формула имеет вид y = kx, где k = −32 ≠ 0, значит, функция — прямая пропорциональность.