Глава IV. §12. п.39 Решение неравенств с одной переменной — с. 212
943. Решите неравенство: а) 5(x − 1) + 7 ≤ 1 − 3(x + 2); б) 4(a + 8) − 7(a − 1) < 12; в) 4(b − 1,5) − 1,2 ≥ 6b − 1; г) 1,7 − 3(1 − m) ≤ −(m − 1,9); д) 4x > 12(3x − 1) − 16(x + 1); е) a + 2 < 5(2a + 8) + 13(4 − a); ж) 6y − (y + 8) − 3(2 − y) ≤ 2.
а) 5x − 5 + 7 ≤ 1 − 3x − 6, 5x + 2 ≤ −3x − 5, 8x ≤ −7, x ≤ −7/8. Ответ: (−∞; −7/8].
б) 4a + 32 − 7a + 7 < 12, −3a + 39 < 12, −3a < −27, a > 9. Ответ: (9; +∞).
в) 4b − 6 − 1,2 ≥ 6b − 1, 4b − 7,2 ≥ 6b − 1, −2b ≥ 6,2, b ≤ −3,1. Ответ: (−∞; −3,1].
г) 1,7 − 3 + 3m ≤ −m + 1,9, −1,3 + 3m ≤ −m + 1,9, 4m ≤ 3,2, m ≤ 0,8. Ответ: (−∞; 0,8].
д) 4x > 36x − 12 − 16x − 16, 4x > 20x − 28, −16x > −28, x < 1,75 (то есть 1 3/4). Ответ: (−∞; 1 3/4).
е) a + 2 < 10a + 40 + 52 − 13a, a + 2 < 92 − 3a, 4a < 90, a < 22,5. Ответ: (−∞; 22,5).
ж) 6y − y − 8 − 6 + 3y ≤ 2, 8y − 14 ≤ 2, 8y ≤ 16, y ≤ 2. Ответ: (−∞; 2].
б) 4a + 32 − 7a + 7 < 12, −3a + 39 < 12, −3a < −27, a > 9. Ответ: (9; +∞).
в) 4b − 6 − 1,2 ≥ 6b − 1, 4b − 7,2 ≥ 6b − 1, −2b ≥ 6,2, b ≤ −3,1. Ответ: (−∞; −3,1].
г) 1,7 − 3 + 3m ≤ −m + 1,9, −1,3 + 3m ≤ −m + 1,9, 4m ≤ 3,2, m ≤ 0,8. Ответ: (−∞; 0,8].
д) 4x > 36x − 12 − 16x − 16, 4x > 20x − 28, −16x > −28, x < 1,75 (то есть 1 3/4). Ответ: (−∞; 1 3/4).
е) a + 2 < 10a + 40 + 52 − 13a, a + 2 < 92 − 3a, 4a < 90, a < 22,5. Ответ: (−∞; 22,5).
ж) 6y − y − 8 − 6 + 3y ≤ 2, 8y − 14 ≤ 2, 8y ≤ 16, y ≤ 2. Ответ: (−∞; 2].
944. Решите неравенство: а) 4(2 − 3x) − (5 − x) > 11 − x; б) 2(3 − z) − 3(2 + z) ≤ z; в) 1 > 1,5(4 − 2a) + 0,5(2 − 6a); г) 2,5(2 − y) − 1,5(y − 4) ≤ 3 − y; д) x − 2 ≥ 4,7(x − 2) − 2,7(x − 1); е) 3,2(a − 6) − 1,2a ≤ 3(a − 8).
а) 8 − 12x − 5 + x > 11 − x, 3 − 11x > 11 − x, −10x > 8, x < −0,8. Ответ: (−∞; −0,8).
б) 6 − 2z − 6 − 3z ≤ z, −5z ≤ z, −6z ≤ 0, z ≥ 0. Ответ: [0; +∞).
в) 1 > 6 − 3a + 1 − 3a, 1 > 7 − 6a, 6a > 6, a > 1. Ответ: (1; +∞).
г) 5 − 2,5y − 1,5y + 6 ≤ 3 − y, 11 − 4y ≤ 3 − y, 8 ≤ 3y, y ≥ 8/3 (то есть 2 2/3). Ответ: [8/3; +∞).
д) x − 2 ≥ 4,7x − 9,4 − 2,7x + 2,7, x − 2 ≥ 2x − 6,7, 4,7 ≥ x, x ≤ 4,7. Ответ: (−∞; 4,7].
е) 3,2a − 19,2 − 1,2a ≤ 3a − 24, 2a − 19,2 ≤ 3a − 24, 4,8 ≤ a, a ≥ 4,8. Ответ: [4,8; +∞).
б) 6 − 2z − 6 − 3z ≤ z, −5z ≤ z, −6z ≤ 0, z ≥ 0. Ответ: [0; +∞).
в) 1 > 6 − 3a + 1 − 3a, 1 > 7 − 6a, 6a > 6, a > 1. Ответ: (1; +∞).
г) 5 − 2,5y − 1,5y + 6 ≤ 3 − y, 11 − 4y ≤ 3 − y, 8 ≤ 3y, y ≥ 8/3 (то есть 2 2/3). Ответ: [8/3; +∞).
д) x − 2 ≥ 4,7x − 9,4 − 2,7x + 2,7, x − 2 ≥ 2x − 6,7, 4,7 ≥ x, x ≤ 4,7. Ответ: (−∞; 4,7].
е) 3,2a − 19,2 − 1,2a ≤ 3a − 24, 2a − 19,2 ≤ 3a − 24, 4,8 ≤ a, a ≥ 4,8. Ответ: [4,8; +∞).
945. Решите неравенство и покажите на координатной прямой множество его решений: а) a(a − 4) − a² > 12 − 6a; б) (2x − 1)2x − 5x < 4x² − x; в) 5y² − 5y(y + 4) ≥ 100; г) 6a(a − 1) − 2a(3a − 2) < 6.
а) a² − 4a − a² > 12 − 6a, −4a > 12 − 6a, 2a > 12, a > 6. Ответ: (6; +∞).
б) 4x² − 2x − 5x < 4x² − x, −7x < −x, −6x < 0, x > 0. Ответ: (0; +∞).
в) 5y² − 5y² − 20y ≥ 100, −20y ≥ 100, y ≤ −5. Ответ: (−∞; −5].
г) 6a² − 6a − 6a² + 4a < 6, −2a < 6, a > −3. Ответ: (−3; +∞).
Множества решений показаны на рисунке.
б) 4x² − 2x − 5x < 4x² − x, −7x < −x, −6x < 0, x > 0. Ответ: (0; +∞).
в) 5y² − 5y² − 20y ≥ 100, −20y ≥ 100, y ≤ −5. Ответ: (−∞; −5].
г) 6a² − 6a − 6a² + 4a < 6, −2a < 6, a > −3. Ответ: (−3; +∞).
Множества решений показаны на рисунке.
946. Решите неравенство: а) 0,2x² − 0,2(x − 6)(x + 6) > 3,6x; б) (2x − 5)² − 0,5x < (2x − 1)(2x + 1) − 15; в) (12x − 1)(3x + 1) < 1 + (6x + 2)²; г) (4y − 1)² > (2y + 3)(8y − 1).
а) 0,2x² − 0,2(x² − 36) > 3,6x, 0,2x² − 0,2x² + 7,2 > 3,6x, 7,2 > 3,6x, x < 2. Ответ: (−∞; 2).
б) 4x² − 20x + 25 − 0,5x < 4x² − 1 − 15, −20,5x + 25 < −16, −20,5x < −41, x > 2. Ответ: (2; +∞).
в) 36x² + 12x − 3x − 1 < 1 + 36x² + 24x + 4, 36x² + 9x − 1 < 36x² + 24x + 5, 9x − 24x < 5 + 1, −15x < 6, x > −0,4. Ответ: (−0,4; +∞).
г) 16y² − 8y + 1 > 16y² − 2y + 24y − 3, −8y + 1 > 22y − 3, 4 > 30y, y < 2/15. Ответ: (−∞; 2/15).
б) 4x² − 20x + 25 − 0,5x < 4x² − 1 − 15, −20,5x + 25 < −16, −20,5x < −41, x > 2. Ответ: (2; +∞).
в) 36x² + 12x − 3x − 1 < 1 + 36x² + 24x + 4, 36x² + 9x − 1 < 36x² + 24x + 5, 9x − 24x < 5 + 1, −15x < 6, x > −0,4. Ответ: (−0,4; +∞).
г) 16y² − 8y + 1 > 16y² − 2y + 24y − 3, −8y + 1 > 22y − 3, 4 > 30y, y < 2/15. Ответ: (−∞; 2/15).
947. Решите неравенство: а) 4b(1 − 3b) − (b − 12b²) < 43; б) 3y² − 2y − 3y(y − 6) ≥ −2; в) 2p(5p + 2) − p(10p + 3) ≤ 14; г) a(a − 1) − (a² + a) < 34.
а) 4b − 12b² − b + 12b² < 43, 3b < 43, b < 43/3, то есть b < 14 1/3. Ответ: (−∞; 14 1/3).
б) 3y² − 2y − 3y² + 18y ≥ −2, 16y ≥ −2, y ≥ −1/8. Ответ: [−1/8; +∞).
в) 10p² + 4p − 10p² − 3p ≤ 14, p ≤ 14. Ответ: (−∞; 14].
г) a² − a − a² − a < 34, −2a < 34, a > −17. Ответ: (−17; +∞).
б) 3y² − 2y − 3y² + 18y ≥ −2, 16y ≥ −2, y ≥ −1/8. Ответ: [−1/8; +∞).
в) 10p² + 4p − 10p² − 3p ≤ 14, p ≤ 14. Ответ: (−∞; 14].
г) a² − a − a² − a < 34, −2a < 34, a > −17. Ответ: (−17; +∞).
948. Решите неравенство: а) 2x/5 > 1; б) x/3 < 2; в) 6x/7 ≥ 0; г) (3x − 1)/4 > 2; д) 2 > (6 − x)/5; е) (2 + 3x)/18 < 0; ж) (12 − 7x)/42 ≥ 0; з) 1/3 (x + 15) > 4; и) 6 ≤ 2/7 (x + 4).
а) 2x > 5, x > 2,5. Ответ: (2,5; +∞).
б) x < 6. Ответ: (−∞; 6).
в) 6x ≥ 0, x ≥ 0. Ответ: [0; +∞).
г) 3x − 1 > 8, 3x > 9, x > 3. Ответ: (3; +∞).
д) 10 > 6 − x, x > −4. Ответ: (−4; +∞).
е) 2 + 3x < 0, x < −2/3. Ответ: (−∞; −2/3).
ж) 12 − 7x ≥ 0, 7x ≤ 12, x ≤ 12/7 (то есть 1 5/7). Ответ: (−∞; 1 5/7].
з) x + 15 > 12, x > −3. Ответ: (−3; +∞).
и) умножим на 7/2: 21 ≤ x + 4, x ≥ 17. Ответ: [17; +∞).
б) x < 6. Ответ: (−∞; 6).
в) 6x ≥ 0, x ≥ 0. Ответ: [0; +∞).
г) 3x − 1 > 8, 3x > 9, x > 3. Ответ: (3; +∞).
д) 10 > 6 − x, x > −4. Ответ: (−4; +∞).
е) 2 + 3x < 0, x < −2/3. Ответ: (−∞; −2/3).
ж) 12 − 7x ≥ 0, 7x ≤ 12, x ≤ 12/7 (то есть 1 5/7). Ответ: (−∞; 1 5/7].
з) x + 15 > 12, x > −3. Ответ: (−3; +∞).
и) умножим на 7/2: 21 ≤ x + 4, x ≥ 17. Ответ: [17; +∞).
949. Решите неравенство: а) 9x/5 ≥ 0; б) 1 < 3x/4; в) (5 + 6x)/2 > 3; г) (4x − 11)/4 ≤ 0; д) 1/7 x ≥ 2; е) 2/11 (x − 4) < 3.
а) 9x ≥ 0, x ≥ 0. Ответ: [0; +∞).
б) 4 < 3x, x > 4/3 (то есть 1 1/3). Ответ: (4/3; +∞).
в) 5 + 6x > 6, 6x > 1, x > 1/6. Ответ: (1/6; +∞).
г) 4x − 11 ≤ 0, 4x ≤ 11, x ≤ 2,75 (то есть 2 3/4). Ответ: (−∞; 2 3/4].
д) x ≥ 14. Ответ: [14; +∞).
е) умножим на 11/2: x − 4 < 16,5, x < 20,5. Ответ: (−∞; 20,5).
б) 4 < 3x, x > 4/3 (то есть 1 1/3). Ответ: (4/3; +∞).
в) 5 + 6x > 6, 6x > 1, x > 1/6. Ответ: (1/6; +∞).
г) 4x − 11 ≤ 0, 4x ≤ 11, x ≤ 2,75 (то есть 2 3/4). Ответ: (−∞; 2 3/4].
д) x ≥ 14. Ответ: [14; +∞).
е) умножим на 11/2: x − 4 < 16,5, x < 20,5. Ответ: (−∞; 20,5).
950. При каких значениях y:
а) значения дроби (7 − 2y)/6 больше соответствующих значений дроби (3y − 7)/12;
б) значения дроби (4,5 − 2y)/5 меньше соответствующих значений дроби (2 − 3y)/10;
в) значения двучлена 5y − 1 больше соответствующих значений дроби (3y − 1)/4;
г) значения дроби (5 − 2y)/12 меньше соответствующих значений двучлена 1 − 6y?
а) значения дроби (7 − 2y)/6 больше соответствующих значений дроби (3y − 7)/12;
б) значения дроби (4,5 − 2y)/5 меньше соответствующих значений дроби (2 − 3y)/10;
в) значения двучлена 5y − 1 больше соответствующих значений дроби (3y − 1)/4;
г) значения дроби (5 − 2y)/12 меньше соответствующих значений двучлена 1 − 6y?
а) (7 − 2y)/6 > (3y − 7)/12. Умножим обе части на 12: 2(7 − 2y) > 3y − 7, 14 − 4y > 3y − 7, 21 > 7y, y < 3.
б) (4,5 − 2y)/5 < (2 − 3y)/10. Умножим на 10: 2(4,5 − 2y) < 2 − 3y, 9 − 4y < 2 − 3y, 7 < y, y > 7.
в) 5y − 1 > (3y − 1)/4. Умножим на 4: 20y − 4 > 3y − 1, 17y > 3, y > 3/17.
г) (5 − 2y)/12 < 1 − 6y. Умножим на 12: 5 − 2y < 12 − 72y, 70y < 7, y < 0,1.
Ответ: а) при y < 3; б) при y > 7; в) при y > 3/17; г) при y < 0,1.
б) (4,5 − 2y)/5 < (2 − 3y)/10. Умножим на 10: 2(4,5 − 2y) < 2 − 3y, 9 − 4y < 2 − 3y, 7 < y, y > 7.
в) 5y − 1 > (3y − 1)/4. Умножим на 4: 20y − 4 > 3y − 1, 17y > 3, y > 3/17.
г) (5 − 2y)/12 < 1 − 6y. Умножим на 12: 5 − 2y < 12 − 72y, 70y < 7, y < 0,1.
Ответ: а) при y < 3; б) при y > 7; в) при y > 3/17; г) при y < 0,1.