Глава IV. §12. п.39 Решение неравенств с одной переменной — с. 214
956. Решите неравенство: а) 31(2x + 1) − 12x > 50x; б) x + 4 − x/3 < 2x/3; в) 3x + 7 > 5(x + 2) − (2x + 1); г) (12x − 1)/3 < 4x − 3.
а) 62x + 31 − 12x > 50x, 50x + 31 > 50x, 31 > 0. Получили верное числовое неравенство, не зависящее от x, значит, решением является любое число.
б) x + 4 − x/3 − 2x/3 < 0, x + 4 − x < 0, 4 < 0 — неверно при любом x. Решений нет.
в) 3x + 7 > 5x + 10 − 2x − 1, 3x + 7 > 3x + 9, 7 > 9 — неверно. Решений нет.
г) Умножим на 3: 12x − 1 < 12x − 9, −1 < −9 — неверно. Решений нет.
Ответ: а) (−∞; +∞); б), в), г) решений нет.
б) x + 4 − x/3 − 2x/3 < 0, x + 4 − x < 0, 4 < 0 — неверно при любом x. Решений нет.
в) 3x + 7 > 5x + 10 − 2x − 1, 3x + 7 > 3x + 9, 7 > 9 — неверно. Решений нет.
г) Умножим на 3: 12x − 1 < 12x − 9, −1 < −9 — неверно. Решений нет.
Ответ: а) (−∞; +∞); б), в), г) решений нет.
957. При каких значениях x функция, заданная формулой y = 2x + 13, принимает положительные значения; отрицательные значения?
Положительные значения: 2x + 13 > 0, 2x > −13, x > −6,5.
Отрицательные значения: 2x + 13 < 0, x < −6,5.
Ответ: при x > −6,5 значения положительные; при x < −6,5 — отрицательные.
Отрицательные значения: 2x + 13 < 0, x < −6,5.
Ответ: при x > −6,5 значения положительные; при x < −6,5 — отрицательные.
958. При каких значениях переменной имеет смысл выражение: а) √(2x − 4); б) √(4 − 6a); в) √((1 + 3a)/25); г) √((7 − 5a)/8); д) √(−3(1 − 5x)); е) √(−(6 − x))?
Выражение √t имеет смысл при t ≥ 0.
а) 2x − 4 ≥ 0, 2x ≥ 4, x ≥ 2.
б) 4 − 6a ≥ 0, 6a ≤ 4, a ≤ 2/3.
в) (1 + 3a)/25 ≥ 0, 1 + 3a ≥ 0, a ≥ −1/3.
г) (7 − 5a)/8 ≥ 0, 7 − 5a ≥ 0, 5a ≤ 7, a ≤ 1,4.
д) −3(1 − 5x) ≥ 0, 1 − 5x ≤ 0, 5x ≥ 1, x ≥ 0,2.
е) −(6 − x) ≥ 0, x − 6 ≥ 0, x ≥ 6.
а) 2x − 4 ≥ 0, 2x ≥ 4, x ≥ 2.
б) 4 − 6a ≥ 0, 6a ≤ 4, a ≤ 2/3.
в) (1 + 3a)/25 ≥ 0, 1 + 3a ≥ 0, a ≥ −1/3.
г) (7 − 5a)/8 ≥ 0, 7 − 5a ≥ 0, 5a ≤ 7, a ≤ 1,4.
д) −3(1 − 5x) ≥ 0, 1 − 5x ≤ 0, 5x ≥ 1, x ≥ 0,2.
е) −(6 − x) ≥ 0, x − 6 ≥ 0, x ≥ 6.
959. Найдите область определения функции: а) y = √(7 − 14x)/(x + 8); б) y = 6/(√(4 − x) − 1).
а) Корень существует при 7 − 14x ≥ 0, то есть x ≤ 0,5; знаменатель не должен равняться нулю: x + 8 ≠ 0, x ≠ −8. Число −8 удовлетворяет условию x ≤ 0,5, поэтому его исключаем. Область определения: x ≤ 0,5 и x ≠ −8, то есть (−∞; −8) ∪ (−8; 0,5].
б) Подкоренное выражение: 4 − x ≥ 0, x ≤ 4. Знаменатель не равен нулю: √(4 − x) ≠ 1, 4 − x ≠ 1, x ≠ 3. Область определения: x ≤ 4 и x ≠ 3, то есть (−∞; 3) ∪ (3; 4].
б) Подкоренное выражение: 4 − x ≥ 0, x ≤ 4. Знаменатель не равен нулю: √(4 − x) ≠ 1, 4 − x ≠ 1, x ≠ 3. Область определения: x ≤ 4 и x ≠ 3, то есть (−∞; 3) ∪ (3; 4].
960. Найдите:
а) наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству 1,6 − (3 − 2y) < 5;
б) наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству 8(6 − y) < 24,2 − 7y.
а) наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству 1,6 − (3 − 2y) < 5;
б) наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству 8(6 − y) < 24,2 − 7y.
а) 1,6 − 3 + 2y < 5, 2y − 1,4 < 5, 2y < 6,4, y < 3,2. Наибольшее целое число, меньшее 3,2, — это 3.
б) 48 − 8y < 24,2 − 7y, 48 − 24,2 < 8y − 7y, y > 23,8. Наименьшее целое число, большее 23,8, — это 24.
Ответ: а) 3; б) 24.
б) 48 − 8y < 24,2 − 7y, 48 − 24,2 < 8y − 7y, y > 23,8. Наименьшее целое число, большее 23,8, — это 24.
Ответ: а) 3; б) 24.
961. При каких натуральных значениях n:
а) разность (2 − 2n) − (5n − 27) положительна;
б) сумма (−27,1 + 3n) + (7,1 + 5n) отрицательна?
а) разность (2 − 2n) − (5n − 27) положительна;
б) сумма (−27,1 + 3n) + (7,1 + 5n) отрицательна?
а) 2 − 2n − 5n + 27 > 0, 29 − 7n > 0, n < 29/7 (то есть 4 1/7). Натуральные n: 1, 2, 3, 4.
б) −27,1 + 3n + 7,1 + 5n < 0, 8n − 20 < 0, n < 2,5. Натуральные n: 1, 2.
Ответ: а) 1, 2, 3, 4; б) 1, 2.
б) −27,1 + 3n + 7,1 + 5n < 0, 8n − 20 < 0, n < 2,5. Натуральные n: 1, 2.
Ответ: а) 1, 2, 3, 4; б) 1, 2.
962. Найдите множество значений a, при которых уравнение (a + 5)x² + 4x − 20 = 0 не имеет корней.
Если a + 5 = 0, то уравнение линейное: 4x − 20 = 0, x = 5 — корень есть, значит a = −5 не подходит.
Если a ≠ −5, то уравнение квадратное; корней нет при D < 0. D = 4² − 4(a + 5)(−20) = 16 + 80(a + 5) = 80a + 416.
80a + 416 < 0, a < −5,2. Это значения, отличные от −5, поэтому все подходят.
Ответ: a < −5,2, то есть (−∞; −5,2).
Если a ≠ −5, то уравнение квадратное; корней нет при D < 0. D = 4² − 4(a + 5)(−20) = 16 + 80(a + 5) = 80a + 416.
80a + 416 < 0, a < −5,2. Это значения, отличные от −5, поэтому все подходят.
Ответ: a < −5,2, то есть (−∞; −5,2).
963. Найдите множество значений k, при которых уравнение (k − 4)x² + 16x − 24 = 0 имеет два корня.
Два корня бывает только у квадратного уравнения, поэтому k − 4 ≠ 0, k ≠ 4, и дискриминант должен быть положительным.
D = 16² − 4(k − 4)(−24) = 256 + 96(k − 4) = 96k − 128.
96k − 128 > 0, k > 4/3 (то есть 1 1/3).
Учитывая k ≠ 4, получаем k > 4/3 и k ≠ 4.
Ответ: (1 1/3; 4) ∪ (4; +∞).
D = 16² − 4(k − 4)(−24) = 256 + 96(k − 4) = 96k − 128.
96k − 128 > 0, k > 4/3 (то есть 1 1/3).
Учитывая k ≠ 4, получаем k > 4/3 и k ≠ 4.
Ответ: (1 1/3; 4) ∪ (4; +∞).
964. Длина стороны прямоугольника 6 см. Какой должна быть длина другой стороны, чтобы периметр прямоугольника был меньше периметра квадрата со стороной 4 см?
Пусть другая сторона равна x см. Периметр прямоугольника 2(6 + x) см, периметр квадрата 4 · 4 = 16 см.
2(6 + x) < 16, 6 + x < 8, x < 2.
Сторона должна быть положительной, поэтому 0 < x < 2.
Ответ: меньше 2 см.
2(6 + x) < 16, 6 + x < 8, x < 2.
Сторона должна быть положительной, поэтому 0 < x < 2.
Ответ: меньше 2 см.
965. Длина основания прямоугольного параллелепипеда 12 дм, ширина 5 дм. Какой должна быть высота параллелепипеда, чтобы его объём был меньше объёма куба с ребром 9 дм?
Пусть высота h дм. Объём параллелепипеда 12 · 5 · h = 60h дм³, объём куба 9³ = 729 дм³.
60h < 729, h < 12,15.
Ответ: высота должна быть меньше 12,15 дм.
60h < 729, h < 12,15.
Ответ: высота должна быть меньше 12,15 дм.